[PDF] Répétitions de géométrie Bachelier en Sciences Physiques

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Faculté des Sciences

Département de MathématiqueRépétitions de géométrie

Bachelier en Sciences PhysiquesAssistante :Marie Kreusch, B37, bureau 1/20 e-mail : M.Kreusch@ulg.ac.be

Professeur :Pierre Mathonet, B37, e-mail : P.Mathonet@ulg.ac.be

Année académique 2015-2016

A propos de ces notes

Ces notes constituent le support des répétitions données en parallèle du cours degéométrie

(MATH0476-1) dispensé par le Professeur P. Mathonet aux étudiants du premier bloc au second semestre du grade de bachelier en sciences physiques de l"Université de Liège.

Le découpage du texte est inspiré de la structure du cours théorique. Chaque section comporte

des exercices qui sont pour la plupart résolus durant les séances de répétitions. Pour chaque section,

des exercices supplémentaires sont suggérés aux étudiants afin d"approfondir la matière, parmi ceux-ci

figurent des énoncés d"examens d"années précédentes avec les solutions. Ces notes sont en constante évolution et construction, de plus des "coquilles" peuvent subsister, c"est ainsi que toutes suggestions et commentaires afin d"améliorer celles-ci sont les bienvenus. " Rien n"est permanent, sauf le changement "Héraclite d"Ephèse, 500 A.J.C. 1

Géométrie 2015-2016 - 1BP

1 Les espaces vectoriels

Exercice 1.1.Soit(E,+,·)un espace vectoriel surReta?E. On définit les opérations suivantes :

?:E×E-→E: (x,y)?→x+y-a; ◦:R×E-→E: (λ,x)?→λ·x+ (1-λ)·a. Montrer que(E,?,◦)est encore un espace vectoriel surR. Exercice 1.2.Dans l"espace vectorielR2, on considère les vecteurs v 1=?2 1? , v 2=?4 7? (a)

Calculer la c ombinaisonlinéaire 3v1-v2.

(b) Calculer la com binaisonlinéaire r1v1+r2v2, pourr1,r2?R. (c) Les v ecteursv1,v2sont-ils linéairement indépendants? (d) P ourv3= (4,m)≂, déterminerm?Rpour que les vecteursv1,v3soient linéairement dépen- dants. (e) Soit v4= (10,10)≂. Les vecteursv1,v2,v4sont-ils linéairement indépendants? Exercice 1.3.Dans l"espace vectorielR3, on considère les vecteurs v 1=( (0 1 4) ), v2=( (2 1 0) ),v3=( (3 1 0) (a)

Calculer la c ombinaisonlinéaire v1-v2+v3.

(d) Les v ecteursv1,v2etv3sont-ils linéairement indépendants? (c) P ourv4= (6,7,m)≂, trouvermpour que les vecteursv1,v2,v4soient linéairement dépendants. Exercice 1.4.Dans l"espace vectorielR4, on considère les vecteurs v 1=( (((1 4 0 0) ))), v2=( (((4 -3 0) ))), v3=( (((2 6 2 -1) ))), v4=( (((-1 1/2 0 -1)

Calculer les combinaisons linéaires suivantes

(a)v1+v2+v3 (b)v1+ 2v2-v3-v4 (c)r1v1+r2v2pourr1,r2?R.

Solution :(a)(

(((7

10 +π

-1 -1) ))),(b)( (((8

2π-52

-8 2) ))),(c)( (((r

1+ 4r2

4r1+πr2

-3r2 0) 2 Exercice 1.5.On considère les vecteursx1= (1,2,3)≂etx2= (-1,0,2)≂de l"espace vectoriel R

3. Construire un vecteurx3deR3pour quex1,x2etx3soient linéairement indépendants (resp.

linéairement dépendants).

Exercice 1.6.Considérons les vecteurs linéairement indépendantsa1,a2eta3d"un espace vectoriel

et définissons les vecteursv1,v2etv3par??? ?v

1=a1+a2+a3,

v

2=a1-a2+a3,

v

3=a1+a2-a3.

