Méthode du pivot de Gauss
Méthode du pivot de Gauss pivot c'est la paire (équation
METHODE DU PIVOT DE GAUSS
La méthode du pivot de Gauss permet la résolution générale des systèmes d'équations linéaires à n équations et p inconnues. Elle s'utilise notamment pour
Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
Propriété : Un système de Cramer possède une unique solution que l'on détermine en partant de la dernière équation. … II – Technique du pivot de Gauss-Jordan. 1
Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss
Dans le cas général on utilise la méthode du pivot de Gauss. Pour montrer qu'une matrice M est inversible : On applique les opérations élémentaires : •
Méthode du pivot de Gauss
Méthode du pivot de Gauss. On veut résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues de la forme: (S): a11 x1 + ··· + a1
TD 3 - Algèbre linéaire : méthode du pivot de Gauss
TD 3 - Algèbre linéaire : méthode du pivot de Gauss. On considère une matrice carrée A de taille n × n. On supposera la matrice A inversible.
Méthode du pivot de gauss et formes échelonnées (réduites)
Faisons observer que l'algorithme du pivot de Gauss s'applique à n'importe quelle ma- trice qu'elle s'interprète ou non comme matrice complète (augmentée) d'un
PIVOT DE GAUSS - SYSTÈME DE CRAMER
exécuter la méthode de Gauss avec recherche partielle du pivot. • étudier la mise en œuvre de la méthode. • être sensibilisé aux problèmes que pose cette
Fiche 4 : Méthode du pivot de Gauss pour résoudre des systèmes
On écrit les équations du système de façon ordonnée c'est-à-dire avec les inconnues dans le même ordre et alignées verticalement.
résolution des systèmes déquations linéaires - par la méthode du
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES. § 1. MATRICE COMPLETE D'UN SYSTEME D'EQUATIONS LINEAIRES. Exemple : est: PAR LA MÉTHODE DU PIVOT DE GAUSS.
METHODE DU PIVOT DE GAUSS - Toutes les Maths
La mØthode du pivot de Gauss permet la rØsolution gØnØrale des syst?mes d™Øquations linØaires à nØquations et p inconnues Elle s™utilise notamment pour leur rØsolution numØrique à l™aide d™un programme informatique et permet la
Systèmes linéaires - Méthode de gauss - MAXICOURS
Le choix par d´efaut du pivot Pour appliquer la m´ethode du pivot `a un syst`eme on commence donc par y choisir une ´equation et une inconnue qu’on va rendre faciles en modi?ant les autres ´equations Le choix de la premi`ere ´equation et de la premi`ere inconnue est le choix par d´efaut Pour le syst`eme 3y +t = 1 2x +5z ?t = 2
Méthode du pivot de gauss et formes échelonnées (réduites)
gorithme de réduction appelé méthode du pivot de Gauss ou méthode d’élimination de Gauss-Jordan qui permet d’analyser et de résoudre n’importe quel système d’équations linéaires quel qu’en soit le nombre et quelles qu’en soient les variables
Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
2 La méthode du pivot Théorème de Gauss-Jordan Tout système linéaire se ramène à un système échelonné équivalent en utilisant trois types d’opérations élémentaires : - Intervertir deux équations : - Intervertir l’ordre des inconnues - Remplacer une équation par La technique du pivot :
Méthode du pivot de Gauss - unicefr
La m ethode du pivot permet d’associer a tout syst eme lin eaire un syst eme facile equivalent Elle consiste a s electionner une equation qu’on va garder intacte et dans laquelle on va rendre une inconnue facile (en l’ eliminant des autres equations) Dans cette d emarche ce qu’on appelle le pivot c’est la paire ( equation
Comment appliquer la méthode du pivot de Gauss ?
Savoir appliquer la méthode du pivot de Gauss. 1. La méthode du pivot de Gauss Soit un système linéaire d'inconnues (x ; y ; z). . 2. Exemple On conserve la ligne 1 puis on élimine x dans les deux autres équations en effectuant une combinaison linéaire entre la ligne 1 et la ligne 2, puis la ligne 1 et la ligne 3.
Quelle est la différence entre le pivot de Gauss et la méthode de Cramer ?
Contrairement à la méthode de Cramer, le pivot de Gauss ne requiert pas la connaissance des matrices (sauf pour sa démonstration) et donne même des solutions lorsque le système n’est pas de Cramer.
