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REVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉEM.C.WEISS

Revue de statistique appliquée, tome 26, no1 (1978), p. 23-33 © Société française de statistique, 1978, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Revue de statistique appliquée » (http://www. sfds.asso.fr/publicat/rsa.htm) implique l"accord avec les conditions générales d"uti- lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou im- pression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou im-

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DÉCOMPOSITION

HIÉRARCHIQUE

DU KHI-DEUX

ASSOCIÉ A UN TABLEAU DE CONTINGENCE

A PLUSIEURS ENTRÉES

M.C. WEISS

Maître Assistant à l'Université René Descartes

INTRODUCTION

Le but de ce texte est de donner une

présentation unifiée de résultats sur la décomposition du Khi-deux associé à un tableau de contingence plusieurs entrées dans le cas où on dispose d'une classification hiérarchique sur chacune des entrées.

Le résultat

principal est repris de la thèse de troisième cycle de CAPERAA (1968) mais les justifications, au lieu d'utiliser des formulations matricielles, sont fondées sur la décomposition des mesures considérées comme vecteurs d'un espace linéaire telle qu'elle a été mise en oeuvre par

H. ROUANET et D. LEPINE

(1976).

Après

avoir rappelé le concept de classification hiérarchique et en particulier dichotomique, on introduit la notion de base centrée selon une mesure de proba- bilité et on montre qu'on peut construire une telle base associée à un produit de classifications dichotomiques complètes. En se plaçant dans le cadre d'une mesure- produit on donne les formules générales pour chaque terme de la décomposition, d'une part du Khi-deux d'adéquation, d'autre part du Khi-deux d'indépendance. Un exemple concret correspondant à un tableau à trois entrées est traité numé- riquement.

1. CLASSIFICATION

HIERARCHIQUE ;

CLASSIFICATION

DICHOTOMIQUE.

Notation

allégée pour les partitions Si 1 {a, b, c, d, e, f, g} la partition {{a, b} , {c} , {d, e, f, g}} sera écrite [a,b;c;d,e,f,g]. a)

Classification

hiérarchique On appelle dichotomie une partition en deux classes d'un ensemble ; la parti- tion grossière sera appelée pseudo-dichotomie (on l'assimile à une dichotomie qui serait constituée par l'ensemble lui-même et l'ensemble vide).

Dans ce

qui suit on considérera un ensemble 1 fini de cardinal supérieur ou

égal

deux, et des partitions de parties l' de cet ensemble que l'on appellera parti- tions dans I, on précisera partielles lorsque

I' sera strictement inclus dans

I, et par- tition sur 1 lorsque 1 l'. Revue de Statistique Appliquée, 1978 vol. XXVI N° 1

Mots-clés : Tableau de

contingence.

Hiérarchies de

parties. Décomposition

Algébrique.

Khi-deux.

24

Une famille de

partitions dans 1 sera appelée classification hiérarchique notée H, ou classification, si, ordonnée par inclusion des parties : 1) il y a une seule partition initiale (sur 1) ; 2) toute classe I' à- plus d'un élément engendre une partition (sur l') de la classification ; 3) toutes les classes à un élément de 1 appartiennent

à des

partitions de la classification.

Exemple

avec 1 {a, b, c, d, e, f} A [a, b ; c; d, e, f] il faut adjoindre [d, e ; f] pour 1 avoir une classification. [a ;b] [d ;e]

Si H est une classification

hiérarchique de 1 on peut la compléter par la pseudo-dichotomie. On l'appellera classification complète notée * R = [Je U [1 ; (j>]. Les partitions, rangées dans l'ordre indiqué, sont les sommets d'un arbre. b)

Classification

dichotomique On appelle classification dichotomique (resp. complète) notée 0- (resp. *e) toute classification hiérarchique (resp. complète) formée uniquement de dichoto- mies. Une telle famille ordonnée forme un arbre

à III -

1 (resp. III) sommets dont chaque embranchement est au maximum d'ordre deux.

A toute classification

hiérarchique [If on peut associer au moins une classifica- tion dichotomique faisant apparaître les mêmes classes. On appelle décomposition dichotomique (D une sous-famille de cette classification dichotomique associée aux classes d'une partition de H. En général il y a plusieurs classifications dichoto- miques, et donc plusieurs décompositions des partitions. Par exemple [a, b ; c ; d ; e] on peut associer : etc. (il y a six décompositions de cette partition). On peut compléter une telle décomposition en classification dichotomique e.

Exemple :

Si 1 {a, b, c, d, e, f} il suffira d'adjoindre [a, b, c, d, e ; f] et [a;b] à l'une des décompositions ci-dessus. c)

Produit de classifications

Soit 1

11 x 12 x ... x IIKJ noté 1

TI

Ik, k E K

{l, 2, ... , |K|} (supposé K aussi fini avec IKI > 2).

On notera

il i2, ... , ilKI un élément de I. Pour chaque k, soit {3Lk (Blk)' Qk E Lk une partition dans Qk dont les Blk sont les |Lk parties. ({3Lk E pk ensemble des partitions dans lk). TI B1k est (pour les

Qk fixés)

une partie de Q. K

Si PK est l'ensemble des

partitions dans 1

Il Ik on

appellera produit de clas- K sifications dans Ik(k E K) le résultat de l'opération qui associe aux {3Lk (k E K) la partition notée {3Lk

E PK formée des

parties n Blkquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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