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DIPLÔME NATIONAL DU SESSION 2013 Épreuve de : MATHÉMATIQUES SÉRIE GÉNÉRALE Durée de l’épreuve : 2 h 00 Coefficient : 2 BREVET Le candidat répond sur une copie modèle Éducation Nationale Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7 Dès qu’il vous est remis assurez-vous qu’il est complet et qu’il correspond à votre série
Métropole - La Réunion - Antilles-Guyane
Exercice 14 points
Avec un logiciel :
on a construit un carréABCD, de côté 4 cm. on a placé un pointMmobile sur [AB] et
construit le carréMNPQcomme visualisé sur la copie d"écran ci-contre. on a représenté l"aire du carréMNPQen fonction de la longueurAM. A B CDM N P QM N P QOn a obtenu le graphique ci-dessous.
0123456789101112131415161718
0 1 2 3 4 5 6
Aire de MNPQ?en cm2?
Longueur AM (en cm)
OEn utilisant ce graphique répondre auxquestions suivantes.Aucune justifica- tionn"est attendue.1.Lorsque
AM=1ouAM=
3 , l"aire deMNPQest égale à 10 cm 2.2.Lorsque
AM=0,5, l"aire de
MNPQest égale à
12,5.3.L"aire deMNPQest minimale,
lorsque AM=2.Cette aire a alors pour valeur
8.MNPQest alors un carré.
Corrigé du brevet des collègesA. P. M. E. P.Exercice 24 points
On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs dexpar une fonction affinef
et par une autre fonctiong. Une copie de l"écran obtenu est donnée ci-dessous.C2fx=-5?C1+7
ABCDRFGH
1x-3-2-10123
2f(x)22171272-3-8
3g(x)138545813
41.L"image de-3 parfestf(-3)=22.
2.Danslacase
C2setrouvelaformule=-5?C1+7,cequisignifiequelavaleur deC2estobtenue en multipliant le contenu de la caseC1par-5 et en ajoutant 7 au résultat. En "tirant sur la formule», on obtient pour la caseL2:=-5?L1+7.L1contient 7, doncL2contient-5×7+7=-28
Ainsif(7)=-28.
3.f(x)=-5x+7.
4.On sait queg(x)=x2+4. La formule saisie dans la celluleB3et recopiée ensuite vers la droite
pour compléter la plage de cellulesC3:H3est :B1?B1+4Exercice 36 points
Les informations suivantes concernent les salaires des hommes et des femmes d"une même entre- prise :Salaires des femmes :
1200?; 1230?; 1250?; 1310?: 1376?; 1400?; 1440?; 1500?; 1700?; 2100?
Salaires des hommes :
Effectif total : 20
Moyenne : 1769?
Étendue : 2400?
Médiane : 2000?
Les salaires des hommes sont tous différents.
1.Le salaire moyen des femmes est :
10=1450,60?
Comme le salaire moyen des hommes est de 1769?, il est supérieur au salaire moyen des femmes.2.Il y a 10 femmes et 20 hommes dans l"entreprise, soit 30 employés.
On tire au sort une personne dans l"entreprise.
La probabilité que ce soit une femme est donc de :1030=13.
3.Le plus bas salaire del"entreprise est de1000?. C"est le salaire d"un homme puisque le salaire
le plus bas d"une femme est de 1200?.L"étendue du salaire masculin étant de 2400?, le salaire le plus élevé d"un homme est donc de
1000+2400=3400?. Ce salaire est supérieur au salaire le plus élevé chez les femmes.
3400?est donc le salaire le plus élevé dans l"entreprise.
