Calculer des dérivées avec la fonction exponentielle
Il faut appliquer la formule de dérivation du quotient. Solutions des exercices. EXERCICE 19.1 a. ( ). 2.
Terminale ES – Exercices de calculs de dérivées avec des
Exercice 1 : Soient f et g les fonctions définies sur par f (x)=ex+x (x+2)2. Exercices de calculs de dérivées avec des exponentielles – Corrigés – 1/7 ...
primitives exercices corriges
Exercice n°1. Dérivée et primitives. 1) Calculez la dérivée de la fonction f définie par. 3. ( ) 3.
FONCTION EXPONENTIELLE CORRECTION DES EXERCICES
VARIATION DE FONCTION AVEC EXPONENTIELLE. Exercice 1 : Considérons la fonction f : x ?? 2ex ? 2x + 3 Déterminons la fonction dérivée de f.
Les fonctions exponentielles Exercices
Les propriétés de la fonction exponentielle. Exercice 1. Simplifier les expressions suivantes : Corrigé. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :.
Limite continuité
dérivabilité
Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor
Corrigé de l'exercice 2. 1. La fonction f : x ?? ex est sa propre dérivée et vaut 1 en 0. Ainsi les coefficients f(k)(0) sont tous égaux à 1 ; la formule
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
L'outil central abordé dans ce tome d'analyse ce sont les fonctions. Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours
fonctions exponentielles exercices corriges
3) Déterminer les dérivées des fonctions f et g. ; en déduire leur tableau de variations. 4) Calculer a étant un réel quelconque : ( ). ( ). 2. 2.
Fascicule dexercices
Sommaire des exercices. 1. Logarithmes et exponentielles. 2. Dérivées et différentielles - Fonction d'une variable Exercice 1 : Correction. Rappel :.
19 Calculer des dérivées avec la fonction 19 exponentielle
Exercices ExErcicE 19 1 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a fx e x x( )= + ++7 5 4 12x 2 b fx x e( )= -+3 92 x ExErcicE 19 2 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a fx e e( )= ++95 432xx c ( ) fx e = 21x2+ b fx e e( )= +3-+xx 31 ExErcicE 19 3 Calculer les fonctions dérivées des fonctions
FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques
Méthode : Étudier une fonction exponentielle Vidéo https://youtu be/_MA1aW8ldjo Soit > la fonction définie sur ? par >(!)=(!+1)(! a) Calculer la dérivée de la fonction > b) Dresser le tableau de variations de la fonction > c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0
exercices exponentielle corriges - AlloSchool
On numérote les propriétés : (1) la fonction exponentielle est dérivable sur ? et est égale à sa fonction dérivée ; (2) e0=1 ; 31 (3) pour tout réel x on a e xx> ; (4) soient deux fonctions ? et ? définies sur l’intervalle [A;+?[où Aest un réel positif Si pour tout x de [A;+?[ on a ?(x)??(x)et si lim( ) x
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Corrigé Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f est de la forme ku avec k constante donc f0(x) = 2ex On a simplement une addition de fonctions simples et dérivables donc g0(x) = 2+ex h est de la forme eU avec U = 2x+1 et U0= 2 donc h0(x) = 2e2x+1 i(x) = (x2 +3x+5)ex de la forme UV avec U = x2 +3x+5 et V = ex et donc U0= 2x+3
Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle?
Limites et dérivée de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est dérivable (donc continue) sur , et pour tout réel : L’approximation affine au voisinage de de la fonction exponentielle est . On écrira :
Comment calculer la dérivée d’une fonction?
exercices 3) On appelle f?la dérivée de la fonction f sur R. Démontrer que, pour tout réel x, f?(x) = e?xg(x) 4) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R. 5) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution réelle ? sur R. Démontrer que ?1 < ? < 0.
Quelle est la différence entre une fonction exponentielle et un unique réel?
La fonction exponentielle, notée , vérifie : et il existe un unique réel, noté ( ), tel que : On démontre alors que la fonction exponentielle vérifie la notation suivante : La fonction exponentielle est strictement positive sur : . La fonction exponentielle est strictement croissante sur .
Qu'est-ce que la fonction dérivée de F ?
Lorsque ce nombre existe, f ' ( a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a. Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel , et on appelle « fonction dérivée de f » la fonction qui, à tout réel , associe le réel, f ' ( x ). II.
![FONCTION EXPONENTIELLE CORRECTION DES EXERCICES FONCTION EXPONENTIELLE CORRECTION DES EXERCICES](https://pdfprof.com/Listes/18/5635-18CorrectionPartie5.pdf.pdf.jpg)
Chapitre 6 : Fonction exponentielle
FONCTION EXPONENTIELLE
CORRECTION DES EXERCICES
VARIATION DE FONCTION AVEC EXPONENTIELLE
Exercice1:
Considérons la fonctionf:x7!2ex2x+ 3, définie et dérivable surR.1.Déterminons la fonction dérivée def.