Comment décompositioner un algorithme de pivot de Gauss ?
1. Donner les entrées et les sorties de cet algorithme. 2. Programmer l’algorithme (sous le nom decompLU1). 3.2 Décomposition LU par la méthode du pivot de Gauss Rappels lignes : L’algorithme du pivot de Gauss effectue les manipulations suivantes sur les Li ? Li + ?Lj .
Comment utiliser l'algorithme du pivot de Gauss ?
On n'utilise presque jamais cette formule en pratique, on lui préfère l'algorithme du pivot de Gauss. Concrètement, on crée un tableau avec à gauche la matrice à inverser, et à droite la matrice identité. On réalise ensuite une suite d'opérations élémentaires sur la matrice à inverser pour la ramener à l'identité.
Méthode du pivot de Gauss
Informatique pour tous
Méthode du pivot de Gauss
On veut résoudre un système linéaire denéquations àninconnues de la forme: (S): a1,1x1+···+a1,nxn=b1 an,1x1+···+an,nxn=bn On peut écrire ces équations sous forme matricielle : (S)?AX=B avecA= a1,1a1,2···a1,n a2,1a2,2···a2,n an,1an,2···an,n )))),X= x1 x2 xn ))))etB= b1 b2 bnMéthode du pivot de Gauss
On veut résoudre un système linéaire denéquations àninconnues de la forme: (S): a1,1x1+···+a1,nxn=b1 an,1x1+···+an,nxn=bn On peut écrire ces équations sous forme matricielle : (S)?AX=B avecA= a1,1a1,2···a1,n a2,1a2,2···a2,n an,1an,2···an,n )))),X= x1 x2 xn ))))etB= b1 b2 bnMéthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss comporte 2 grandes étapes :1échelonnement du système(descente),
2réduction du système(remontée).
´Etapes réalisées avec desopérations élémentaires sur les lignes:Li←λLiavecλ?= 0,
Lj←Lj+λLiaveci?=j,
Li↔Lj.
Appliquer des opérations élémentaires à un système d"équations ne change pas ses solutions.Méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss comporte 2 grandes étapes :1échelonnement du système(descente),
2réduction du système(remontée).
´Etapes réalisées avec desopérations élémentaires sur les lignes:Li←λLiavecλ?= 0,
Lj←Lj+λLiaveci?=j,
Li↔Lj.
Appliquer des opérations élémentaires à un système d"équations ne change pas ses solutions.Méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss comporte 2 grandes étapes :1échelonnement du système(descente),
2réduction du système(remontée).
´Etapes réalisées avec desopérations élémentaires sur les lignes:Li←λLiavecλ?= 0,
Lj←Lj+λLiaveci?=j,
Li↔Lj.
Appliquer des opérations élémentaires à un système d"équations ne change pas ses solutions.Matrice augmentée
(S): a1,1x1+···+a1,nxn=b1 an,1x1+···+an,nxn=bn Il est pratique de considérer lamatrice augmentéedu système (S): (A|B) = a1,1a1,2···a1,nb1 a2,1a2,2···a2,nb2 an,1an,2···an,nbnMéthode du pivot de Gauss
On veut écrire un algorithme qui:
1Renvoie l"unique solution deAX=B, siAest inversible.
2Sinon, indique queAn"est pas inversible (il peut donc exister
aucune solution ou une infinité de solutions).Méthode du pivot de Gauss
On veut écrire un algorithme qui:
1Renvoie l"unique solution deAX=B, siAest inversible.
