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1Lecon1Programmationlin eaireXavierGoao c
1Lecon1Programmationlin eaireXavierGoao c
2Developpeetardivement(Kantorovitch1939,Dantzig1947,...)impactdicile asur evaluer,entheo rieetenpratique.Lap rogrammationlineaireestla th eoriedessystemesd'inegalites lineaires .systemelineaire, sous-espaceane,pivotdeGauss!programmeline aire,polyedre,algorithmedusimplexe
3Premiersexemples dep rogrammeslineaires
4Unp rogrammelineaire(PL)est unprobl emequi consisteamaximisersur Rd
unefonction lin eaire sous descontraintes lin eaires .maxx1+x2t.q.x102x2x12x
22x1 4x
1+x204Unp rogrammelineaire(PL)est unprobl emequi consisteamaximisersur Rd
unefonction lin eaire sous descontraintes lin eaires .maxx1+x2t.q.x102x2x12x
22x1 4x
1+x20x
2x 14Unp rogrammelineaire(PL)est unprobl emequi consisteamaximisersur Rd
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22x1 4x
1+x20x
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22x1 4x
1+x20x
2x 14Unp rogrammelineaire(PL)est unprobl emequi consisteamaximisersur Rd
unefonction lin eaire sous descontraintes lin eaires .maxx1+x2t.q.x102x2x12x
22x1 4x
1+x20x
2x 14Unp rogrammelineaire(PL)est unprobl emequi consisteamaximisersur Rd
unefonction lin eaire sous descontraintes lin eaires .maxx1+x2t.q.x102x2x12x
22x1 4x
1+x20x
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unefonction lin eaire sous descontraintes lin eaires .maxx1+x2t.q.x102x2x12x
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1+x20x
2x 14Unp rogrammelineaire(PL)est unprobl emequi consisteamaximisersur Rd
unefonction lin eaire sous descontraintes lin eaires .maxx1+x2t.q.x102x2x12x
22x1 4x
1+x20x
2x 14Unp rogrammelineaire(PL)est unprobl emequi consisteamaximisersur Rd
unefonction lin eaire sous descontraintes lin eaires .maxx1+x2t.q.x102x2x12x
22x1 4x
1+x20Unefo rmegenerale maxcTxt.q.Axbx2Rd,A2Rnd,b2Rnx
2x 14Unp rogrammelineaire(PL)est unprobl emequi consisteamaximisersur Rd
unefonction lin eaire sous descontraintes lin eaires .maxx1+x2t.q.x102x2x12x
22x1 4x
1+x20Unefo rmegenerale maxcTxt.q.Axbx2Rd,A2Rnd,b2Rnc=1
1 ,A=0 B B@10 12 11 211C
CA,b=0
B B@0 2 0 41C CAx 2x 1
5Valeurd' unPL= valeurmaximaledans [1;+1]atteintepa rlafonctionaoptimiser Resoudreunprogrammelin eaire=d eterminerunvecteurxoptimalouqu'aucun xnesatisfait touteslescontraintes.
5Algorithmesdusimplexe,m ethode del'ellipsoide, methodesdepointinterieur,
algorithmesprimal-dual,m ethodespar echantillonnage,...Valeurd' unPL= valeurmaximaledans [1;+1]atteintepa rlafonctionaoptimiser Resoudreunprogrammelin eaire=d eterminerunvecteurxoptimalouqu'aucun xnesatisfait touteslescontraintes.
5Onsait resoudre lesprogrammeslineairesecaceme ntAlgorithmesdusimplexe,m ethode del'ellipsoide, methodesdepointinterieur,
algorithmesprimal-dual,m ethodespar echantillonnage,...enp ratique: algorithmesdu simplexe,implantationecaces, ... plusieursmilliers devariables etdecontraintes. Valeurd' unPL= valeurmaximaledans [1;+1]atteintepa rlafonctionaoptimiser Resoudreunprogrammelin eaire=d eterminerunvecteurxoptimalouqu'aucun xnesatisfait touteslescontraintes.
5Onsait resoudre lesprogrammeslineairesecaceme ntAlgorithmesdusimplexe,m ethode del'ellipsoide, methodesdepointinterieur,
algorithmesprimal-dual,m ethodespar echantillonnage,...enth eorie: algorit hmespolynomiauxenlarepresentationduPL.(Oncherche encoreun algorithmepolynomialennetd...)enp ratique: algorithmesdu simplexe,implantationecaces, ... plusieursmilliers devariables etdecontraintes. Valeurd' unPL= valeurmaximaledans [1;+1]atteintepa rlafonctionaoptimiser Resoudreunprogrammelin eaire=d eterminerunvecteurxoptimalouqu'aucun xnesatisfait touteslescontraintes.
