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Programmation linéaire Formulation du probl`eme Méthode et interprétation graphique Algorithme du simplexe Détail de l'algorithme
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MODÈLE GÉNÉRAL DE PROGRAMMATION LINÉAIRE 9 En résumé nous avons le problème d'optimisation suivant: max x z = 3x1 + 5x2 sous les contraintes
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expose l'algorithme du simplexe pour résoudre un programme linéaire En optimisation et plus généralement en Recherche Opérationnelle modéliser un
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C Prins et M Sevaux - Programmation linéaire avec Excel : 55 probl`emes d'optimisation modélisés pas `a Le fabricant cherche `a maximiser son profit
[PDF] COURS DE RECHERCHE OPERATIONNELLE - UFR SEG
U des Sciences Economues et de Gestion COURS DE RECHERCHE OPERATIONNELLE ECUE 1 : PROGRAMMATION LINEAIRE NOTES DE COURS PAR Dr Yao Silvère KONAN
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Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit sous
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Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Mod`eles classiques Zoltán Szigeti Laboratoire G-SCOP INP Grenoble France Z Szigeti (G-SCOP
Recherche opérationnelle et applications
2 Tour d’horizon des techniques de recherche opérationnelle Recherche opérationnelle La recherche opérationnelle est une technique d’aide à la décision Etapes pratiques 1 Dé?nition du problème 2 Construction d’un modèle 3 Solution du modèle 4 Validation du modèle 5 Implémentation de la solution Méthodologie
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La programmation linéaire est un outil très puissant de la recherche opérationnelle C’est un outil générique qui peut résoudre un grand nombre de problèmes
Quels sont les principes de la recherche opérationnelle ?
Dans les années 70-80, on applique même les principes de la recherche opérationnelle à la compréhension des phénomènes de trou noir. Aujourd’hui, elle représente une première approche des problèmes techniques et est devenue un outil d’aide à la décision. L’algorithme du simplexe est la méthode la plus utilisée en recherche opérationnelle.
Comment faire une recherche opérationnelle?
La recherche opérationnelle porte sur la gestion pratique de l’organisation. De ce fait, elle doit fournir des conclusions positives et compréhensibles aux décideurs lorsque cela est nécessaire pour la prise de décision. Elle nécessite de ce fait une approche pluridisciplinaire
Quel est l'objectif de la programmation linéaire ?
L'objectif de la programmation linéaire (P.L.) est de trouver la valeur optimale d'une fonction linéaire sous un système d'équations d'inégalités de contraintes linéaires.
Qui a inventé la recherche opérationnelle?
La Recherche Opérationnelle 5 Commençons par citer Robert FAURE qui a été un des principaux initiateurs de la R.O. en France... a) Le caractère pratique de la Recherche Opérationnelle : Définition
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Programmation Lin´eaire
Cours 1 : programmes lin´eaires, mod´elisation et r´esolution graphiqueF. Clautiaux
francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.frUniversit´e Bordeaux 1
Bˆat A33
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMotivation et objectif du cours
Introduction `a la programmation lin´eaire
Un outil qui permet de :
•mod´eliser •r´esoudre toute une classe de probl`emes d"optimisation.Existence de solveurs efficace pour la PL
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanOuvrages de r´ef´erence
V. Chv´atal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983. •R. J. Vanderbei - Linear Programming, Foundations and Extensions,Springer-Verlag, 2008.
•C. Gu´eret, C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire :65 probl`emes d"optimisation mod´elis´es et r´esolus avec Visual Xpress,Eyrolles, 2000.
•C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire avec Excel : 55 probl`emes d"optimisation mod´elis´es pas `a pas et r´esolus avec Excel,Eyrolles, 2011.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Exemple 1 : Production
Exemple 2 : Transport
Exemple 3 : Planification
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de production
Un fabricant produit 2 types de yaourts `a la fraise A et B `a partir de Fraise, de Lait et de Sucre. Chaque yaourt doit respecter les proportions suivantes de mati`eres premi`eres. ABFraise21
Lait12
Sucre01
On dispose de 800 Kg de Fraises, 700 Kg de Lait et 300 Kg de sucre. La vente de 1 Kg de yaourts A et B rapporte respectivement 4eet 5e.Le fabricant cherche `a maximiser son profit.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Seules valeurs non constantes : les quantit´es de yaourtsAetB produites •On parle devariables •On les noteraxAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Le profitz •Calcul´e `a partir dexAetxB •On parle defonction objectif •z= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? •Premi`ere contrainte : 800 Kg de fraises disponibles •la quantit´e utilis´ee d´epend de la production : 2xA+xB ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x xA,xB≥0
positivit´e! ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMon premier programme lin´eaire
max4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de transport
Approvisionner au moindre coˆut les clients `a partir des usines.Usines (i?I)BordeauxBiarritzToulouse
Productions (pi)251520
Clients (j?J)PauBayonneBordeauxLibourne
Demandes (dj)2012914
Prix/unit´e (ci,j)PauBayonneBordeauxLibourne
Bordeaux261904
Biarritz1222024
Toulouse19302428
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :Minimiser?
i?I? j?Jci,jxi,j ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :Minimiser?