Pour toutx2R,f0(x) = (2ex)0(2x3)0
D"oùf0(x) = 2ex22.Étudions le signe def0(x)surRen faisant un tableau de signe.Posons:f0(x) = 0
f0(x) = 0()2ex2 = 0()ex= 1()x= 0
Faisons un tableau de signe:
On a:x <0()ex< e0()ex<1()ex1<0()2ex2<0
Etx >0()ex>1()ex1>0()2ex2>0x
f0(x)10+10+
3.Déduisons le tableau de variation defsurR. Calculons les limites defau
borne de son domaine de définition. limx!+1(2ex2x+ 3) = limx!+1x(2exx 2 +3x ) = +1Carlimx!+1x= +1etlimx!+1e
xx = +1Donclimx!+1f(x) = +1c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1Chapitre 6 : Fonction exponentielle
limx!1(2ex2x+ 3) = +1Carlimx!1ex= 0etlimx!1(2x+ 3) = +1
D"oùlimx!1f(x) = +1
f(0) = 2e020 + 3 = 5 On obtient donc le tableau de variation ci-dessous:x f0(x)f(x)10+10+
+1+155+1+14.Donnons l"équation de la tangente à la courbe représentative defau point d"abscisse0.Soit(T)cette tangente.
(T) :y=f0(0)(x0) +f(0)On a:f0(0) = 2e02 = 0etf(0) = 2e020 + 3 = 5
Donc(T) :y= 0x+ 5
D"où(T) :y= 5
Exercice2:
Considérons les fonctions
u:x7!e3x2etv:x7!e2x5; définies et dérivables surR.1.Déterminons la fonction dérivée de : u(x)Pour toutx2R;u0(x) = (3x2)0e3x2= 3e3x2
D"oùu0(x) = 3e3x2
v(x)Pour toutx2R,v0(x) = (2x5)0e2x5=2e2x5
D"oùv0(x) =2e2x52.Étudions les signes de chacune de ces dérivées surR:c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2Chapitre 6 : Fonction exponentielle
Signe deu0(x)
Pour toutx2R;e3x2>0donc3e3x2>0
D"où pour toutx2R;u0(x)>0
Signe dev0(x)
Pour toutx2R;e2x5>0donc2e2x5<0
D"où pour toutx2R;v0(x)<03.Déduisons le tableau de variation deuet celui devsurR.Tableau de variation deu
Déterminons les limites deuaux bornes deR
lim x!+1u(x) = limx!+1e3x2= +1 carlimx!+1(3x2) = +1etlimx!+1ex= +1D"oùlimx!+1u(x) = +1
lim x!1u(x) = limx!1e3x2= 0 carlimx!1(3x2) =1etlimx!1ex= 0D"oùlimx!1u(x) = 0
On obtient donc le tableau de variation ci-dessous:x u0(x)u(x)1+1+
00+1+1Tableau de variation dev
Déterminons les limites devaux bornes deR
lim x!+1v(x) = limx!+1e2x5= 0 carlimx!+1(2x5) =1etlimx!1ex= 0D"oùlimx!+1v(x) = 0
lim x!1v(x) = limx!1e2x5= +1 carlimx!1(2x5) = +1etlimx!+1ex= +1D"oùlimx!1v(x) = +1c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3Chapitre 6 : Fonction exponentielle
On obtient donc le tableau de variation ci-dessous: x v0(x)v(x)1+1
+1+1114.Détermine les coordonnées du point d"intersection de la courbe représentative
deuet de cellev. SoitA(x1;y1)un point d"intersection de la courbe représentative deuet de celle dev. L"abscisse du pointAvérifie l"équationu(x1) =v(x1) u(x1) =v(x1)(=e3x12=e2x15 ()3x12 =2x15 ()5x1=3 ()x1=35En plus, on a:y1=e3(35
)2=e195D"oùA0
35;e195 1 A
Exercice3:
On considère la fonctionf:x7!e2x+5x
2, définie et dérivable surR.1.Déterminons la fonction dérivée def.
Pour toutx2R,f0(x) =(e2x+5)0x2(x2)0e2x+5(x2)2
Doncf0(x) =2x2e2x+52xe2x+5x
4D"oùf0(x) =2x(x1)e2x+5x
42.Donnons le tableau de signes de cette dérivée surR.
