Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss
Pour calculer la matrice inverse d'une matrice inversible M : On présente le calcul en deux colonnes : • Dans la colonne de gauche on applique les opérations
Méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice
On utilise la méthode pour inverser des matrices carrées (la notion d'inverse de matrice ne marche que pour les matrices carrées). On se ramène tout d'abord à
Matrices inverses
Matrice inverse. Inversion. Pivot de Gauss. Gauss-Jordan. Décompositions. Inverse rapide. Matrices inverses. Vincent Nozick. Vincent Nozick.
Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice
sauf au niveau du pivot a Gauss. Mais application intéressante pour le calcul de l'inverse d'une ... n'utilisera qu'une matrice et on rangera au fur.
Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique
Rappel de l'épisode précédent sur l'inverse d'une application linéaire/matrice. Pivot de Gauss sur les matrices. Cours 3: Inversion des matrices dans la.
TP 8/9 : Implémentation de lalgorithme du pivot de Gauss
Sortie : la matrice U ? Mn(R) inverse de la matrice M en entrée. (?) Dans un premier temps
Matrices inversibles
La notion de matrice inversible n'a de sens que pour des matrices carrées. Calcul de l'inverse par la méthode du pivot de Gauss. Théorème 3 :.
Systèmes déquations linéaires
par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coefficients
les matrices sur Exo7
Inverse d'une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires est une reformulation de la méthode du pivot de Gauss pour les systèmes linéaires.
Inverse dune matrice carrée
par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d'une matrice). 3 par la méthode du pivot de Gauss-Jordan. C. Nazaret. Inverse
Lecture 6 Inverse of Matrix - Wright State University
Lecture 6 Inverse of Matrix Recall that any linear system can be written as a matrix equation A~x =~b: In one dimension case i e A is 1£1; then Ax =b can be easily solved as x = b A = 1 A b =A¡1b provided that A 6= 0: In this lecture we intend to extend this simple method to matrix equations De &nition 7 1
Solving Linear Systems Continued and The Inverse of a Matrix
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Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique - IMT
Rappeldel’épisodeprécédentsurl’inversed’uneapplicationlinéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matrices Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique Clément Rau Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths année 2012
Méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice
Méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice I Opérations élémentaires sur les matrices Elles « marchent » pour des matrices rectangulaires ou carrées 1°) Opérations sur les lignes a) échange de deux lignes (codage : L L i j ) b) multiplication d’une ligne par un réel non nul (codage : L L i i )
METHODE DU PIVOT DE GAUSS - Toutes les Maths
L™idØe de la mØthode du pivot de Gauss consiste donc à remplacer le syst?me (S) par une matrice faisant intervenir à la fois des coe¢ cients des inconnues et le second membre du syst?me exactement dans l™ordre dans lequel ils apparaissent Cette matrice s™appelle la matrice augmentØe associØe à (S):Dans notre exemple elle s
Matrices inverses
Vincent Nozick
Vincent NozickMatrices inverses1 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Matrice inverse
Denition :
SoitMune matrice, la matrice inverseM1deMest denie par : MM1=M1M=IdVincent NozickMatrices inverses2 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Matrice inverse
Proprietes :
L'inverse d'une matrice n'existe pas toujours.
siMest inversible, on dit queMestregulieresinon,Mestsinguliere.Vincent NozickMatrices inverses3 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Matrice inverse
Proprietes :
SoitMune matrice carree d'ordren.
