[PDF] Matrices inverses Matrice inverse. Inversion. Pivot de





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Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss

Pour calculer la matrice inverse d'une matrice inversible M : On présente le calcul en deux colonnes : • Dans la colonne de gauche on applique les opérations 



Méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice

On utilise la méthode pour inverser des matrices carrées (la notion d'inverse de matrice ne marche que pour les matrices carrées). On se ramène tout d'abord à 



Matrices inverses

Matrice inverse. Inversion. Pivot de Gauss. Gauss-Jordan. Décompositions. Inverse rapide. Matrices inverses. Vincent Nozick. Vincent Nozick.



Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice

sauf au niveau du pivot a Gauss. Mais application intéressante pour le calcul de l'inverse d'une ... n'utilisera qu'une matrice et on rangera au fur.



Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique

Rappel de l'épisode précédent sur l'inverse d'une application linéaire/matrice. Pivot de Gauss sur les matrices. Cours 3: Inversion des matrices dans la.



TP 8/9 : Implémentation de lalgorithme du pivot de Gauss

Sortie : la matrice U ? Mn(R) inverse de la matrice M en entrée. (?) Dans un premier temps



Matrices inversibles

La notion de matrice inversible n'a de sens que pour des matrices carrées. Calcul de l'inverse par la méthode du pivot de Gauss. Théorème 3 :.



Systèmes déquations linéaires

par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coefficients



les matrices sur Exo7

Inverse d'une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires est une reformulation de la méthode du pivot de Gauss pour les systèmes linéaires.



Inverse dune matrice carrée

par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d'une matrice). 3 par la méthode du pivot de Gauss-Jordan. C. Nazaret. Inverse 



Lecture 6 Inverse of Matrix - Wright State University

Lecture 6 Inverse of Matrix Recall that any linear system can be written as a matrix equation A~x =~b: In one dimension case i e A is 1£1; then Ax =b can be easily solved as x = b A = 1 A b =A¡1b provided that A 6= 0: In this lecture we intend to extend this simple method to matrix equations De &nition 7 1



Solving Linear Systems Continued and The Inverse of a Matrix

Inverse matrices De nition Computing inverses Properties of inverses Using inverse matrices Conclusion Agenda 1 Solving Linear Systems Gauss-Jordan elimination The rank of a matrix 2 The inverse of a square matrix De nition Computing inverses Properties of inverses Using inverse matrices Conclusion



The Gauss-Jordan Elimination Algorithm - UMass

De nitions The Algorithm Solutions of Linear Systems Answering Existence and Uniqueness questions The Gauss-Jordan Elimination Algorithm Solving Systems of Real Linear Equations A Havens Department of Mathematics University of Massachusetts Amherst January 24 2018 A Havens The Gauss-Jordan Elimination Algorithm



Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique - IMT

Rappeldel’épisodeprécédentsurl’inversed’uneapplicationlinéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matrices Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique Clément Rau Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths année 2012



Méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice

Méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice I Opérations élémentaires sur les matrices Elles « marchent » pour des matrices rectangulaires ou carrées 1°) Opérations sur les lignes a) échange de deux lignes (codage : L L i j ) b) multiplication d’une ligne par un réel non nul (codage : L L i i )



METHODE DU PIVOT DE GAUSS - Toutes les Maths

L™idØe de la mØthode du pivot de Gauss consiste donc à remplacer le syst?me (S) par une matrice faisant intervenir à la fois des coe¢ cients des inconnues et le second membre du syst?me exactement dans l™ordre dans lequel ils apparaissent Cette matrice s™appelle la matrice augmentØe associØe à (S):Dans notre exemple elle s

Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrices inverses

Vincent Nozick

Vincent NozickMatrices inverses1 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Denition :

SoitMune matrice, la matrice inverseM1deMest denie par : MM

1=M1M=IdVincent NozickMatrices inverses2 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Proprietes :

L'inverse d'une matrice n'existe pas toujours.

siMest inversible, on dit queMestreguliere

sinon,Mestsinguliere.Vincent NozickMatrices inverses3 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Proprietes :

SoitMune matrice carree d'ordren.