5Onsait resoudre lesprogrammeslineairesecaceme ntAlgorithmesdusimplexe,m ethode del'ellipsoide, methodesdepointinterieur,
algorithmesprimal-dual,m ethodespar echantillonnage,...enth eorie: algorit hmespolynomiauxenlarepresentationduPL.(Oncherche encoreun algorithmepolynomialennetd...)enp ratique: algorithmesdu simplexe,implantationecaces, ... plusieursmilliers devariables etdecontraintes. Reduireunequestionaun (ouplusieurs)PL estune b onnenouvelle! Valeurd' unPL= valeurmaximaledans [1;+1]atteintepa rlafonctionaoptimiser Resoudreunprogrammelin eaire=d eterminerunvecteurxoptimalouqu'aucun xnesatisfait touteslescontraintes.
6Exemple1 :optimisationlogistiqu eUnep ^atisserieindustriellepossededeuxsitesdep roduction, aQuimperetaVannes.
Elleexp ediesaproductionversRouen, Paris etBordeau.Lacapacitema ximale dep roductiondeQuimperestde350caisses/semaine etcellede Vannesestde650caisses parsemaine. Lademandeasatisfaire achaquedestination estde300
caissespa rsemaine.Lesquantit esdeCO2emisespourtransp orterunecaissed'un sitede production versunsitedeconsommationsont:ParisRouenBordeauQuimper251718
Vannes251814
Oncherche ad eterminerleplandep roductionetdetransportquisatisfait les demandesen degageant lemoinsdeCO2possible.6Exemple1 :optimisationlogistiqu eUnep ^atisserieindustriellepossededeuxsitesdep roduction, aQuimperetaVannes.
Elleexp ediesaproductionversRouen, Paris etBordeau.Lacapacitema ximale dep roductiondeQuimperestde350caisses/semaine etcellede Vannesestde650caisses parsemaine. Lademandeasatisfaire achaquedestination estde300
caissespa rsemaine.Lesquantit esdeCO2emisespourtransp orterunecaissed'un sitede production versunsitedeconsommationsont:ParisRouenBordeauQuimper251718
Vannes251814
Oncherche ad eterminerleplandep roductionetdetransportquisatisfait les demandesen degageant lemoinsdeCO2possible.min25 xPQ+25 xPV+17 xRQ+18 xRV+18 xBQ+14 xBVt.q.xPQ+xPV300x
RQ+xRV300x
BQ+xBV300x
PQ+xRQ+xBQ350x
PV+xRV+xBV650x
PQ;:::;xBV0
6Exemple1 :optimisationlogistiqu eUnep ^atisserieindustriellepossededeuxsitesdep roduction, aQuimperetaVannes.
Elleexp ediesaproductionversRouen, Paris etBordeau.Lacapacitema ximale dep roductiondeQuimperestde350caisses/semaine etcellede Vannesestde650caisses parsemaine. Lademandeasatisfaire achaquedestination estde300
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Vannes251814
Oncherche ad eterminerleplandep roductionetdetransportquisatisfait les demandesen degageant lemoinsdeCO2possible.t.q.max(25xPQ+25 xPV+17 xRQ+18 xRV+18 xBQ+14 xBV)xPQ+xPV300x
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PV+xRV+xBV650x
PQ;:::;xBV0
6Exemple1 :optimisationlogistiqu eUnep ^atisserieindustriellepossededeuxsitesdep roduction, aQuimperetaVannes.