Les enonces suivants sont equivalents :
Mest inversible
x=0est la seule solution deMx=0Mest de rangn
aucune ligne (colonne) deMn'est combinaison lineaire d'autres lignes (colonne) deM pour tout vecteurk,Mx=kadmet une solution detM6= 0Vincent NozickMatrices inverses4 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapideMatrice inverse
Proprietes :
Id1=Id
(AB)1=B1A1 (M1)1=M diag(mii)1=diag1m iiVincent NozickMatrices inverses5 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Matrice inverse
Applications :
resoudre des systemes lineairestrouver des transformations inversesVincent NozickMatrices inverses6 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Matrice inverse
Inverse et systemes lineaires :
Resoudre le systeme :Ax=b
Ax=b A1Ax=A1b
Idx=A1b
x=A1bNote :
Pour resoudre un systeme lineaire, preferez les methodes sans inver- sion de matrice.Vincent NozickMatrices inverses7 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Inversion
Methode de Cramer :(methode habituelle)
M1=1detMcom(M)>
avec : detM: le determinant deM com(M)>: transposee de la matrice des cofacteurs(comatrice) Vincent NozickMatrices inverses8 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapideInversion
M1=1detMcom(M)>
le calcul du determinant est long! (cf. d eterminant)Vincent NozickMatrices inverses9 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Inversion
Methodes numeriques :
pivot de GaussGauss-Jordan
decompositions matriciellesVincent NozickMatrices inverses10 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Pivot de Gauss
Methode :
MM 1=Id 2 4m11m12m13
m21m22m23
m31m23m333
524n
11n12n13
n21n22n23
n31n23n333
5 =2 410 00 1 0 0 0 1 3 5
!il sut de resoudrensystemes.Vincent NozickMatrices inverses11 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Pivot de Gauss
Methode :
2 4m11m12m13
m21m22m23
m31m23m333
5 |{z} 2 6 64k11k12k13
0k22k23
00 k333
7 7524n
11n12n13
n21n22n23
n31n23n333
5 =2 410 00 1 0 0 0 1 3 5 La triangulation de laMest commune a tous les systemes, avec des eets surNetId.Vincent NozickMatrices inverses12 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Pivot de Gauss
Triangulation :
2 4m11m12m13
m21m22m23
m31m23m333
524n 11n 12n 13 n 21n
22n
23
n 31n
23n
333
5 =2 4100
010 001 3 5 ex :L2 L2L12 4m
11m12m13
0m022m023m
31m023m0333
524n 11n 12n 13 n 21n
22n
23
n 31n
23n
333
5 =2 4100
110
001 3 5
Vincent NozickMatrices inverses13 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Pivot de Gauss
Elimination :
2 4k11k12k13
0k22k23
00 k333
524n011n
012n013n021n
022n023n031n
023n0333
5 =2 4u 11u 12u 13 u 21u
22u
23
u 31u
32u
333
5 ,!on resoud : 2 4k
11k12k13
0k22k23
00 k333
50@n011n021n0311 A =0 @u 11 u 21
u 311
A
et on fait pareil pour les 2 autres colonnes deN0Vincent NozickMatrices inverses14 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Pivot de Gauss
Methode :
triangulation deMavec des eets surNetId eliminations independantes sur chaque colonne deN. 2 4k11k12k13
0k22k23
00 k333
50@n011n021n0311 A =0 @u 11 u 21
u 311
A 2 4k
11k12k13
0k22k23
00 k333
50@n012n022n0321 A =0 @u 12 u 22
u 321
A 2 4k
11k12k13
0k22k23
00 k333
50@n013n023n0331 A =0 @u 13 u 23
u 331
A
Vincent NozickMatrices inverses15 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Gauss-Jordan
Principe :
donnees de depart :A a la maniere de la triangulation du pivot de Gauss : on rend la matriceAtriangulaire gr^ace a une matriceM1. on rend cette matrice diagonale gr^ace a une matriceM2. on tranforme cette matrice en matrice identite avecM3. ,!M3M2M1A=MA=IdEn pratique :
on applique les transformations successives surA(A!Id)et sur Idpour se souvenir des transformation successives et trouverM: [AjId]![MAjM] = [IdjM])M=A1Vincent NozickMatrices inverses16 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapideConcretement
Au depart :
[AjId] =2 4a11a12a131 0 0
a21a22a230 1 0
a31a32a330 0 1
3 5Vincent NozickMatrices inverses17 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Concretement
2 4a11a12a131 0 0
a21a22a230 1 0
a31a32a330 0 1
3 5 avec uniquement des operations sur les lignes 2 4a11a12a131 0 0
0a022a023u
21u220
0 0a033u
31u32u333
5Vincent NozickMatrices inverses18 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide
Concretement
2 4a11a12a131 0 0
0a022a023u
21u220
0 0a033u
31u32u333
5 avec uniquement des operations sur les lignes 2 4a110 0u
011u012u0130a0220u
021u022u0230 0a033u
31u32u333
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