2Sinon, indique queAn"est pas inversible (il peut donc exister
aucune solution ou une infinité de solutions).Descente
(A|B) = a1,1a1,2···a1,nb1 a2,1a2,2···a2,nb2 an,1an,2···an,nbn1Première étape :
Si nécessaire, échanger 2 lignes de façon à avoira1,1?= 0. On effectue des opérationsLi←Li+λL1pouriallant de 2 ànde manière à mettre des zéros sur la 1ère colonne, en dessous de la diagonale.( a?1,1a?1,2···a?1,n-1a?1,nb?10a?2,2···a?2,n-1a?2,nb?2
0a?3,2···a?3,n-1a?3,nb?3
0a?n,2···a?n,n-1a?n,nb?n
Descente
(A|B) = a1,1a1,2···a1,nb1 a2,1a2,2···a2,nb2 an,1an,2···an,nbn1Première étape :
Si nécessaire, échanger 2 lignes de façon à avoira1,1?= 0. On effectue des opérationsLi←Li+λL1pouriallant de 2 ànde manière à mettre des zéros sur la 1ère colonne, en dessous de la diagonale.( a?1,1a?1,2···a?1,n-1a?1,nb?10a?2,2···a?2,n-1a?2,nb?2
0a?3,2···a?3,n-1a?3,nb?3
0a?n,2···a?n,n-1a?n,nb?n
Descente
(A|B) = a1,1a1,2···a1,nb1 a2,1a2,2···a2,nb2 an,1an,2···an,nbn1Première étape :
Si nécessaire, échanger 2 lignes de façon à avoira1,1?= 0. On effectue des opérationsLi←Li+λL1pouriallant de 2 ànde manière à mettre des zéros sur la 1ère colonne, en dessous de la diagonale.( a?1,1a?1,2···a?1,n-1a?1,nb?10a?2,2···a?2,n-1a?2,nb?2
0a?3,2···a?3,n-1a?3,nb?3
0a?n,2···a?n,n-1a?n,nb?n
Descente
a?1,1a?1,2···a?1,n-1a?1,nb?10a?2,2···a?2,n-1a?2,nb?2
0a?3,2···a?3,n-1a?3,nb?3
0a?n,2···a?n,n-1a?n,nb?n
2Deuxième étape : on recommence avec la 2ème colonne
recherche d"un deuxième pivot non nula??2,2élimination des termes sous le pivot( a?1,1a?1,2···a?1,n-1a?1,nb?10a??2,2···a??2,n-1a??2,nb??2
0 0···a??3,n-1a??3,nb??3
0 0···a??n,n-1a??n,nb??n
Descente
a?1,1a?1,2···a?1,n-1a?1,nb?10a?2,2···a?2,n-1a?2,nb?2
0a?3,2···a?3,n-1a?3,nb?3
0a?n,2···a?n,n-1a?n,nb?n
2Deuxième étape : on recommence avec la 2ème colonne
recherche d"un deuxième pivot non nula??2,2élimination des termes sous le pivot( a?1,1a?1,2···a?1,n-1a?1,nb?10a??2,2···a??2,n-1a??2,nb??2
0 0···a??3,n-1a??3,nb??3
0 0···a??n,n-1a??n,nb??n
Descente
3Étapes suivantes : on recommence le processus afin d"obtenir une
matrice échelonnée( a?1,1a?1,2···a?1,n-1a?1,nb?10a?2,2···a?2,n-1a?2,nb?2
0 0···a?3,n-1a?3,nb?3
0 0···0a?n,nb?n
Remarque : s"il n"est pas possible de trouver un pivot (non nul) sur la iemecolonne dans les lignesLiàLn, la matriceAn"est pas inversible, on interrompt l"algorithme et on retourne un message d"erreur.Descente
3Étapes suivantes : on recommence le processus afin d"obtenir une
matrice échelonnée( a?1,1a?1,2···a?1,n-1a?1,nb?10a?2,2···a?2,n-1a?2,nb?2
0 0···a?3,n-1a?3,nb?3
0 0···0a?n,nb?n
Remarque : s"il n"est pas possible de trouver un pivot (non nul) sur la iemecolonne dans les lignesLiàLn, la matriceAn"est pas inversible, on interrompt l"algorithme et on retourne un message d"erreur.Remontée
1Par multiplication de chaque ligneLipar1
a?i,i, on met des 1 sur la diagonale.2On met des 0 au dessus de la diagonale de la dernière colonne.
1a??1,2···a??1,n-10b??1
0 1···a??2,n-10b??2
0 0···a??3,n-10b??3
0 0···0 1b??n
3On fait de même sur les autres colonnes, de droite à gauche.
Remontée
1Par multiplication de chaque ligneLipar1
a?i,i, on met des 1 sur la diagonale.2On met des 0 au dessus de la diagonale de la dernière colonne.
1a??1,2···a??1,n-10b??1
0 1···a??2,n-10b??2
0 0···a??3,n-10b??3
0 0···0 1b??n
3On fait de même sur les autres colonnes, de droite à gauche.
