[PDF] Chapitre III: Factorisation LU

MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire

Factorisation LU d'une matrice. Matrice de permutation. Exemples-Exercices. méthode de Gauss en une forme échelonnée U ? Mmn

1 Méthode de Gauss et factorisation LU

C'est cette méthode que l'on généralisera ci-dessous dans l'exercice 2

Chapitre 2 Résolution des Systèmes Linéaires Ax=b Méthodes

II.1 Principe de la factorisation (décomposition). La matrice des coefficients A est factorisée sous la forme d'un produit de deux matrices A = L.U (où L 

Cours 4 : Gauss et LU

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes : Gauss LU

Analyse Numérique 0 0

la méthode de Gauss on peut soit utiliser la stratégie de pivot partiel Effectuer une factorisation LU de cette matrice o`u L est une matrice triangu-.

Décompositions matricielles

Décomposition LU. Méthode : On fait comme un pivot de Gauss mais on effectue les opérations de pivot sous forme de produits de matrices. Vincent Nozick.

Factorisation LU Résolution de Ax = b

diagonales par blocs creuses

3. Factorisation LU - Sections 2.6 et 2.7

inverses des matrices d'élimination. Cette matrice est triangulaire inférieure. Ceci est une factorisation (ou décomposition) LU de la matrice A.

Chapitre III: Factorisation LU

Soit A ? Mn(R) une matrice inversible. On cherche `a construire une factorisation LU de A définie par les matrices triangulaires.

Résolution de systèmes linéaires Factorisation LU

méthode numérique et par la même occasion servira de template pour ceux qui veulent faire du latex ! 1.1 Factorisation LU d'une matrice tridiagonale .

Méthode de Gauss et factorisation LU

1 Méthode de Gauss et factorisation LU Exercice1:unexemple Soient ; ; PR Onconsidèrelesystèmelinéairesuivantd’inconnuesx 1;x 2;x 3: $ & x 1 2 2 3 3 2x 1 6x 2 5x 3 x 1 2x 2 7x 3 (1) 1 Écrirelesystème(1) souslaformeAx bavecA PM 3pRqxPR3;etbPR3quel’onexplicitera 2 Est-cequelesystème(1) admetuneuniquesolutionpourtout ; ; PR?

Algèbre linéaire - MATLAB & Simulink - MathWorks France

Les méthodes de factorisation Rappelons que : Factoriser signifie : transformer une somme en un produit Comment reconnaître une somme ou un produit ? Une somme est le résultat de l’addition de deux ou plusieurs termes Exemples: (1) a b+ + 3 est une somme de 3 termes : a b et 3 (2) x y z w? + ? est une somme de 4 termes : x ?y z

Méthode de la décomposition LU

Utilité de la détermination LU Calcul de déterminant Grâce à la factorisation LUon eutp alculerc le déterminant d'une matrice arrceé avec O(2 3 n3) opérations vu que det(A) = det(L)×det(U) = det(U) = Yn k=1 u kk Résolution : Supposons qu'on veut ésoudrre le système AX= b Déompcosons Asous forme LU alors AX= bdevient (LU)X= bou

3 Factorisation LU - GERAD

Factorisation PA = LU Quand A?1 existe si un 0 apparaˆ?t `a la place d’un pivot alors on peut obtenir un pivot non-nul en interchangeant deux lignes `a l’aide d’une matrice de permutation L’ensemble des permutations n´ecessaires `a l’´elimination peut ˆetre rassembl´e en une matrice de permutation P

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L’ef?cacité algorithmique de la factorisation A = LU repose sur la connaissance préa- lable de L et de U L’algorithme présenté dans la Section 3 suivante montre qu’en détermi- nant une forme échelonnée U de A on détermine du même coup la factorisation A = LU

Qu'est-ce que la factorisation LU ?

La factorisation LU, ou élimination de Gauss-Jordan, exprime toute matrice carrée A comme le produit d’une permutation d’une matrice triangulaire inférieure et d’une matrice triangulaire supérieure

Quels sont les trois méthodes de factorisation?

Les trois méthodes de factorisation qu’il faut connaître sont : la mise en évidence, les produits (identités) remarquables et le groupement de termes. A. La mise en évidence Rappelons la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction :

Comment calculer la factorisation ?

Pour obtenir la factorisation complète, un algorithme itératif possible consiste à appliquer la factorisation partiellement successivement sur les compléments de Schur S k, k : A = L ( 0) U ( 0) = … = L ( k) U ( k) = … = L ( N ? 1) U ( N ? 1). où les matrices L ( k) et U ( k) sont obtenues à la k eme itération.

Qu'est-ce que la factorisation en mathématiques ?

La factorisation est une opération importante en mathématiques car elle permet, quand elle est possible, de résoudre simplement certaines équations. Souvent un problème où il faut trouver une quantité inconnue x, se transforme en une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0. ax 2 + bx + c s'appelle un trinôme en x.