Les vecteursv1,v2etv3sont-ils linéairement indépendants?

Exercice 1.7.SoitR2[x] ={αx2+βx+γ|α,β,γ?R}, l"espace des polynômes de degré au plus2

surR. Sachant que1,x,x2forment une base deR2[x](voir cours théorique) montrer qu"il en est de même pour1,x-a,(x-a)2, pour touta?R. Décomposer un polynôme quelconque

Q(x) =q2x2+q1x+q0, q2,q1,q0?R

dans la nouvelle base. Exercice 1.8.Les vecteursv1,v2,v3de l"exercice 1.3 forment-ils une base deR3? Si oui, décomposer le vecteurv4dans cette base.

Exercice 1.9.DansR2, on donne le vecteurv= (1,2)≂. Déterminer les équations paramétriques de

l"enveloppe linéaire dev. Déterminer une équation cartésienne de cette enveloppe linéaire. Déterminer

la condition surm?Rpour que le vecteurv?= (3,m)≂soit tel quevetv?soient linéairement dépendants. Exercice 1.10.SoitQl"ensemble des rationnels, considérons l"ensembleQ×Q, est-ce un sous-espace vectoriel deR2surR?

Exercice 1.11.Le sous-ensembleVdeR2défini par

V={?x y? ?R2: 3x+ 2y= 1} est-il un sous-espace vectoriel deR2? Même question pour V a={?x y? ?R2: 5x+ 3y=a}

oùa?R. Dans le cas où c"est un sous-espace vectoriel, le décrire comme une enveloppe linéaire. De

plus, vérifier que le vecteur?-6 10? est dans le sous vectoriel considéré avant. Exercice 1.12.Discuter en fonction du paramètreα?Rle rang de la matrice donnée ci-dessous : B=(

28 0 4

3α1-1

1α0 1)

En fonction du paramètreα, que peut-on dire de la dimension du sous-espace vectoriel deR4suivant

2 8 0 4) (((3 1 -1) (((1 0 1)

et du nombre d"équation(s) cartésiennes indépendantes dont on a besoin pour décrire cet ensemble?

3 Exercice 1.13.Calculer le déterminant de la matriceAen fonction des réelsaetc. A=( (((a c c-a c a-a c c-a a c -a c c a)

Exercice 1.14.DansR3, on donne les vecteurs

v 1=( (2 4 6) ), v2=( (1 2 3) ),v3=( (2 1 0) Ecrire une/des équation(s) cartésienne(s) de l"e nveloppelinéaire de v1etv2. Ecrire une/des équation(s) cartésienne(s) de l"e nveloppelinéaire de v1etv3. Ecrire une/des équation(s) cartésienne(s) de l"e nveloppelinéaire de v1,v2etv3.

Exercice 1.15.

(*) SoitEun espace vectoriel etf1,...,fp-1,fpdes vecteurs deEoùp >1, montrer que sifpest combinaison linéaire def1,...,fp-1alors ?f1,...,fp?=?f1,...,fp-1? et en déduire la dimension de cette enveloppe linéaire. Exercice 1.16.Dans un espace vectorielEde dimension deux on se donne une baseB= (u1,u2)et les vecteursv1= 2u1+u2etv2=u1-u2. Démontrer queB?= (v1,v2)est également une base de E. Déterminer les composantes deu1etu2dans cette base. Exprimer les formules de changement de base entre ces deux bases.

Exercice 1.17.Dans l"espace vectorielR3déterminer des équation cartésiennes de l"enveloppe linéaire

du vecteurv= (1,2,3)≂. Faire de même avec le vecteurv?= (2,4,0)≂.

Solution :(a)?y= 2x

z= 3x(b)?y= 2x z= 0

Exercice 1.18.Dans l"espace vectorielR3déterminer une équation cartésienne de l"enveloppe linéaire

des vecteursv1= (1,2,3)≂etv2= (0,0,1)≂. Faire de même avec l"enveloppe linéaire des vecteursv3

etv4donnés parv3= (1,0,1)≂etv4= (-1,1,0)≂. Déterminer dans chaque cas la dimension de cette

enveloppe linéaire.