Remontée
A l"issue de ces opérations, on aboutit à une matrice augmentéeéchelonnée et réduite du type :
1 0···0 0b??10 1···0 0b??20 0···0 0b??3··· ··· ··· ··· ··· ···
0 0···0 1b??n
La solution du systèmeAX=Best alorsX=
b??1b??2b??3··· b??nRemontée
A l"issue de ces opérations, on aboutit à une matrice augmentéeéchelonnée et réduite du type :
1 0···0 0b??10 1···0 0b??20 0···0 0b??3··· ··· ··· ··· ··· ···
0 0···0 1b??n
La solution du systèmeAX=Best alorsX=
b??1b??2b??3··· b??nComment déterminerA-1?
On peut utiliser la matrice augmentée : (A|In)
(A|In) = a1,1a1,2···a1,n1 0···0 a2,1a2,2···a2,n0 1···0 an,1an,2···an,n0 0···1 Après échelonnement et réduction du système on obtient : (In|A-1) =1 0···0c1,1c1,2···c1,n
0 1···0c2,1c2,2···c2,n
0 0···1cn,1cn,2···cn,n
On peut finalement extraireA-1=
c1,1c1,2···c1,n c2,1c2,2···c2,n cn,1cn,2···cn,nComment déterminerA-1?
On peut utiliser la matrice augmentée : (A|In)
(A|In) = a1,1a1,2···a1,n1 0···0 a2,1a2,2···a2,n0 1···0 an,1an,2···an,n0 0···1 Après échelonnement et réduction du système on obtient : (In|A-1) =1 0···0c1,1c1,2···c1,n
0 1···0c2,1c2,2···c2,n
0 0···1cn,1cn,2···cn,n
On peut finalement extraireA-1=
c1,1c1,2···c1,n c2,1c2,2···c2,n cn,1cn,2···cn,nComment déterminerA-1?
On peut utiliser la matrice augmentée : (A|In)
(A|In) = a1,1a1,2···a1,n1 0···0 a2,1a2,2···a2,n0 1···0 an,1an,2···an,n0 0···1 Après échelonnement et réduction du système on obtient : (In|A-1) =1 0···0c1,1c1,2···c1,n
0 1···0c2,1c2,2···c2,n
0 0···1cn,1cn,2···cn,n
On peut finalement extraireA-1=
c1,1c1,2···c1,n c2,1c2,2···c2,n cn,1cn,2···cn,n Nous allons implémenter la méthode de Gauss en TP.Les matrices seront des tableaux 2D numpy.
Exercice
Écrire une fonctionechangetelle queechange(M, i, j)échange les lignesietjdeM(Li↔Lj). Nous allons implémenter la méthode de Gauss en TP.Les matrices seront des tableaux 2D numpy.
Exercice
Écrire une fonctionechangetelle queechange(M, i, j)échange les lignesietjdeM(Li↔Lj).Exercice
Écrire une fonctionechangetelle queechange(M, i, j)échange les lignesietjdeM.1ère possibilité:
Exercice
Écrire une fonctionechangetelle queechange(M, i, j)échange les lignesietjdeM.2ème possibilité:
Exercice
Écrire une fonctiondilatationtelle quedilatation(M, i, a) réalise l"opérationLi←aLi.Exercice
Écrire une fonctiontransvectiontelle que
transvection(M, i, j, a)réalise l"opérationLi←Li+a×Lj.Exercice
Écrire une fonctionpivottelle quepivot(M, j)renvoie une ligne d"un coefficient non nul sous la diagonale de lajème colonne.Exercice
Écrire une fonctionechelonnerréalisant la descente du pivot deGauss.
Complexité de la méthode du pivot de Gauss
On veut résoudreAX=B, avecAune matricen×n.
1Construire la matrice augmentée
2Descente: pour toute colonne, de gauche à droite...
Trouver un pivot
Mettre ce pivot sur la diagonale
Mettre des 0 en dessous de la diagonale
3Remontée: pour toute colonne, de droite à gauche...
Mettre des 0 au dessus de la diagonale
Quelle est la complexité de la méthode du pivot de Gauss? On compte les multiplications et additions.Complexité de la méthode du pivot de Gauss
On veut résoudreAX=B, avecAune matricen×n.
1Construire la matrice augmentéeO(n2) car il faut remplir une
matricen×(n+ 1)2Descente: pour toute colonne, de gauche à droite...
Trouver un pivot
Mettre ce pivot sur la diagonale
Mettre des 0 en dessous de la diagonale
3Remontée: pour toute colonne, de droite à gauche...
