[PDF] Devoir surveillé n?5 1 déc. 2008 (a)

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TaleSTIEtude d"une fonction polynômeLundi 01 décembre 2008

Devoir surveillé n°5

Soitfla fonction de courbe représentativeCfdéfinie surRpar : f(x) =x 3+52x

2-2x-32.

1. (a) Déterminer la limite defen-∞.

(b) Déterminer la limite defen +∞.

2. (a) Déterminer la dérivée de la fonctionf.

(b) En déduire le tableau de variation def.

3. (a) La courbeC

fadmet-elle des tangentes horizontales? Si oui, en quel(s) point(s)? (b) Donner une équation deT, tangente à la courbeC fau point d"abscisse 1.

4. (a) D"apprès le tableau de variation, combien l"équationf(x) = 1 admet-elle de solutions surR?

(b) Montrer que l"équationf(x) = 1 admet une solutionαunique sur l"intervalle [ 1 ;2 ]. (c) Donner un encadrement d"amplitude 10 -3pourα.

5. SoitFla fonction définie surRpar :

F(x) =x

4 4+5x 3 6-x

2-3x2+π.

(a) MontrerFest une primitive de la fonctionfsurR. (b) Calculer la valeur exacte, puis aprochée à 0,1 près, deA=F(-1)-F(-3). Ce nombre représente l"aire située entre l"axe des abscisses, la courbeC fet les droites d"équations x=-3etx=-1. On noteA=?-1 -3 f(x)dx=F(-1)-F(-3).

6. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O;-→ı;-→?) d"unité 2 cm surOxet 0,5 cm surOy.

(a) Dans ce repère, tracer les tangentes horizontales, la tangenteTet la courbeC f. (b) Représenter l"aireAcalculée dans la question 5. http://nathalie.daval.free.frDurée : 1 heure TaleSTIEtude d"une fonction polynômeLundi 01 décembre 2008

Correction du DS n°5

1. (a) La limite defen-∞est une forme indéterminée du type "∞ - ∞».

On factorise :f(x) =x

3?1 +52x-2x2-32x3?.

lim x→-∞x3=-∞ lim x→-∞?1 +52x-2x2-32x3?= 1 par produit : limx→-∞f(x) =-∞

(b) La limite defen +∞est une forme indéterminée du type "∞-∞», on utilise la factorisation :

lim x→+∞x3= +∞ lim x→+∞?1 +52x-2x2-32x3?= 1 par produit : limx→+∞f(x) = +∞

2. (a)f?(x) = 3x2+ 5x-2

(b) Pour déterminer le signe def?(x), on calcule le discriminant Δ, ici égal à 49, ce qui nous donne

deux racines réelles distinctesx

1=-2 etx2=13. Or, un polynôme du second degré est du signe

dea(ici positif) sauf entre ses racines d"où le tableau de variation def: x-∞ -21

3+∞

Signe def?(x)+ 0-0 +

9

2+∞

Variations def? ? ?

-∞ -50 27

3. (a) La courbeCfadmet des tangentes horizontales lorsque sa dérivée s"annule, c"est à dire en-2 et en13

(b) L"équation de la tangente en 1 estT:y=f(1)(x-1) +f(1).

Or,f(1) = 0 etf

?(1) = 6 d"où l"équation de la tangente cherchée :y= 6(x-1) + 0.

SoitT:y= 6x-6

4. (a) D"après le tableau de variation, l"équationf(x) = 1 admet 3 solutions surR

(b)fest continue et strictement croissante sur [ 1 ;2 ]. De plus, on af(1) = 0<1 et (2) = 12,5>1 donc, l"équationf(x) = 1 admet une unique solution dans l"intervalle [ 1 ;2 ] (c) La calculatrice nous donne : xf(x)

1,1460,996

1,1471,004

On obtient donc 1,146< α <1,147

5. (a)F?(x) =4x

3

4+5×3x

2

6-2x-3×12+0 =x

3+5x 2

2-2x-32=f(x) donc,Fest une primitive defsurR

(b)A= ?(-1)4

4+5(-1)

3

6-(-1)

2-3(-1)2+π

?(-3)4

4+5(-3)

3

6-(-3)

2-3(-3)2+π

A=-112+π+274-π=? A=203= 6,7

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6. Graphique :

1 2-1-2-3-4

4812162024

-4 -8 -12 -16 Cf T αA y= 1 http://nathalie.daval.free.frDurée : 1 heurequotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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