Solution :2x=yetz-y-x= 0.

Exercice 1.19.Dans l"espace vectorielR4munit de la base canonique, déterminer des équations paramétriques et cartésiennes de( (((1 2 3 4) (((5 6 7 8)

Solution :?

2x2-4x3+x4= 0

x

1-3x2+ 2x4= 0

4

Exercices proposés

Exercice 1.20.(juin 2006)

DansR2, on considère les quatre vecteurs suivants : w=?1 2? , x=?0 1? , y=?1 0? , z=?2 1? Vérifier que(w,x)et(y,z)sont deux bases deR2, puis construire la matrice de changement de base

pour passer de la première à la seconde. Utiliser cette matrice de changement de base pour obtenir les

composantes du vecteur2w+ 3xdans la base(y,z). Solution :Pour passer de la base(w,x)à la base(y,z)on utilise la matrice?-3-2 2 1? et pour passer de la base(y,z)à la base(w,x)on utilise la matrice?1-2 2-3?

De plus,v=-12y+ 7z.

Exercice 1.21.(Partiel à blanc, décembre 2007)

On considère les vecteurs deC3suivants(

(0

α-1)

1 0) 1

α-1)

A quelle(s) condition(s) sur le paramètre complexeα, ces trois vecteurs sont-ils indépendants?

Solution :α?R\{0,1}.

Exercice 1.22.(Interrogation dispensatoire, janvier 2008) Soientu,v,wtrois vecteurs linéairement indépendants d"un espace vectorielE. Les vecteurs x

1=u+v , x2=u-2v+w , x3=v-w , x4= 3u+ 2v+w

sont-ils linéairement indépendants? Pourquoi?

Solution :Les vecteurs ne sont pas linéairement indépendants car si on considère une combinaison

linéaire nulle de ces vecteurs

1x1+λ2x2+λ3x3+λ3x4= 0,

on obtient un système d"équations qui admet pour solutions(λ1,λ2,λ3,λ4) = (-3α,0,α,α), oùα?R.

Ces quadruples ne sont pas tous nuls.

Exercice 1.23.Déterminer si les polynômesP,QetRsont linéairement indépendants dansP, dans

les cas suivants : i)P(x) =x3-3x2+ 3x+ 1,Q(x) =x3-x2+ 8x+ 2etR(x) = 2x3-4x2+ 9x+ 5. ii)P(x) =x3+ 4x2-2x+ 3,Q(x) =x3+ 6x2-x+ 4etR(x) = 3x3+ 8x2-8x+ 7. Solution :Dans le casi)ils sont L.I. et ils sont L.D. dans le casii).

Exercice 1.24.Soient

A=?4 2

6 3? et? ?F={X?R22:AX= 0}

G={X?R22:XA= 0}

H={X?R22:AX=XA}

Monter queF,GetHsont des sous-espaces vectoriels de l"espace vectoriel des matrices réelles carrées

de dimension2. Préciser une base et leur dimension. Professeur : P. Mathonet - Assistante : M. Kreusch - 9 février 2016 5

Géométrie 2015-2016 - 1BP

2 Espaces affines, combinaisons affines, équations de variétés affines

Exercice 2.1.Dans un espace affineA, on considère un parallélogrammeABCD. Pour chacune

des expressions suivantes déterminer la nature de l"objet indiqué (point, vecteur, non défini) et le

représenter : (a)2A+B-C-D (b)-2A+ 2B+C-D (c)A-B+C+ 2D (d)A-12 B-12 C+D Exercice 2.2.Dans un espace affineA, démontrer que siABCDest un parallélogramme dans un espace affineAalors il en est de même pourADCB. Exercice 2.3.Dans un espace affineA, démontrer queABCDest un parallélogramme si et seulement si le milieu de[A,C]est égal au milieu de[B,D]. Exercice 2.4.Dans un espace affineA, démontrer que dans un triangleABCles médianes sont concourantes.