Mettre des 0 au dessus de la diagonale
Quelle est la complexité de la méthode du pivot de Gauss?Complexité de la méthode du pivot de Gauss
On veut résoudreAX=B, avecAune matricen×n.
1Construire la matrice augmentéeO(n2)
2Descente: pour toute colonne, de gauche à droite...
Trouver un pivotO(n) pour parcourir toutes les lignes en dessous de la diagonaleMettre ce pivot sur la diagonale
Mettre des 0 en dessous de la diagonale
3Remontée: pour toute colonne, de droite à gauche...
Mettre des 0 au dessus de la diagonale
Quelle est la complexité de la méthode du pivot de Gauss?Complexité de la méthode du pivot de Gauss
On veut résoudreAX=B, avecAune matricen×n.
1Construire la matrice augmentéeO(n2)
2Descente: pour toute colonne, de gauche à droite...
Trouver un pivotO(n)
Mettre ce pivot sur la diagonaleO(n) pour échanger 2 lignesMettre des 0 en dessous de la diagonale
3Remontée: pour toute colonne, de droite à gauche...
Mettre des 0 au dessus de la diagonale
Quelle est la complexité de la méthode du pivot de Gauss?Complexité de la méthode du pivot de Gauss
On veut résoudreAX=B, avecAune matricen×n.
1Construire la matrice augmentéeO(n2)
2Descente: pour toute colonne, de gauche à droite...
Trouver un pivotO(n)
Mettre ce pivot sur la diagonaleO(n)
Mettre des 0 en dessous de la diagonaleO(n2) car il faut faire au plusntransvections3Remontée: pour toute colonne, de droite à gauche...
Mettre des 0 au dessus de la diagonale
Quelle est la complexité de la méthode du pivot de Gauss?Complexité de la méthode du pivot de Gauss
On veut résoudreAX=B, avecAune matricen×n.
1Construire la matrice augmentéeO(n2)
2Descente enn×(O(n) +O(n) +O(n2)) =O(n3): pour
toute colonne, de gauche à droite...Trouver un pivotO(n)
Mettre ce pivot sur la diagonaleO(n)
Mettre des 0 en dessous de la diagonaleO(n2)
3Remontée: pour toute colonne, de droite à gauche...
Mettre des 0 au dessus de la diagonale
Quelle est la complexité de la méthode du pivot de Gauss?Complexité de la méthode du pivot de Gauss
On veut résoudreAX=B, avecAune matricen×n.
1Construire la matrice augmentéeO(n2)
2Descente enO(n3): pour toute colonne, de gauche à droite...
Trouver un pivotO(n)
Mettre ce pivot sur la diagonaleO(n)
Mettre des 0 en dessous de la diagonaleO(n2)
3Remontée: pour toute colonne, de droite à gauche...
Mettre des 0 au dessus de la diagonaleO(n2) car il faut faire au plusntransvections Quelle est la complexité de la méthode du pivot de Gauss?Complexité de la méthode du pivot de Gauss
On veut résoudreAX=B, avecAune matricen×n.
1Construire la matrice augmentéeO(n2)
2Descente enO(n3): pour toute colonne, de gauche à droite...
Trouver un pivotO(n)
Mettre ce pivot sur la diagonaleO(n)
Mettre des 0 en dessous de la diagonaleO(n2)
3Remontée enn×O(n2): pour toute colonne, de droite à
gauche... Mettre des 0 au dessus de la diagonaleO(n2) car il faut faire au plusntransvections Quelle est la complexité de la méthode du pivot de Gauss?Complexité de la méthode du pivot de Gauss
On veut résoudreAX=B, avecAune matricen×n.
1Construire la matrice augmentéeO(n2)
2Descente enO(n3): pour toute colonne, de gauche à droite...
Trouver un pivotO(n)
Mettre ce pivot sur la diagonaleO(n)
Mettre des 0 en dessous de la diagonaleO(n2)
3Remontée enO(n3): pour toute colonne, de droite à gauche...
Mettre des 0 au dessus de la diagonale
La complexité totale est doncO(n3).
Méthode du pivot de Gauss
Conclusion:
1Il est possible de résoudre un système denéquations àn
inconnues en complexitéO(n3).2Il est possible d"inverser une matrice inversiblen×nen
complexitéO(n3)3Il est possible de calculer le déterminant d"une matricen×nen
complexitéO(n3)quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] pivot matrice
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