De ce qui précède, pour toutx2R, on a:c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4Chapitre 6 : Fonction exponentielle
f0(x) =2x(x1)e2x+5x
4= 2x(x1)e2x+5x
4Or pour toutx2R,e2x+5x
4>0Ainsif0(x)a le signe dex7!2x(x1)
Posons2x(x1) = 0
2x(x1) = 0()x= 0oux= 1
Faisons un tableau de signe:x
2x(x1)101+1+0+
Ainsi, pour toutx2]1;0[[]1;+1[,f0(x)>0,
pour toutx2]0;1[,f0(x)<0 et pourx= 1;f0(1) = 03.Déduisons le tableau de variations defsurR.Calculons les limites defaux bornes du domaineR:
On a:limx!+1e
2x+5x 2= +1Donclimx!+1f(x) = +1
On a:limx!1e
2x+5x2= limx!1e2x+51x
2= 0 carlimx!1e2x+5= 0etlimx!11x 2= 0On a :limx!0>e
2x+5x 2= +1 carlimx!0>e2x+5=e5etlimx!0>1x 2= +1On a:limx!0>e
2x+5x 2= +1 carlimx!02=e7On obtient par suite le tableau de variation
ci-dessous:c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5Chapitre 6 : Fonction exponentielle
x f0(x)f(x)101+1+0+
00+1+1e
7e7+1+14.Donnons une équation de la tangente à la courbe représentative defau point
d"abscisse1.Soit(T)cette tangente.
(T) :y=f0(1)(x+ 1) +f(1)On a :f(1) =e2(1)+5(1)2=e3
etf0(1) =2(11)e2(1)+5(1)4= 4e3Donc(T) :y= 4e3(x+ 1) +e3= 4e3x+ 5e3
D"où(T) :y= (4x+ 5)e3
Exercice4:
Déterminons la fonction dérivée et donnons le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur l"intervalleIindiqué.1.g1(x) =xe2x1surI=R.Pour toutx2R,on a :
g01(x) =e2x+ 2xe2x
D"oùg01(x) = (2x+ 1)e2x
Étudions le signe deg01(x)
Pour toutx2R; e2x>0doncg01(x)a le signe dex7!2x+ 1.Posons2x+ 1 = 0
2x+ 1 = 0()x=12
Faisons un tableau de signe dex7!2x+ 1x
2x+ 11
12+10+
c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6Chapitre 6 : Fonction exponentielle
Ainsi, pour toutx2
1;12 ;2x+1<0et pour toutx2 12 ;+1 ;2x+ 1>0. Par conséquent,g1est strictement décroissante sur l"intervalle 1;12 et strictement croissante sur l"intervalle 12 ;+12.g2(x) =x5 +exsurI=R.Pour toutx2R;on a:
g02(x) = 1 +ex
Étudions le signe deg02(x)
Pour toutx2R; 1 +ex>0
Donc pour toutx2R;g02(x)>0
Par conséquentg2est strictement croissante surR3.g3(x) =exe x+ 1surI=R.Pour toutx2R; on a:
g03(x) =ex(ex+ 1)exex(ex+ 1)2=exex+exexex(ex+ 1)2
D"oùg03(x) =ex(ex+ 1)2
Étudions le signe deg03(x):
Pour toutx2R,ex>0et(ex+ 1)>0alorsex(ex+ 1)2>0.
Ainsi, pour toutx2R;g03(x)>0
Par conséquent,g03est strictement croissante surR.4.g4(x) =xe3x+1surI=R.Pour toutx2R; on a:
g04(x) =e3x+13xe3x+1
D"oùg04(x) = (13x)e3x+1
Étudions le signe deg04(x)
Pour toutx2R;e3x+1>0doncg04(x)a le signe dex7!13x
Posons13x= 0
13x= 0()x=13
Faisons un tableau de signe.c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7Chapitre 6 : Fonction exponentielle
x 13x11 3+1+0Ainsi, pour toutx2
1;13 ;g04(x)>0et pour toutx213 ;+1 ;g04(x)< 0. Par conséquent,g4est strictement croissante sur 1;13 et strictement décrois- sante sur 13 ;+1Exercice5:
La courbe ci-dessous est la courbe représentative d"une fonctionfdéfinie surR; elle passe par les pointsA(0;1)etB(1;0).Test la tangente àCenAet passant par le pointC(1;3).1.Déterminons graphiquement les valeurs respectives def(0)etf0(0), oùf0est la dérivée de la fonctionf.A partir du graphique, on obtient:f(0) = 1etf0(0) = 22.Admettons quefest définie, pour toutxréel, par :f(x) = (ax2+bx+c)ex
oùa;betcsont des réels.a.Déterminons la fonction dérivéef0def.Pour toutx2R; on a:
f0(x) = (2ax+b)ex(ax2+bx+c)ex
D"oùf0(x) = [ax2+ (2ab)x+bc]exb.Déterminons la valeur dea;betc, en justifiant.On sait quef(0) = 1
f(0) = 1()(a02+b0 +c)e0= 1()c= 1c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8Chapitre 6 : Fonction exponentielle
D"oùc= 1
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