Elleexp ediesaproductionversRouen, Paris etBordeau.Lacapacitema ximale dep roductiondeQuimperestde350caisses/semaine etcellede Vannesestde650caisses parsemaine. Lademandeasatisfaire achaquedestination estde300
caissespa rsemaine.Lesquantit esdeCO2emisespourtransp orterunecaissed'un sitede production versunsitedeconsommationsont:ParisRouenBordeauQuimper251718
Vannes251814
Oncherche ad eterminerleplandep roductionetdetransportquisatisfait lesdemandesen degageant lemoinsdeCO2possible.t.q.max(25xPQ+25 xPV+17 xRQ+18 xRV+18 xBQ+14 xBV)Uneimp rimeriefonctionne45heurespar semaine.Enune heureellep eutimprimer
etd ecouper25jeuxdetarot,50jeuxde54cartes ou75jeux de32ca rtes.Le marchehebdomadaireestde 500jeuxdetarot,1000jeuxde54carteset1500 jeuxde 32cartes. Lesexp editionsontlieuune foispar semaine,donclelocalde stockagedoit^etrecapablede contenirlatotalit edelapro ductionhebd omadaire. Ilc ontientauplus2000jeuxde tarotou 4000jeuxde 54cartes ou7500jeux de32ca rtes(outoutecombinaiso n,pa rexemple 1000jeuxdetarotet2000jeuxde
54ca rtes).Leprotr ealise estde1euro parjeudetarot,30centimesparjeude
54ca rteset25centimepa rjeude 32cartes. L'entreprisecherchelapro duction
quimaximise sonprot... xPQ+xPV300x
RQ+xRV300x
BQ+xBV300x
PQ+xRQ+xBQ350x
PV+xRV+xBV650x
PQ;:::;xBV0
6Exemple1 :optimisationlogistiqu eUnep ^atisserieindustriellepossededeuxsitesdep roduction, aQuimperetaVannes.
Elleexp ediesaproductionversRouen, Paris etBordeau.Lacapacitema ximale dep roductiondeQuimperestde350caisses/semaine etcellede Vannesestde650caisses parsemaine. Lademandeasatisfaire achaquedestination estde300
caissespa rsemaine.Lesquantit esdeCO2emisespourtransp orterunecaissed'un sitede production versunsitedeconsommationsont:ParisRouenBordeauQuimper251718
Vannes251814
Oncherche ad eterminerleplandep roductionetdetransportquisatisfait lesdemandesen degageant lemoinsdeCO2possible.t.q.max(25xPQ+25 xPV+17 xRQ+18 xRV+18 xBQ+14 xBV)Uneimp rimeriefonctionne45heurespar semaine.Enune heureellep eutimprimer
etd ecouper25jeuxdetarot,50jeuxde54cartes ou75jeux de32ca rtes.Le marchehebdomadaireestde 500jeuxdetarot,1000jeuxde54carteset1500 jeuxde 32cartes. Lesexp editionsontlieuune foispar semaine,donclelocalde stockagedoit^etrecapablede contenirlatotalit edelapro ductionhebd omadaire. Ilc ontientauplus2000jeuxde tarotou 4000jeuxde 54cartes ou7500jeux de32ca rtes(outoutecombinaiso n,pa rexemple 1000jeuxdetarotet2000jeuxde
54ca rtes).Leprotr ealise estde1euro parjeudetarot,30centimesparjeude
54ca rteset25centimepa rjeude 32cartes. L'entreprisecherchelapro duction
quimaximise sonprot... xPQ+xPV300x
RQ+xRV300x
BQ+xBV300x
PQ+xRQ+xBQ350x
PV+xRV+xBV650x
PQ;:::;xBV0Unrestaurateur disposede 880oursinsetde720hu ^tres.Il proposeasaclient eledeuxtypes d'assiette:assiettea20 euros(4 oursins,1hu ^tre)ou assiettea 15euros(2oursins,3hu ^tre).Quellerecettemaximumestenvisageablepar ce
restaurateur?7Exemple2 :
otdan sungraphe 12345678915001100160085070022004000130011802100175092014003630Unr eseau(informatique,routier,...) Chaquea r^eteaunecapacit e=
ot maximal(dedonn ees,de voitures,.. .) surcette ar^ eteparunitedetemps7Exemple2 :
otdan sungraphe 12345678915001100160085070022004000130011802100175092014003630Unr eseau(informatique,routier,...) Le
ot maximump ossibleentredeuxsommets donneestdonnepa runPL. Chaquea r^eteaunecapacit e= ot maximal(dedonn ees,de voitures,.. .) surcette ar^ eteparunitedetemps7Exemple2 :
otdan sungraphe 12345678915001100160085070022004000130011802100175092014003630Unr eseau(informatique,routier,...) Le
ot maximump ossibleentredeuxsommets donneestdonnepa runPL. Chaquea r^eteaunecapacit e= ot maximal(dedonn ees,de voitures,.. .)surcette ar^ eteparunitedetempsuneva riableparar^eteecrirelesloisde Kirchho(saufaux deux sommetsenquestion)maximiserle
otenu ndessommets speciaux8Exemple3 :r egressionlin eaire`1
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