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Analyse Numérique

Rappeler la méthode de dichotomie qui permet d'approcher ce zéro de f. Par suite d'apr`es l'exercice 1



USTV 2011/2012

10 mai 2012 Recueil d'exercices corrigés ... les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE (appelée aussi Regula falsi) produisent une suite de ...



Résolution déquations non linéaires £ ¢ ¡ Exercice 4.1 Correction

et on pose xk+1 = ak + bk. 2 . Figure 3 – Étude graphique de la convergence (méthode de dichotomie). • Méthode de Newton xk+1 = xk ?.



Analyse Numérique

2.2.2.1 Méthode de dichotomie (ou bisection) . . . . . . . . . . 18 Exercice 1.1 En écrivant un petit programme trouver la capacité et le pas de votre.



USTV 2012/2013

31 janv. 2013 Recueil d'exercices corrigés et aide-mémoire. G. F. ACCANONI. Dernièremise-à-jour ... Définition Méthodes de dichotomie et de LAGRANGE.



TP2 : f(x)=0

Les exercices de cette séance de travaux pratiques seront résolus `a l'aide La méthode de dichotomie pour trouver la solution d'une équation f(x) = 0 ...



1 Algorithme de dichotomie

TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie et Suites. TS. 1 Algorithme de dichotomie. Exercice 1. Etude d'une fonction auxiliaire f et de solutions approchées 



TP sur table. 6 novembre 2014. Corrigé.

6 nov. 2014 Exercice 1 (Méthode de dichotomie). 4. 1. Completer le code de dichotomie suivant function [yNiter]=bisection(f



SMP3 : ANALYSE NUMÉRIQUE ET ALGORITHMIQUE

Exercice 1 : La méthode de la Dichotomie : Recherche de la racine x de l'équation f(x)=0 dans l'intervalle [a b] (x est la seule racine dans [a



Analyse numérique élémentaire

26 nov. 2015 Figure 3.2: Méthode de dichotomie: fpxq“px ` 2qpx ` 1qpx ´ 1q. Exercice 3.1.1. 18. Compiled on 2015/11/26 at 09:21:26 ...



Travaux Pratiques Méthodes Numériques

La m´ethode de dichotomie est bas´ee sur le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2 1 Soit [ab] un intervalle ferm´e de R et f : [ab] ? R une fonction continue Si f(a)f(b) < 0 alors ?? ?]ab[ tel que f(?) = 0 On se donne un intervalle I 0 = [ab] contenant le z´ero ? que l’on veut approcher La m´ethode de dichotomie produit



Zéros des fonctions - e Math

return dichotomie(cbprec) Mini-exercices 1 À la main calculer un encadrement à 01 près de p 3 Idem avec 3 p 2 2 Calculer une approximation des solutions de l’équation x3 +1 = 3x 3 Est-il plus ef?cace de diviser l’intervalle en 4 au lieu d’en 2? (À chaque itération la dichotomie classique



R´esolution d’´equations non lin´eaires - univ-rennes1fr

1 M´ethode de dichotomie On consid`ere un intervalle [ab] et une fonction f continue de [ab] dans R On suppose que f(a)f(b) < 0 et que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution ? sur l’intervalle [ab] La m´ethode de dichotomie consiste `a construire une suite (xn) qui converge vers ? de la mani`ere suivante : y = f(x) a



EILCO : Analyse Numérique Chapitre 3 : Résolution Numérique

La convergence de la méthode de dichotomie est linéaire Cette méthode nécessite une seule évaluation de fonctions par itération Nous allons voir dans ce qui suit une variante Cours d’Analyse Numérique Chapitre 3 : Résolution Numérique des Equations



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3 1 Méthode de dichotomie Elle repose sur le théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue f prend toutes les valeurs comprises entre ses bornes Donc si une fonction dé?nie sur [ab] prend des valeurs de signe opposé en a et b elle s’annule entre les deux Écrivons un script matlab élémentaire function [cnit

Quelle est la méthode de dichotomie?

La méthode de Dichotomie Cette méthode repose sur les hypothèses suivantes : ? Il existe une solution sur un intervalle ? La fonction est monotone (croissante ou décroissante) sur l'intervalle Sous ces deux hypothèses, l'inégalité suivante est vérifiée : (I -2)

Qu'est-ce que la dichotomie en philosophie ?

Ils le font sans tenir compte de nombreux autres facteurs, possibilités ou variations. Elle est nuisible car elle conduit souvent à de fausses conclusions et de faux jugements. Dichotomie en philosophie Du point de vue de la philosophie, la dichotomie représente un processus qui permet de diviser les concepts en deux consécutivement.

Comment étudier la convergence de la méthode de dichotomie?

1.3 étude de la convergence Pour mieux étudier la vitesse de convergence de la méthode de dichotomie, modi?ez légèrement la procédure dichotomiede sorte qu’elle prenne en entrée un entier n et qu’elle s’arrête après n itérations. Nommons-la dichotomie2. Considérons la fonction f : x ? x2? 2 sur l’intervalle [1,2].

Qu'est-ce que la dichotomie en mathématiques ?

