[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Exo7

Trigonométrie

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1*ITRésoudre dansRpuis dans[0;2p]les équations suivantes : 1. sin x=0, 2. sin x=1, 3. sin x=1, 4. cos x=1, 5. cos x=1, 6. cos x=0, 7. tan x=0, 8. tan x=1. 1. sin x=12 2. sin x=1p2 3. tan x=1, 4. tan x=1p3 5. cos x=p3 2 6. cos x=1p2 1. sin (2x) =12 ;I= [0;2p], 2. sin x2 =1p2 ;I= [0;4p], 3. tan (5x) =1;I= [0;p], 1

4.cos (2x) =cos2x;I= [0;2p],

5. 2 cos

2x3cosx+1=0;I= [0;2p],

6. cos (nx) =0(n2N),

7.jcos(nx)j=1,

8. sin (nx) =0,

9.jsin(nx)j=1,

10. sin x=tanx;I= [0;2p], 11. sin (2x)+sinx=0;I= [0;2p], 12.

12 cos

2x8sin2x=2;I= [p;p].

1. cos x612 ;I= [p;p], 2. sin x>1p2 ;I=R, 3. cos x>cosx2 ;I= [0;2p], 4. cos

2x>cos(2x);I= [p;p],

5. cos 2x612 ;I= [0;2p], 6. cos x3

6sinx3

;I= [0;2p]. p8 et sinp8 p12 et sinp12 åcos(a1a2:::an) =2ncosa1cosa2:::cosan(la somme comporte 2ntermes).

Õnk=1cosa2

kpouraélément donné de]0;p[(penser à sin(2x) =2sinxcosx). 2.

Déterminer lim

n!+¥ånk=1lncos(a2 k). 2 et1p3 1.

Calculer tan (3q)en fonction de tanq.

2.

Résoudre dans Rl"équation :

3xx313x2=3aa313a2:

On trouvera deux méthodes, l"une algébrique et l"autre utilisant la formule de trigonométrie établie en

1). 1.

Calculer tan (5x)en fonction de tanx.

2. En déduire un polynôme de de gré4 dont les racines sont tan 9 ,tan27,tan63et tan81puis la valeur deS. tanx+tan(2x)+tan(3x)+tan(4x) =0; possède-t-elle de solutions dans[0;p]? 2p5 et sin2p5 . Pour cela, on posea=2cos2p5 ,b=2cos4p5 etz=e2ip=5. 1.

Vérifier que a=z+z4etb=z2+z3.

2.

Vérifier que 1 +z+z2+z3+z4=0.

3.

En déduire un polynôme de de gré2 dont les racines sont aetbpuis les valeurs exactes de cos2p5

et sin2p5

1.x7!cos2x,

2.x7!cos4x,

3

3.x7!sin4x,

4.x7!cos2xsin2x,

5.x7!sin6x,

6.x7!cosxsin6x,

7.x7!cos5xsin2x,

8.x7!cos3x.

p=6cos4xsin6x dxetJ=Rp=3 p=6cos4xsin7x dx. 1.

1cosxsinx=tanx2

2. sin x2p3 +sinx+sinx+2p3 =0, 3. tan p4 +x+tanp4 x=2cos(2x), 4.

1tanxtanx=2tan(2x).

1.

Etudier les v ariationsde fk:x7!sinxp12kcosx+k2.

2.

Calculer

Rp

0fk(x)dx.

1. ånk=0cos(kx)etånk=0sin(kx), (x2Retn2Ndonnés). 2. ånk=0cos2(kx)etånk=0sin2(kx), (x2Retn2Ndonnés). 3.

ånk=0n

k cos(kx)etånk=0n k sin(kx), (x2Retn2Ndonnés). cosa+cosb+cosc=0 sina+sinb+sinc=0oùa,betcsont trois réels. 4

Montrer que cos

4p8 +cos43p8 +cos45p8 +cos47p8 =32 2. En déduire les v aleursde sin xet cosxpourxélément dep10 ;p5 ;3p10 Correction del"exer cice1 N1.sin x=0,x2pZ. De plus,S[0;2p]=f0;p;2pg. 2. sin x=1,x2p2 +2pZ. De plus,S[0;2p]=p2 3. sin x=1,x2 p2 +2pZ. De plus,S[0;2p]=3p2 4. cos x=1,x22pZ. De plus,S[0;2p]=f0;2pg. 5. cos x=1,x2p+2pZ. De plus,S[0;2p]=fpg. 6. cos x=0,x2p2 +pZ. De plus,S[0;2p]=p2 ;3p2 7. tan x=0,x2pZ. De plus,S[0;2p]=f0;p;2pg. 8. tan x=1,x2p4 +pZ. De plus,S[0;2p]=p4 ;5p4 .Correction del"exer cice2 N1.sin x=12 ,x2p6 +2pZ[5p6 +2pZ. De plus,S[0;2p]=p6 ;5p6 2. sin x=1p2 ,x2p4 +2pZ[3p4 +2pZ. De plus,S[0;2p]=p4 ;3p4 3. tan x=1,x2 p4 +pZ. De plus,S[0;p]=3p4 4. tan x=1p3 ,x2p6 +pZ. De plus,S[0;p]=p6 5. cos x=p3 2 ,x2p6 +pZ[p6 +pZ. De plus,S[0;2p]=p6 ;11p6 6. cos x=1p2 ,x23p4 +pZ[3p4 +pZ. De plus,S[0;2p]=3p4 ;5p4 .Correction del"exer cice3 N1.sin (2x)=12 ,2x2p6 +2pZ[5p6 +2pZ,x2p12 +pZ[5p12 +pZ. Deplus,S[0;2p]=p12 ;5p12 ;13p12 ;17p12 2. sin x2 =1p2 ,x2 25p4
+2pZ[7p4 +2pZ,x25p2 +4pZ)[(7p2 +4pZ. De plus,S[0;4p]=5p2 ;7p2 3. tan (5x) =1,5x2p4 +pZ,x2p20 +p5

Z. De plus,S[0;p]=p20

;p4 ;9p20 ;13p20 ;17p20 4. cos (2x) =cos2x,cos(2x) =12quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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