Métropole-La Réunion-Antilles-Guyane 227 juin 2013 Corrigé du brevet des collègesA. P. M. E. P.4.Le salaire médian chez les hommes est de 2000?. Comme il y a un nombre pair d"hommes et
que les salaires des hommes sont tous différents, on peut affirmer que personne (homme ou femme) ne touche ce salaire dans l"entreprise. Il y a donc 10 hommes qui touchent plus de 2000?et, d"après le tableau, une femme. Dans cette entreprise, il y a 11 de personnes gagnent plus de 2000??Exercice 45 points
Trois figures codées sont données ci-dessous. Pour chacune d"elles, déterminer la mesure de l"angle
?ABC.Figure 1A B
CAC = 3cmBC = 6cm
A BCO59°Figure 2
[AB] est un diamètre du cercle de centre O. A B C DE ?Figure 3 O Figure 1Nous sommes dans un triangle rectangle. Nous pouvons donc utiliser la trigonométrie. sin ?ABC=ACBC=36=12=??ABCmesure30◦
Figure 2Dans tout triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. Ici :OAC=?OCAet?BCO=?CBO=?ABC
Le pointOest le centre du cercle, carOA=OB=OC. La figure laisse supposer que les pointsB,OetAsont alignés (diamètre). Ainsi :
BOC+?COA=?BOA=angle plat de mesure 180◦
Enfin, la somme des mesures des angles dans un triangle vaut 180◦.Ainsi :
OCA=?OAC=59◦;?AOC=180-2×59=62◦;?BOC=180-62=118◦; 2?ABC=180-118=62=??ABC=31◦
Métropole-La Réunion-Antilles-Guyane 327 juin 2013 Corrigé du brevet des collègesA. P. M. E. P. Autre méthode :le triangleABCest rectangle enCpuisqu"inscrit dans un demi-cercle.OCA=?OAC=59◦;?BCO=?ABC=90-59=
31◦
Figure 3Le pentagoneABCDEest régulier, (tous les côtés sont égaux), donc?AOB=3605=72◦.
En utilisant certaines propriétés énoncées plus haut, on obtient :ABC=2?ABO=180-72=
108◦
Exercice 57 points
soin de 300 parpaings dedimensions 50 cm×20 cm×10 cm pesant chacun 10 kg. Il achète les parpaings dans un magasin situé à 10 km de sa maison. Pour les transporter, il loue au magasin un fourgon. 50 cm20 cm 10 cm
Information 1 : Caractéristiquesdu fourgon
3 places assises.
Dimensions du volume transportable (L×l×h): 2,60 m×1,56 m×1,84 m. Charge pouvant être transportée : 1,7 tonne. Volume réservoir : 80 litres.
Diesel (consommation : 8 litres aux 100 km).
Information 2 : Tarifs de location du fourgon
1 jour1 jour1 jour1 jourkm
30 km maximum50 km maximum100 km
maximum200 km maximumsupplémentaire48?55?61?78?2?
Ces prix comprennent le kilométrage indiqué hors carburant Information 3 : Un litre de carburant coûte1,50?. 1. La charge pouvant être transportée est de 1,7 tonne. Il devra effectuer deux aller-retour pour transporter les 300 parpaings jusqu"à sa maison, car le poids des 300 parpaings est de 300×10=3000 kg=3 tonnes.
De plus, si l"on met
5 parpaings dans la
longueur, on obtient 5×50=250 cm<260cm. 9 parpaings dans la
hauteur, on obtient 9×20=180 cm<184cm 15 parpaings dans la
largeur, on obtient 15×10=150 cm<156cm On peut mettre 9×5×15=675 parpaings en volume dans le fourgon. Donc on peut évidem- ment mettre 150 parpaings à chaque voyage. Métropole-La Réunion-Antilles-Guyane 427 juin 2013 Corrigé du brevet des collègesA. P. M. E. P.2.Coût total du transport : 2 aller-retour : (2×10)×2=40 km, donc
le tarif de la location sera de 55?. carburant : le fourgon faisant du 8 litre aux 100 km, pour parcourir 40 km, il consommera8×40
100=3,2 litres.
Le coût sera de : 3,2×1,5=4,80?.
Le coût total sera donc de : 55+4,8=59,80?.
3.Les tarifs de location du fourgon ne sont pas proportionnelsà la distance maximale autorisée
par jour, car : 3048=0,625?=5055?0,909
Exercice 65,5 points
Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane. On admet qu"un tas de sel a
toujours la forme d"un cône de révolution.1. a.Pascal souhaite déterminer la hauteur d"un cône desel dediamètre5 mètres. Ilpossède un
bâton de longueur 1 mètre. Il effectue des mesures et réaliseles deux schémas ci-dessous :
Cône de sel
Bâton
3,20 m 2,30 m 5 m1 m
ACS O E LB La hauteur de ce cône de sel esth=2,50 mètres. On utilise le théorème de Thalès : ABBC=AOOS??3,21=3,2+2,3+2,5h??h=83,2=2,5
b.Volume du côneV:V=π×2,52×2,5
3?16,3541666667?16 m3
2.Le sel est ensuite stocké dans un entrepôt sous la forme de cônes de volume 1000 m3. Par
mesure de sécurité, la hauteur d"un tel cône de sel ne doit pasdépasser 6 mètres. h=6=?1000=6πR23=2πR2=?500π=R2=?R=?
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