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Méthode de la sécante

• La méthode de Newton nécessite le calcul de la dérivée de la fonction f(x). • Cette dérivée peut être difficile à calculer (par ex. f(x)=x 2 3 x cos(2x). [f'(x)=2x 3 x cos(2x)+ x 2 3 x cos(2x) ln(3)- 2x 2 3 x sin(2x)]. • On construit la suite (x n 1 1 1 n nnn n nn nn fxx x h avec hfx fx xx

Interprétation géométrique

y = f(x)Solution de f(x)=0 x 0 approximation initiale sécante x 1 sécante x 2 et on continue.... 1 1

Dans la méthode de Newton on remplace:

et on obtient la méthode de la sécante nn n nn fx fxfxxx

REMARQUES

La dérivée n'apparaît plus

• On doit fournir deux valeurs initiales (x 0 et x 1 • Il n'est pas nécessaire que f change de signe dans l'intervalle[x 0 ,x 1 Comparaison des deux méthodes pour f(x)=cos(x)-x [x_newton,err_newton] = newton('ma_fonction','ma_derivee',2,20,1e-6,'resul_newton.dat') [x_secante,err_secante] = secante('ma_fonction',-2,2,20,1e-6,'resul_secante.dat');

Méthode de Newton

• Fonctions : • ---------•F = cos(x)-x; •dF = -sin(x)-1;• Arguments initiaux : • Nombre maximal d'iterations : nmax = 20 • Critere d'arret : epsilon = 1.000000E-006 • Estimation initiale : x_0 = 2.000000E+000 • Iter . x_i f(x_i) • 0 2.0000000000E+000 -2.416147E+000 • 1 7.3453616885E-001 7.605544E-003 • 2 7.3908972421E-001 -7.683544E-006 • 3 7.3908513322E-001 -7.788770E-012 4

7.3908513322E-001 0.000000E+000

• Approximation finale de la racine: r = 7.3908513322E-001

Méthode de la sécante

• Fonction : • --------•F = cos(x)-x; • Arguments initiaux : • Nombre maximal d'iterations : nmax = 20 • Critere d'arret : epsilon = 1.000000E-006 • Estimations initiales : x_0 = -2.000000E+000 •x_1 = 2.000000E+000 Iter. x_i f(x_i) • 0 -2.0000000000E+000 1.583853E+000 • 1 2.0000000000E+000 -2.416147E+000 • 2 -4.1614683655E-001 1.330800E+000 • 3 4.4199409882E-001 4.619064E-001 • 4 8.9818426644E-001 -2.751530E-001 • 5 7.2788307210E-001 1.870137E-002 • 6 7.3872131907E-001 6.088348E-004 • 7 7.3908603857E-001 -1.515218E-006 • 8 7.3908513314E-001 1.217437E-010 9

7.3908513322E-001 1.110223E-016

• Approximation finale de la racine: • r = 7.3908513322E-001• --------------------------------- 1 1 1 1 1 11 1 A B nnnn nn n nn nn nn nnnn nn fx fx x xxx xfx fxfx fx xx xfx xfx fx fx

On voit que nous pouvons exprimer x

n+1 de deux façons qui sont équivalente mathématiquement. Laquelle choisir? Pourquoi? On choisit A, car en calculant le numérateur de B on risque de soustraire des nombres presque identiques quand n est grand. REMARQUE

Analyse de la convergence

11 11 11 Soit *la racinesimplede ( ) 0(c.à.d '( *) 0).Deplus on supposeque ''( *) 0. On a: ()( ) ()( ),(1)() ( ) () ( ) où *.

La formu

nn n nn n nn nn nn nn nn nn n xfxfx fx fx x x fx e exx eefx fx fx fx exx fx fx x x fe x 2 -1 1 1 le de Taylor en * s'écrit: ''( *) ( * ) ( *) '( *) ...2 On remplace , par et et on remplace dans (1). Il s'en suit: 2'(*) nn nn n x fxfx fx f x ee fxeeefx 1 2 O n cherche (l'ordre de convergence)tel que U n calcul simple montre que est la solution positive de : 15

1 0 (le nombre d'or)2

D e 1< 2, on déduit que la convergence n'est pas linéair nn ee e et elle n 'est pas quadratique. On parle de convergence superlinéaire

Méthode des points fixes

On remarque que la méthode de Newton s'écrit 1 1 ()(),où() .'( ) En supposant la convergence ( *) et la continuité de on obtient lim lim ( ) * ( *) n nn nn n n nn nn fxxgx gxxfx xx g xgxxgx Un point x*qui satisfait l'égalité qui est encadrée s'appelle point fixe de g. Cette définition est valable pour toute fonction. Un point fixe est une valeur invariante pour une fonction.

L'utilité des points fixes

• Dans l'étude de l'évolution des systèmes dissipatifscelle-ci étant supposée déterministe car décrite soit par un flot autonome continu dX(t)/dt=G(X(t)), soit par une application à temps discret x(k+1)=g(x(k)).

- Le point fixe: il correspond à un état stationnaire du système(pas d'évolution)

• Les attracteurs sont des formes géométriques qui caractérisent l'évolution à long terme des systèmes dynamiques dans l'espace des phases, espace schématisant la trajectoire que décrit le système avant d'entrer dans un état d'équilibre. Avant 1963, les seuls attracteurs connus étaient les points fixes, les cycles limites et les tores. Un pendule simple qui oscille en perdant de l'énergie suit des trajectoire en forme de spirales qui vont converger vers un point fixe. Ce point fixe est l'attracteurde ce système. D'autres systèmes, périodiques, ne se stabilisent jamais. Un pendule simple idéal (sans perte d'énergie), décrira indéfiniment le même mouvement. Sa trajectoire est un cycle (courbe fermée).

Algorithme du point fixe

But: Trouver la solution de x = g(x)

Entrée: N (nombre d'itérations), x

0 (point initial), (critère d'arrêt)

Sortie: x* la solution

0 0 0 1. 1

2. tantque( )faireétapes3 jusqu'à 6

3. ( )

||4. Si alors * STOP.|| 5. 1 6.

7. La méthode n'a pas convergé après N itérations

6. FIN n

nN xgx xxxxx nn xx

Exemple: (choix de g)

Résoudre x

3 +4x 2 -10=0avec la méthode des points fixes. 32
1 2 3 3 4 32
5 2 () () 4 10 10 () () 4 1 () () (10 )2

10() ()4

410
() ()38ax gx xx x bx gx x x cx gx x dx gx x xx ex g x xxx==--+ %programme (Choix de g) clear all x0 = 1.5;

N = 40;

epsilon =1e-6; [x1, err1] = ptfixe('g1',x0,N,epsilon,'resul1.dat'); [x2, err2] = ptfixe('g2',x0,N,epsilon,'resul2.dat'); [x3, err3] = ptfixe('g3',x0,N,epsilon,'resul3.dat'); [x4, err4] = ptfixe('g4',x0,N,epsilon,'resul4.dat'); [x5, err5] = ptfixe('g5',x0,N,epsilon,'resul5.dat'); function g = g1(x) g = x-x^3-4*x^2+10; function g = g2(x) g = sqrt(10/(4+x)); function g = g3(x) g = sqrt(10-x^3)/2; function g = g4(x) g = sqrt(10/(4+x)); function g = g5(x) g = x-( (x^3+4*x^2-10)/(3*x^2+8*x));g1.m g2.m g4.mg3.m g5.mc8ex2.m

Methode des points fixes

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