La dichotomie en mathématiques est un concept qui désigne la division d’un ensemble en deux sous-ensembles distincts. Cette notion est très importante pour les mathématiciens et est utilisée dans de nombreux domaines, notamment la logique, l’algèbre, la géométrie et la théorie des graphes.

TP2 : f(x)=0

TP2 :f(x) = 0

Les exercices de cette seance de travaux pratiques seront resolus a l'aide d'un logiciel de type tableur,

par exemple Excel ou Open Oce Calc.

1 Dichotomie

On rappelle le theoreme suivant, dittheoreme des valeurs intermediaires, outheoreme de Bolzano1. Theoreme 1.Soitf: [a;b]!Rune fonction continue. Sif(a) etf(b) ne sont pas de m^eme signe, il existe au moins un reelc2[a;b] tel quef(c) = 0. Exercice 1.Soitf: [a;b]!Rune fonction continue telle quef(a) etf(b) ne sont pas de m^eme signe. A quelle condition surfexiste-t-il ununiquereelc2[a;b] tel quef(c) = 0? La methode de dichotomie pour trouver la solution d'une equationf(x) = 0 repose sur le theoreme des

valeurs intermediaires. On suppose que la fonctionfest continue sur [a;b] et quef(a) etf(b) sont de signes

contraires. Il existe alors au moins une solution de l'equationf(x) = 0 dans [a;b]:On calcule le milieumde

[a;b] etf(m). Sif(a) etf(m) sont de signes contraires il existe une solution dans [a;m], sinon il en existe

une dans [m;b]. On recommence ensuite la procedure sur l'intervalle oufchange de signe et ainsi de suite.

Exercice 2.On souhaite utiliser la methode de dichotomie pour calculerp2.

1. Proposer une fonctionf: [0;2]!Rcontinue avecf(0)<0< f(2) et telle que l'equationf(x) = 0

admette pour unique solution dans [0;2] la valeurp2.

2. Dans une feuille d'un tableur, faire un tableau pour les valeurs dea,b,m,f(a) etf(m) en

commencant para= 0 etb= 2. Pour les nouvelles valeurs deaetbon utilisera la formule SI(test; valeur-si-vrai; valeur-si-faux). Prolonger le tableau jusqu'a obtenir 30 iterations de la methode.

3. En deduire une valeur approchee dep2 et comparer avec la valeur obtenue avec la fonction

preprogrammee de votre tableur (RACINEouSQRTen general).

2 Methode de point xe

Soitg: [a;b]![a;b] de classeC1. Pour resoudre l'equation (d'ou le termepoint xe) g(x) =x; on construit une suite (xk) en partant dex02[a;b] et en denissant la suite par recurrence : x k+1=g(xk):

Si sup

x2[a;b]jg0(x)j<1, alors on peut montrer que la suite (xk) est bien denie et tend vers un nombrex1 veriantg(x1) =x1.

Exercice 3.On cherche encore a calculerp2.

1. On poseg(x) =x+ 2x+ 1.

a) Verier que l'equationg(x) =xadmetp2 comme solution. b) Calculer les 30 premiers termes de la suitexk+1=g(xk) construite en commencant avec x 0= 1. c) Comparer la valeur approchee a la trentieme iteration avec la valeur obtenue avec la fonction

preprogrammee de votre tableur.1. Bernard Bolzano (1781-1848), mathematicien, logicien, philosophe, theologien de langue et de culture allemandes, ls d'un

Italien emigre a Prague.

S5-TIAS-TP2 1/2

2. On pose maintenanth(x) =x2+x2

a) Verier que l'equationh(x) =xadmetp2 comme solution. b) Calculer les 30 premiers termes de la suitexk+1=h(xk) construite en commencant avec x 0= 1. c) Que peut-on remarquer? Essayer avec d'autres valeurs dex0(par exemple 1,RACINE(2), -RACINE(2)). Quelle hypothese de la methode n'est pas veriee?

3 Methode de Newton

Soitf: [a;b]!Rde classeC1. Pour resoudre l'equation f(x) = 0; on construit une suite (xk) en partant dex02[a;b] et en denissant la suite par recurrence : x k+1=xkf(xk)f 0(xk)

Sous certaines hypotheses surfetx0, on montre que la suite que la suite (xk) est bien denie et tend vers

un nombrex1veriantf(x1) = 0. Exercice 4.On reprend encore une fois le calcul dep2, cette fois-ci en mettant en uvre la methode de Newton, appelee dans ce cas particuliermethode de Heron2oumethode babylonienne. On posef(x) =x22.

1. Calculer les 30 premiers termes de la suitexk+1=xkf(xk)f

0(xk)construite en commencant avecx0= 1.

2. Comparer les valeurs de (xk) avec la valeur dep2 obtenue avec la fonction preprogrammee de votre

tableur. Exercice 5.Comparer les dierentes methodes employees pour calculerp2. Laquelle semble ^etre la plus

ecace?2. Heron d'Alexandrie ou Heron l'Ancien (Ier siecle apres J.-C.), ingenieur, mecanicien et mathematicien grec.

S5-TIAS-TP2 2/2

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