[PDF] Leçon 1 Programmation linéaire





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1Lecon1Programmationlin eaireXavierGoao c

1

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2Developpeetardivement(Kantorovitch1939,Dantzig1947,...)impactdicile asur evaluer,entheo rieetenpratique.Lap rogrammationlineaireestla th eoriedessystemesd'inegalites lineaires .systemelineaire, sous-espaceane,pivotdeGauss!programmeline aire,polyedre,algorithmedusimplexe

3Premiersexemples dep rogrammeslineaires

4Unp rogrammelineaire(PL)est unprobl emequi consisteamaximisersur Rd

unefonction lin eaire sous descontraintes lin eaires .maxx1+x2t.q.x

102x2x12x

22x1 4x

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1+x20Unefo rmegenerale maxcTxt.q.Axbx2Rd,A2Rnd,b2Rnx

2x 1

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102x2x12x

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1+x20Unefo rmegenerale maxcTxt.q.Axbx2Rd,A2Rnd,b2Rnc=1

1 ,A=0 B B@10 12 11 211
C

CA,b=0

B B@0 2 0 41
C CAx 2x 1

5Valeurd' unPL= valeurmaximaledans [1;+1]atteintepa rlafonctionaoptimiser Resoudreunprogrammelin eaire=d eterminerunvecteurxoptimalouqu'aucun xnesatisfait touteslescontraintes.

5Algorithmesdusimplexe,m ethode del'ellipsoide, methodesdepointinterieur,

algorithmesprimal-dual,m ethodespar echantillonnage,...Valeurd' unPL= valeurmaximaledans [1;+1]atteintepa rlafonctionaoptimiser Resoudreunprogrammelin eaire=d eterminerunvecteurxoptimalouqu'aucun xnesatisfait touteslescontraintes.

5Onsait resoudre lesprogrammeslineairesecaceme ntAlgorithmesdusimplexe,m ethode del'ellipsoide, methodesdepointinterieur,

algorithmesprimal-dual,m ethodespar echantillonnage,...enp ratique: algorithmesdu simplexe,implantationecaces, ... plusieursmilliers devariables etdecontraintes. Valeurd' unPL= valeurmaximaledans [1;+1]atteintepa rlafonctionaoptimiser Resoudreunprogrammelin eaire=d eterminerunvecteurxoptimalouqu'aucun xnesatisfait touteslescontraintes.

5Onsait resoudre lesprogrammeslineairesecaceme ntAlgorithmesdusimplexe,m ethode del'ellipsoide, methodesdepointinterieur,

algorithmesprimal-dual,m ethodespar echantillonnage,...enth eorie: algorit hmespolynomiauxenlarepresentationduPL.(Oncherche encoreun algorithmepolynomialennetd...)enp ratique: algorithmesdu simplexe,implantationecaces, ... plusieursmilliers devariables etdecontraintes. Valeurd' unPL= valeurmaximaledans [1;+1]atteintepa rlafonctionaoptimiser Resoudreunprogrammelin eaire=d eterminerunvecteurxoptimalouqu'aucun xnesatisfait touteslescontraintes.

5Onsait resoudre lesprogrammeslineairesecaceme ntAlgorithmesdusimplexe,m ethode del'ellipsoide, methodesdepointinterieur,

algorithmesprimal-dual,m ethodespar echantillonnage,...enth eorie: algorit hmespolynomiauxenlarepresentationduPL.(Oncherche encoreun algorithmepolynomialennetd...)enp ratique: algorithmesdu simplexe,implantationecaces, ... plusieursmilliers devariables etdecontraintes. Reduireunequestionaun (ouplusieurs)PL estune b onnenouvelle! Valeurd' unPL= valeurmaximaledans [1;+1]atteintepa rlafonctionaoptimiser Resoudreunprogrammelin eaire=d eterminerunvecteurxoptimalouqu'aucun xnesatisfait touteslescontraintes.

6Exemple1 :optimisationlogistiqu eUnep ^atisserieindustriellepossededeuxsitesdep roduction, aQuimperetaVannes.

Elleexp ediesaproductionversRouen, Paris etBordeau.Lacapacitema ximale dep roductiondeQuimperestde350caisses/semaine etcellede Vannesestde

650caisses parsemaine. Lademandeasatisfaire achaquedestination estde300

caissespa rsemaine.Lesquantit esdeCO2emisespourtransp orterunecaissed'un sitede production versunsitedeconsommationsont:ParisRouenBordeau

Quimper251718

Vannes251814

Oncherche ad eterminerleplandep roductionetdetransportquisatisfait les demandesen degageant lemoinsdeCO2possible.

6Exemple1 :optimisationlogistiqu eUnep ^atisserieindustriellepossededeuxsitesdep roduction, aQuimperetaVannes.

Elleexp ediesaproductionversRouen, Paris etBordeau.Lacapacitema ximale dep roductiondeQuimperestde350caisses/semaine etcellede Vannesestde

650caisses parsemaine. Lademandeasatisfaire achaquedestination estde300

caissespa rsemaine.Lesquantit esdeCO2emisespourtransp orterunecaissed'un sitede production versunsitedeconsommationsont:ParisRouenBordeau

Quimper251718

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Oncherche ad eterminerleplandep roductionetdetransportquisatisfait les demandesen degageant lemoinsdeCO2possible.min25 xPQ+25 xPV+17 xRQ+18 xRV+18 xBQ+14 xBVt.q.x

PQ+xPV300x

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6Exemple1 :optimisationlogistiqu eUnep ^atisserieindustriellepossededeuxsitesdep roduction, aQuimperetaVannes.

