[PDF] APPLICATIONS LINEAIRES - MATRICES





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Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires

Méthode de Cramer Permute 2 lignes de la matrice augmentée puis interchange 2 ... La matrice triangulaire supérieure sans pivotage est : (augmentée).



LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

1- Rappel - Définition et composantes d'une matrice . 7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants .



Annexe C : Matrices déterminants et systèmes déquations linéaires

la matrice A des coefficients dans laquelle on a remplacé la ième colonne par la matrice des constantes. La résolution du système par la méthode de Cramer



Chapitre 1: Calculs matriciels

la méthode de Cramer. g. Définitions : • Une matrice A = (aij) de type m?n est un tableau rectangulaire comprenant m lignes et n colonnes formées de nombres 



APPLICATIONS LINEAIRES - MATRICES

n sont les colonnes de la matrice des coéfficients A 3.2 Théorème Un système de CRAMER admet une solution et une seule fournie par ... Méthode 1 : on a.



Systèmes déquations linéaires

de Gauss en inversant la matrice des coefficients



Matrices inverses

Matrice inverse. Inversion. Pivot de Gauss. Gauss-Jordan. Décompositions. Inverse rapide. Inversion. Methode de Cramer : (méthode habituelle).



Cours de mathématiques - Exo7

Autrement dit Aj est la matrice obtenue en remplaçant la j-ème colonne de A par le second membre B. La règle de. Cramer va nous permettre de calculer la 



Résolution numérique dun système linéaire

Il existe aussi une méthode reshape qui crée une nouvelle matrice (les éléments sont b) qui retourne l'unique solution d'un système de Cramer Ax = b. On.



PIVOT DE GAUSS - SYSTÈME DE CRAMER

Lorsque la matrice est triangularisée on utilise une méthode identique à celle de la triangularisation pour diagonaliser la matrice A. for k in range(N-1



Vidéo de la leçon : Méthode de Cramer Nagwa

trois méthodes de résolution : • la méthode de Gauss-Jordan ; • en utilisant la matrice inverse ; • la méthode de Cramer g Définitions : • Une matrice A = (aij) de type m×n est un tableau rectangulaire comprenant m lignes et n colonnes formées de nombres réels • L'élément situé au croisement de la ième ligne et de la



Systèmes d’équations linéaires - e Math

1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coef?cients par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre selon les valeurs de a les systèmes suivants : ˆ ax + y = 2



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A quoi ça sert? Ca sert à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe) résoudre un système sans faire des échelonnements tester lié ou libre base ou pas Exemple (méthode de Cramer) 2 1 1 3 x y = 4 ?1 a comme solution :

Comment utiliser la méthode de Cramer ?

Nous avons également vu que pour pouvoir utiliser la méthode de Cramer, la matrice doit être inversible. C’est-à-dire, la matrice des coefficients. Cela signifie que son déterminant est différent de zéro. La méthode de Cramer permet alors de calculer les solutions en utilisant des déterminants.

Qu'est-ce que la matrice de V de Cramer ?

Le résultat est une matrice de V de Cramer. Une telle analyse peut être vue comme une généralisation de l’aanalyse des correspondances multiples et est connue sous de nombreux noms, tels que analyse de corrélation canonique, analyse d’homogénéité et bien d’autres.

Comment calculer une matrice ?

Une matriceest un tableau rectangulaire de nombres. On entoure généralement ces tableaux de parenthèses ou de crochets. Pour nommer les matrices, on utilise des lettres majuscules. Si la matrice A est composée de llignes et de ccolonnes, on dit qu'elle est l×c, ou que son format est l×c. Exemples C.3a) La matrice A= a1a2? b1b2 a1a2? b1b2

Comment construire une matrice multicritère ?

Construire la matrice multicritère : une ligne pour chaque critère de choix pondéré, une colonne pour chaque option étudiée. . Recueillir et totaliser les notes : Chaque participant à la décision attribue une note de 0 à 3 à chaque option en fonction des critères retenus.

APPLICATIONS LINEAIRES - MATRICES

SYSTEMES d'EQUATIONS LINEAIRES

_________________

I - DIFFERENTES FORMES d'ECRITURE

Notations générales Exemple

aa a aa a

11 121p

n1 n2np xx x xx x p pp12 12 ......b b1 n (S)

Forme analytique

a ij j=1p xbi ji 1,..,

Forme analytique abrégée

2xxx xx 123
23
4 33

A . x = b

nxp px1 nx1

Forme matricielle

21 1
03143
1 2 3 x x x xA b jj j=1p

Forme vectorielle

xx x 12 3 2 01 31
143

Remarque Les vecteurs de RAA A

p12 n sont les colonnes de la matrice des coéfficients A

II - THEOREME GENERAL

(S) a des solutions ssi b appartient à l'espace ImA engendré par AA A p12 Si b ImA et si est libre, il admet une solution et une seule AA A p12

Si b ImA et si

est lié, toute solution x s'écrit sous la forme x=xAA A p12, ,.., 0 + z avec x 0 solution particulière et z vecteur du noyau de A (tel que Az=0)

III - SYSTEME de CRAMER

3.1 Définition (S) est un système de CRAMER ssi

1/ n=p (La matrice des coéfficients A est carrée)

2/ detA 0 (le système

est libre) AA A p12

3.2 Théorème Un système de CRAMER admet une solution et une seule fournie par :

xAA A bA A

AA A AA A

jjj jjj p det(,,...,,,,..., det( , ,..., , , ,..., )

12 1 1

12 1 1p

3.3 Exemple

Pour On a : detA=-3

xx x xxx xxx xxx1 234
1 242
1 343
234
3 Ab 1110

11 0 1

101 1

01 114

2 3 3 xbA A A A 1234
3

31det( , , , )

det ; xAbAA A 2134
3

31det( , , , )

det ; xx 34
6 320
30
Remarque : Il est souvent plus simple de resoudre directement le système ...