Les enonces suivants sont equivalents :

Mest inversible

x=0est la seule solution deMx=0

Mest de rangn

aucune ligne (colonne) deMn'est combinaison lineaire d'autres lignes (colonne) deM pour tout vecteurk,Mx=kadmet une solution detM6= 0Vincent NozickMatrices inverses4 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Proprietes :

Id1=Id

(AB)1=B1A1 (M1)1=M diag(mii)1=diag1m ii

Vincent NozickMatrices inverses5 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Applications :

resoudre des systemes lineaires

trouver des transformations inversesVincent NozickMatrices inverses6 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Inverse et systemes lineaires :

Resoudre le systeme :Ax=b

Ax=b A

1Ax=A1b

Idx=A1b

x=A1b

Note :

Pour resoudre un systeme lineaire, preferez les methodes sans inver- sion de matrice.

Vincent NozickMatrices inverses7 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Inversion

Methode de Cramer :(methode habituelle)

M

1=1detMcom(M)>

avec : detM: le determinant deM com(M)>: transposee de la matrice des cofacteurs(comatrice) Vincent NozickMatrices inverses8 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Inversion

M

1=1detMcom(M)>

le calcul du determinant est long! (cf. d eterminant)

Vincent NozickMatrices inverses9 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Inversion

Methodes numeriques :

pivot de Gauss

Gauss-Jordan

decompositions matriciellesVincent NozickMatrices inverses10 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Methode :

MM 1=Id 2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m23m333

52
4n

11n12n13

n

21n22n23

n

31n23n333

5 =2 410 0
0 1 0 0 0 1 3 5

!il sut de resoudrensystemes.Vincent NozickMatrices inverses11 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Methode :

2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m23m333

5 |{z} 2 6 64k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

7 752
4n

11n12n13

n

21n22n23

n

31n23n333

5 =2 410 0
0 1 0 0 0 1 3 5 La triangulation de laMest commune a tous les systemes, avec des eets surNetId.Vincent NozickMatrices inverses12 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Triangulation :

2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m23m333

52
4n 11n 12n 13 n 21n
22n
23
n 31n
23n
333
5 =2 4100
010 001 3 5 ex :L2 L2L12 4m

11m12m13

0m022m023m

31m023m0333

52
4n 11n 12n 13 n 21n
22n
23
n 31n
23n
333
5 =2 4100
110
001 3 5

Vincent NozickMatrices inverses13 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Elimination :

2 4k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

52

4n011n

012n

013n021n

022n

023n031n

023n
0333
5 =2 4u 11u 12u 13 u 21u
22u
23
u 31u
32u
333
5 ,!on resoud : 2 4k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

50
@n011n021n0311 A =0 @u 11 u 21
u 311
A

et on fait pareil pour les 2 autres colonnes deN0Vincent NozickMatrices inverses14 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Methode :

triangulation deMavec des eets surNetId eliminations independantes sur chaque colonne deN. 2 4k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

50
@n011n021n0311 A =0 @u 11 u 21
u 311
A 2 4k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

50
@n012n022n0321 A =0 @u 12 u 22
u 321
A 2 4k

11k12k13

0k22k23

0

0 k333

50
@n013n023n0331 A =0 @u 13 u 23
u 331
A

Vincent NozickMatrices inverses15 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Gauss-Jordan

Principe :

donnees de depart :A a la maniere de la triangulation du pivot de Gauss : on rend la matriceAtriangulaire gr^ace a une matriceM1. on rend cette matrice diagonale gr^ace a une matriceM2. on tranforme cette matrice en matrice identite avecM3. ,!M3M2M1A=MA=Id

En pratique :

on applique les transformations successives surA(A!Id)et sur Idpour se souvenir des transformation successives et trouverM: [AjId]![MAjM] = [IdjM])M=A1Vincent NozickMatrices inverses16 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Concretement

Au depart :

[AjId] =2 4a

11a12a131 0 0

a

21a22a230 1 0

a

31a32a330 0 1

3 5

Vincent NozickMatrices inverses17 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Concretement

2 4a

11a12a131 0 0

a

21a22a230 1 0

a

31a32a330 0 1

3 5 avec uniquement des operations sur les lignes 2 4a

11a12a131 0 0

0a022a023u

21u220

0 0a033u

31u32u333

5

Vincent NozickMatrices inverses18 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Concretement

2 4a

11a12a131 0 0

0a022a023u

21u220

0 0a033u

31u32u333

5 avec uniquement des operations sur les lignes 2 4a

110 0u

011u012u0130a0220u

021u022u0230 0a033u

31u32u333

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