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650caisses parsemaine. Lademandeasatisfaire achaquedestination estde300

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Oncherche ad eterminerleplandep roductionetdetransportquisatisfait les

demandesen degageant lemoinsdeCO2possible.t.q.max(25xPQ+25 xPV+17 xRQ+18 xRV+18 xBQ+14 xBV)Uneimp rimeriefonctionne45heurespar semaine.Enune heureellep eutimprimer

etd ecouper25jeuxdetarot,50jeuxde54cartes ou75jeux de32ca rtes.Le marchehebdomadaireestde 500jeuxdetarot,1000jeuxde54carteset1500 jeuxde 32cartes. Lesexp editionsontlieuune foispar semaine,donclelocalde stockagedoit^etrecapablede contenirlatotalit edelapro ductionhebd omadaire. Ilc ontientauplus2000jeuxde tarotou 4000jeuxde 54cartes ou7500jeux de

32ca rtes(outoutecombinaiso n,pa rexemple 1000jeuxdetarotet2000jeuxde

54ca rtes).Leprotr ealise estde1euro parjeudetarot,30centimesparjeude

54ca rteset25centimepa rjeude 32cartes. L'entreprisecherchelapro duction

quimaximise sonprot... x

PQ+xPV300x

RQ+xRV300x

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PV+xRV+xBV650x

PQ;:::;xBV0

6Exemple1 :optimisationlogistiqu eUnep ^atisserieindustriellepossededeuxsitesdep roduction, aQuimperetaVannes.

Elleexp ediesaproductionversRouen, Paris etBordeau.Lacapacitema ximale dep roductiondeQuimperestde350caisses/semaine etcellede Vannesestde

650caisses parsemaine. Lademandeasatisfaire achaquedestination estde300

caissespa rsemaine.Lesquantit esdeCO2emisespourtransp orterunecaissed'un sitede production versunsitedeconsommationsont:ParisRouenBordeau

Quimper251718

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Oncherche ad eterminerleplandep roductionetdetransportquisatisfait les

demandesen degageant lemoinsdeCO2possible.t.q.max(25xPQ+25 xPV+17 xRQ+18 xRV+18 xBQ+14 xBV)Uneimp rimeriefonctionne45heurespar semaine.Enune heureellep eutimprimer

etd ecouper25jeuxdetarot,50jeuxde54cartes ou75jeux de32ca rtes.Le marchehebdomadaireestde 500jeuxdetarot,1000jeuxde54carteset1500 jeuxde 32cartes. Lesexp editionsontlieuune foispar semaine,donclelocalde stockagedoit^etrecapablede contenirlatotalit edelapro ductionhebd omadaire. Ilc ontientauplus2000jeuxde tarotou 4000jeuxde 54cartes ou7500jeux de

32ca rtes(outoutecombinaiso n,pa rexemple 1000jeuxdetarotet2000jeuxde

54ca rtes).Leprotr ealise estde1euro parjeudetarot,30centimesparjeude

54ca rteset25centimepa rjeude 32cartes. L'entreprisecherchelapro duction

quimaximise sonprot... x

PQ+xPV300x

RQ+xRV300x

BQ+xBV300x

PQ+xRQ+xBQ350x

PV+xRV+xBV650x

PQ;:::;xBV0Unrestaurateur disposede 880oursinsetde720hu ^tres.Il proposeasaclient eledeuxtypes d'assiette:assiettea20 euros(4 oursins,1hu ^tre)ou assiettea 15euros(2oursins,

3hu ^tre).Quellerecettemaximumestenvisageablepar ce

restaurateur?

7Exemple2 :

otdan sungraphe 12345678915001100160085070022004000130011802100175092014003630Unr eseau(informatique,routier,...) Chaquea r^eteaunecapacit e=

ot maximal(dedonn ees,de voitures,.. .) surcette ar^ eteparunitedetemps

7Exemple2 :

otdan sungraphe 12345678915001100160085070022004000130011802100175092014003630Unr eseau(informatique,routier,...) Le

ot maximump ossibleentredeuxsommets donneestdonnepa runPL. Chaquea r^eteaunecapacit e= ot maximal(dedonn ees,de voitures,.. .) surcette ar^ eteparunitedetemps

7Exemple2 :

otdan sungraphe 12345678915001100160085070022004000130011802100175092014003630Unr eseau(informatique,routier,...) Le

ot maximump ossibleentredeuxsommets donneestdonnepa runPL. Chaquea r^eteaunecapacit e= ot maximal(dedonn ees,de voitures,.. .)

surcette ar^ eteparunitedetempsuneva riableparar^eteecrirelesloisde Kirchho(saufaux deux sommetsenquestion)maximiserle

otenu ndessommets speciaux

8Exemple3 :r egressionlin eaire`1

x1 yquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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