3.4 Application : Matrice inverse A

-1 d'une matrice carrée A d'ordre n

Définition Une matrice carrée A est inversible ssi l'une des conditions équivalentes suivantes est réalisée :

(1) detA0 (2) les colonnes de A sont libres (3) les lignes de A sont libres (4) X carrée telle que AX=Id (matrice identité d'ordre n) (5) Y carrée telle que YA=Id La matrice X ou Y est la matrice inverse de A ; elle est notée A -1

Propriétés

[P1] Cof(A) étant la matrice des cofacteurs des éléments de A, on a A. t

Cof(A)=det(A) Id

[P2] Si A,B sont inversibles, t

A et AB sont inversibles et on a : (

t A) -1 t (A -1 ) ; (AB) -1 =B -1 A -1

Calcul de A

-1

Méthode 1 : on a.A= Cof(A)

detA -1t

Exemple 1 Si ad-bc0,

ab cd ad bcdb ca 1 1

Exemple 2 detA= 1 ; A

001 100
010

Cof A()

001 100
010 A 1010
001 100
Méthode 2 : On résoud le système AvV équivalent à AvV 1

Exemple 2 on résoud on obtient

001 100
010 x y z X Y Zz x yX Y Z Y Z Xx y z 010 001 100
X Y Z x y z d'où A 1010
001 100
IV - SYSTEMES RECTANGULAIRES Les notations sont celles de du paragraphe I

4.1 Exemple 4

xx x xxx xx x xxxm 12 3 23
23
123
3 1 1 2 120
32 3
AAA 123
1 1 2 31
1 1 21
1 2 3 Ab m 11 1 11 1 212
32 33
1 0

4.2 Sous système principal

Définition 1 On appelle

rang du système de vecteurs {A 1 ,A 2 ,...,A p } le nombre maximum de vecteurs d'un sous système libre rang d'une matrice A le rang du système de ses vecteurs colonnes {A 1 ,A 2 ,...,A p rang du système d'équation (S) le rang de la matrice A de ses coéfficients

Pour l'exemple, on a A

3 =-A 1 et rang(S) =2 Théorème 1 Le rang d'une matrice A est l'ordre maximum d'un sousdéterminant non nul. Définition 2 (Eléments principaux d'un système)

Soit un système dr rang r,

Toute sous matrice carrée Ar de A d'ordre r de déterminant non nul est dite principale

Le soussystème (de Cramer) de matrice de coéfficients Ar est dit principal (les colonnes de Ar sont les vecteurs

principaux; ses lignes correspondent aux équations principales)

Dans l'exemple 4, toutes les matrices carrées d'ordre 3 ont un déterminant nul ;si on considère la sous matrice

formée des 2 premières lignes et des 2 premières colonnes A 2 = ; detA 11 11 2 =20 c'est une matrice principale à laquelle sont associés: le soussystème principal et les vecteurs principaux xx x xx x1233 12 13 AA 12 1 1 2 31
1 1 2 les équations principales qui caractérisent ce système de Cramer les inconnues principales x 1 et x 2 ; l'inconnue non principale x 3 les équations principales (les équations de ce système) les équations non principales (les équations 3 et 4 du système (S) initial) Remarque Il existe en général plusieurs systèmes principaux

4.3 Résolution du système (S) Elle s'effectue en 3 étapes

1ère étape Recherche d'un système principal)

2ième étape Résolution du système principal (de Cramer)

3ième étape Vérification de la compatibilité des équations non principales

Dans l'exemple, le sous système principal de Cramer admet pour solution . Reportant ces valeurs dans les équations non principales, on obtient qui sont compatibles ssi m=7. On déduit : xx x xx x1233 12 13 xx x113 2 2

212230

3

12233xx x

xxxm

2132230

31

32233()

xx xx m Si m7 (S) est un système incompatible de rang 2 (il n'admet pas de solution) Si m=7 (S) de rang 2, admet les solutions ; c'est un sytème à un degré de liberté xx x x arbitraire1 13 2 2 3

4.4 Théorème de compatibilité) Le sytème (S) de rang r de vecteurs principaux {P

1 ,P 2 ,...,P r } admet des solutions ssi le système {P 1 ,P 2 ,...,P r , b} est lié Ainsi, le système (S) est compatible ssi les colonnes de la matrice sont liées. A m 113
11 1 210
32
c'est à dire ssi b=A 1 +2A 2 ; ce qui conduit à m=7

V - SYSTEMES HOMOGENES

5.1 Définition (S) est un système HOMOGENE ssi b=0

Conséquence : un système homogène admet toujours (au moins) la solution x=0 (dite banale !)

5.2 Exemple de système homogène rectangulaire

xxx xxx 123
123
23
40
0 3 3 Ab 123

11 400

Une sous matrice principale (de déterminant non nul d'ordre maximum extraite de A) est formée des 2 premières

lignes et des 2 premières colonnes, et conduit au soussystème principal : xx x xxx 12 12 23
4 soit Py=d avec Pyx xinconnu d x 12 113
4 1 2 3

On obtient : yPdxxx

x 11 335
33
7 33
12 113
41
312
113
4

On obtient :

xx xx x arbitraire 15 33
2 7 33
3

5.3 Système carré homogène

Théorème un système carré (n équations n inconnues) admet d'autres solutions que la solution banale x=0 ssi

detA=0

Exemple

xx x x xxxx xx x x xx x x 12 3 123
12 3 12 3 40
4 0 4 0 4 0quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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