Exercice 2.5.Dans un espace affineA, montrer que les droites joignant chacune le milieu d"une arête

d"un tétraèdre au milieu de l"arête opposée sont concourantes. Identifier le point commun.

Exercice 2.6.Dans un espace affineA, démontrer que le segment déterminé par les milieux d"un

côté d"un triangle est parallèle au troisième côté. Exercice 2.7.Dans un espace affineAde dimension 3 muni d"un repère, on considère les points

A,B,Cdéfinis par leurs coordonnées

A:( (2 1 0) )B:( (4 1 1) )C:( (-6 1 -4) (a) Déterminer les co ordonnéesdu p ointD= 4A-3C, (b) Déterminer les co ordonnéesdu milieu de [A,B], (c) Ecrire des équation scartésiennes de la droite AB. (d) Démon trerque les p ointsA,BetCsont alignés, Exercice 2.8.Dans un espace affineAde dimension deux muni d"un repère, on donne les points

A,B,C,Ddéfinis pas leurs coordonnées

A:?2 0? B:?5 4? C:?1 3? D:?5 6? (a) Déterminer une équation cartésienne de la droite ABet de la droiteCD. (b) Déterminer une é quationcartésienne de la droite D, parallèle àBCpassant parA. 6 (c)Déterminer les co ordonnéesd up ointEtel queABCEsoit un parallélogramme. (d) Déterminer les co ordonnéesdu symétrique de Apar rapport àB.

Exercice 2.9.Dans un espace affineAde dimension trois muni d"un repère, on considère les points

A,B,C,Ddéfinis pas leurs coordonnées

A:( (1 2 3) )B:( (-1 1 0) )C:( (1 0 1) )D:( (0 -2 -1) et un vecteurudont les composantes sontu:( (2 1 0) (a) Ecrire des é quationscartésiennes de la droite AB. (b) Ecrire des équations paramétriques p ourle segmen t[C,D]. (c) Ecrire des équations cartésiennes de la d roiteDcontenantCet de vecteur directeuru. Cette droite est-elle parallèle àAB?

Exercice 2.10.Dans un espace affine de dimension 3 muni d"un repère, écrire une équation du plan

passant par le pointAde coordonnées(1,0,3)≂et de sous-vectoriel directeur?u,v?l, où le vecteuru

(resp.v) a pour composantes(2,1,0)≂(resp.(2,4,6)≂). Exercice 2.11.Dans un espace affineAde dimension trois muni d"un repère, on donne la droiteD d"équations ?x+ 2y-3z= 2 y+z= 1, le pointPde coordonnées(2,1,0)≂et le vecteurude composantes(3,2,1)≂. (a) Ecrire une é quationdu plan πdéterminé parDetP. (b) Ecrire une équation du plan π?contenantDet dontuest un vecteur directeur. Exercice 2.12.Dans un espace affineAde dimension trois muni d"un repère, on donne les droites

DetD?d"équations respectives

?x+y-z= 2

3x-2y+ 1 = 0et?x-2y= 3

2x-y+z= 1

(a)

Démon trerque ces droites son tgauc hes.

(b)

Si Pest le point de coordonnées(1,2,3)≂, écrire une équation cartésienne du plan déterminé

parDetP. (c) Ecrire des équations cartésiennes de la droite qui coup eDetD?et qui contientP, en ayant démontré préalablement qu"une telle droite existe. (d) Soit D??une droite dont un vecteur directeur est donné parude composantes(1,2,3)≂. Ecrire

des équations cartésiennes de la droite qui coupeDetD?et qui est parallèle àD??, en ayant

démontré préalablement qu"une telle droite existe. 7

Exercices proposés

Exercice 2.13.(juin 2006)

Dans un espace affineAde dimension 3 muni d"un repère, on considère les droitesD1etD2 d"équations respectives?x+z= 0 y+z= 0et?2x+y=-2 y+ 2z= 0

Vérifier queD1etD2sont gauches et donner l"équation cartésienne ainsi qu"un vecteur directeur de

la droite passant par le point de coordonnées(1,-1,1)≂et s"appuyant sur les droitesD1etD2.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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