Détermination dune valeur approchée de la racine carrée dun PDF

RACINES CARREES (Partie 1)

Pour un nombre positif a. = a. La racine « annule » le carré. Exercices conseillés En devoir p66 n°34. II. Opération sur les racines carrées.

Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction

MAITRISE DE CONNAISSANCES MATHEMATIQUES. EXERCICE 1 (35 points). 1) A est la somme de l'aire du carré ABCD et de l'aire du demi-disque de diamètre.

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??? 3 ???? Exercice corrigé de Maths. 3eme - Fascicule ADEM - Activités numériques - Racine carrée. Résoudre des équations : cours de maths 3ème avec ...

Détermination dune valeur approchée de la racine carrée dun

faite avec l'environnement Scilab. 1.1 Le principe mathématique. Pour les mathématiques actuelles rechercher la racine carrée d'un nombre A revient à

LATEX pour le prof de maths !

11?/01?/2021 5.1.5.3 Simplifications de racines carrées . ... 7.2.3 Texte et espace dans un environnement mathématique . ... 8.21.3 Troisième idée .

racines carrées

b) Quotient de 2 racines carrées. c) Lien avec les puissances. d) Modification d'écritures avec des radicaux au dénominateur. 3. Exercices

Correctif – Pythagore et les racines carrées

3G Mathématiques : Racines carrées et Pythagore. Tu dois construire un carré dont l'aire est 9 cm². Quelle est la longueur du côté de ce carré ?

Cours de mathématiques - Exo7

0 x 25 =? x 5 » est vraie (prendre la racine carrée). 7 : les carrés inférieurs à 7 sont 0 1

Untitled

2) Programmer et tester l'algorithme précédent pour différentes valeurs de N. Avec Python : La syntaxe pour "racine carrée" est sqrt. Saisir au début du

TD 1 Intégrales généralisées

16?/09?/2016 sommes S n'ont pas toujours de limite et donc l'intégrale n'existe pas toujours. Ainsi

Détermination d"une valeur approchée

de la racine carrée d"un nombre

Stéphane Clément

IREM Aix Marseille

1 Algorithme de Héron

La calcul de valeurs approchées de nombres irrationnels est un type de problème qui peut être

une raison d"être à de nombreux contenus mathématiques, de la classe de première S en parti-

culier. Ce qui est présenté ci-dessous a été testé en classe; la programmation par les élèves a été

faite avec l"environnement Scilab.

1.1 Le principe mathématique

Pour les mathématiques actuelles, rechercher la racine carrée d"un nombreArevient à résoudre

l"équationx2?A?0.

Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carré deAc"est trouver un carré dont l"aire

estA. En prenant un rectangle de côté arbitrairea0et de même aire, il est nécessaire que la

longueur de l"autre côté soit Aa o. Mais ce rectangle n"est pas carré (en général). Pour le rendre

"plus carré", il suffit de prendre un rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des

deux côtés précédents soit a o?Aa o2 en carré de même aire.

Dans la suite, on va supposer queA?1. Si la racine carré cherchée et inférieure à1, on pourra

toujours se ramener àA?1.

La figure suivante, réalisée avec le logiciel GeoGebra et suivie de son protocole de construction,

illustre cette technique pour la détermination d"une valeur approchée deA??2. 1

1.2 Exemple à la main : approximations successives de racine de 2

Partons d"un rectangle de côtés de longueurs 1 et 2 et utilisons la technique. Première itération : prenons la demi-somme pour l"un des côtés1?22 ?32 . Pour que l"aire du rectangle soit2, nécessairement la longueur du deuxième côté est23 2 ?43

Deuxième itération : la demi-somme est

32
?43 2 ?1712 et la mesure du deuxième côté est : 217
12 ?2417 Ainsi de suite, on obtient successivement les valeurs rangées dans la tableau suivant : 2 Rang de l"itérationLongueur du premier côtéLongueur du deuxième côté 021
13 2 ?1.54 3 ?1.33333217 12 ?1.4166724 17 ?1.4117763577 408
?1.414215816 577
?1.4142114665 857

470 832

?1.41421356941 664

665 857

?1.41421356On remarque qu"à la troisième itération, on a un encadrement à10?5et qu"à la quatrième une

très bonne valeur approchée. Ces calculs se réalisent facilement avec un logiciel de calcul formel, comme ci-dessous avec wxMaxima :3

1.3 L"algorithme

L"algorithme permet de donner un encadrement de la solution et peut s"écrire de deux façons : 1. en calculant simul tanémentdeux suites (technique proche du principe) ; a?2 b?1 e?précision souhaitée tant quea?b?efairea? ?a?b??2b?2?a résultataetb Algorithme écrit sous le logiciel AlgoBox2.en ne calculant qu"une se ulesuite 1. x?0 y?1 e?précisiontant que?x?y? ?efairex?yy?x?2x 2 résultaty

1.4 Programmation

En Python1. Cf APMEP Bulletin 486Étude d"un très vieil algorithmepar Catherine Combelles 4 La programmation en langage Python ci-dessus donne le résultat ci-dessous :

Avec Scilab

2 Comparaisonderapiditédeconvergenceparrapportàd"autres

algorithmes Sensibiliser les élèves à la comparaison de vitesse de convergence

2.1 Comparaison à l"algorithme de dichotomie

L"algorithme de dichotomie est abordé dès la seconde, mais la mise en oeuvre avec des élèves

peut s"avérer quelques fois difficile à ce niveau. On peut décider de le retravailler en première.

Entrées:aréel,bréel,a?b,ffonction continue sur?a,b?telle que f?a? ?f?b? ?0,?la précision est un nombre réel arbitrairement petit. tant queb?a??fairec?a?b2sif?a? ?f?c? ?0alorsb?csinona?c Sortieaest un nombre réel qui approche une racine defà?près.

Cet algorithme peut être utilisé pour la recherche d"une valeur approchée d"une éventuelle so-

lution à une équation dont les élèves ne connaissent pas de solution algébrique; mais aussi dans

le cadre d"une la recherche d"une valeur approchée d"un nombre (par exemple?2). Il est facile de démontrer que la fonctionx???x2?2est croissante sur?1;2?quef?1? ? ?1 et quef?2? ?2. Il y a donc bien une solution àf?x? ?0dans l"intervalle?1;2?. 5 6 La programmation en langage Python ci-dessus donne le résultat ci-dessous : On remarque que l"algorithme de Héron converge beaucoup plus rapidement que l"algorithme de dichotomie.

2.2 Lien entre la méthode de Newton et l"algorithme de Héron

La méthode de Newton aussi appelé méthode de la tangente, est en fait l"algorithme de Héron

[cf IREM Aix marseille : méthode de newton.pdf]. C"est ce que montre la ligne de calculs ci-dessous u n?1?un?f?un?f ??un?avecf?x? ?x2?2etf??x? ?2x. u n?1?un?u2n?22un?2u2n?u2n?22un?u n?2u n2 7quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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