i?I? j?Jci,jxi,j •Contraintes :? i?Ixi,j=dj,?j?J(Demandes `a satisfaire) x i,j≥0,?i?I,j?J ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de planification
Planifier la production d"articles `a moindre coˆut pour les 4 prochains mois. Production maximale normale : 1200 articles / mois Production maximale en heure sup : 400 articles / moisSurcoˆut heures sup : 7 euros / article
Stockage : 3 euros / article / mois
mois 1mois 2mois 3mois 4Demandes900110017001300
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 •Objectif :Minimiser 7?t=4
t=1yt+ 3?t=3 t=1st •Contraintes : x1+y1= 900+s1
s1+x2+y2= 1100+s2
s2+x3+y3= 1700+s3
s3+x4+y4= 1300
s t≥0,t= 1, ...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR`egles de r´e´ecriture (1)
Toute contrainte d"´egalit´e peut s"´ecrire comme deux in´egalit´es : n i=1a ixi=b≡? n i=1a ixi≥b≡n? Tout probl`eme de minimisation peut s"´ecrire comme un probl`eme de maximisation : max n? i=1c ixi≡minn? i=1-cixi ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Ecriture g´en´erale d"un programmation lin´eaire On peut ´ecrire ainsi un programme lin´eaire avecnvariables x1,...,xnetmcontraintes.
max ?ni=1cixi x i?R,(i= 1,...,n) •Lin´earit´e :Objectif et contraintes sont des fonctions lin´eaires des variables de d´ecision (les coefficientscietaijdes variables sont constants) •Continuit´e :Les variables peuvent prendre n"importe quelle valeur r´eelle respectant les contraintes linaires ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (1) min?ni=1xixi x i?R,(i= 1,...,n) min ?ni=1xi x i?N,(i= 1,...,n)
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (2) min?ni=1cixi x i?R∩[l1,u1]∩[l2,u2],(i= 1,...,n)
min ?ni=1cixi x 1=x2 oux1=x3 x i?R,(i= 1,...,n) ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanForme normale d"un programme lin´eaire
Tout programme lin´eaire peut s"´ecrire sousforme normale. max ?ni=1cixi x i≥0,xi?R,(i= 1,...,n)Si on a une variablexi?R, on introduitx+
i≥0 etx- i≥0 et on posexi=x+ i+x- i. ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Repr´esentation graphique d"un PL
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
On dispose d"un outil (la PL) pour mod´eliser des probl`emes •Comment r´esoudre les probl`emes `a l"aide de la PL? •Plusieurs algorithmes existent, dont le simplexe (prochain cours)•Pour des probl`emes avec deux variables, on peut r´esoudregraphiquement (aide `a comprendre la structure du probl`eme)
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
x xAx B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
xAx B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x x xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanTerminologie
Solution :
affectation de valeurs aux variables•Solution r´ealisable :solution r´ealisable si les valeurssatisfont l"ensemble descontraintes
•R´egion r´ealisable :ensemble des solutionsr´ealisables. xAx B x x= (80,150) ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanTerminologie
Solution :
affectation de valeurs aux variables•Solution r´ealisable :solution r´ealisable si les valeurssatisfont l"ensemble descontraintes
•R´egion r´ealisable :ensemble des solutionsr´ealisables. xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
Max 4xA+ 5xB
x x xA,xB≥0
xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
Max 4xA+ 5xB
x x xA,xB≥0
x4xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900
4xA+ 5xB= 0x
Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
Max 4xA+ 5xB
x x xA,xB≥0
x4xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900
4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 1000xAx
B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
Max 4xA+ 5xB
x x xA,xB≥0
x4xA+ 5xB= 2900
4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 2200
x Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
Max 4xA+ 5xB
x x xA,xB≥0
x4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900
x Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanExistence d"une solution (optimale)
Quatre possibilit´es
minx+ 2y x+y≥3 x,y≥0Une solution optimale unique.
?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanExistence d"une solution (optimale)
Quatre possibilit´es
maxx+ 2y x+y≥3 x,y≥0Solution non born´ee.
?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanExistence d"une solution (optimale)
Quatre possibilit´es
maxx+ 2y x+y≥3 x,y≥0Pas de solution.
?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanExistence d"une solution (optimale)
Quatre possibilit´es
maxx x+y≥3 x,y≥0Infinit´e de solutions.
?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Points extrˆemes et convexit´e
Algorithme g´eom`etrique
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanNotion de point extrˆeme
Proposition
S"il en existe, il y a toujours
une solution optimale sur un sommet (point extrˆeme) de la r´egion r´ealisableCorollaire
Pour trouver l"optimum, il
"suffit" d"examiner les points extrˆemes de la r´egion r´ealisable x4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900
x Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanPoly`edres et points extrˆemes (1)
D´efinition
Unpoly`edre convexeest l"ensemble des solutions d"un syst`eme fini d"in´egalit´es lin´eaires. L"ensemble des solutions admissibles d"un PL est donc un poly`edre convexe. On s"int´eressera dans un premier temps aux poly`edresborn´es.Rappel : S est convexe si
?x,y?S,?λ?[0,1],λx+ (1-λ)y?S.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] principe droite de henry
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