AP 1eres ES L Loi binomiale 2
AP Loi binomiale 2 : Exercice 1 : X suit une loi binomiale de paramètre n = 40 et p = 035. Calculer les probabilités suivantes : 1) P(X = 3). 2) P(X ? 20).
LOI BINOMIALE – Feuille dexercices
Exercice 2 : dans un lycée 71% des élèves de première ont choisi la spécialité Mathématiques. On tire au sort un élève de première de ce lycée et on regarde s'
Exercices supplémentaires : Loi binomiale
2) Calculer ? 1 ; ? 18 ; ? 15 et ? 10. Exercice 6. On considère une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 50 et 003.
Loi binomiale.
Loi binomiale. Exercices fiche 1. Exercice 1. Répétition d'expériences identiques et indépendantes. Pour aller a un stage Lucie a 3 moyens de transports à
Cours de probabilités et statistiques
Exercice 3 — On admet que le nombre d'accidents survenant sur une autoroute quoti- diennement est une va qui suit la loi de Poisson de param`etre ? = 3.
Exemples de prises de décision ESD 2013 –02 : Loi binomiale
Exposez une correction de l'exercice comme vous le feriez pour des élèves de première S. 3. Présentez deux ou trois exercices sur le thème « Loi binomiale »
Loi binomiale.
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Loi binomiale : Cours et exercices corrigés - Progresser-en-maths
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1ère S – Corrigés des 6 exercices sur la loi binomiale l'espérance et l'échantillonnage Exercice 1 : Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de 6 obtenus en 4 lancers avec un dé régulier et Y la variable aléatoire qui donne le nombre de 6 obtenus en 8 lancers avec le même dé X suit une loi binomiale de paramètres n=4
LOI BINOMIALE - maths et tiques
Une loi binomiale est une loi de probabilité d'une variable aléatoire X qui donne le nombre de succès de l'expérience Exemple : Vidéo https://youtu be/b18_r8r4K2s On a représenté dans un arbre de probabilité les issues d'une expérience suivant un schéma de Bernoulli composé de 3 épreuves de Bernoulli de paramètre p
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I Exercice 11 : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B Å 4; 1 4 ã 1 Construire le tableau résumant la loi de X 2 A partir de ce tableau calculer l’espérance de X 3 Conjecturer l’expression de l’espérance d’une loi binomiale de paramètres n et p I Exercice 12 : On lance 4 fois un dé équilibré à 6
Prérequis
Loi de Bernoulli
définition
La loi binomiale est une loi de probabilité discrète avec deux paramètres n et p. Elle est définie sur l’univers ?? = {0, …, n}.
Propriétés
Espérance de la loi binomiale
Exercices Corrigés de Loi Binomiale
Exercice 1
Comment calculer la loi binomiale ?
Le nombre X de réponses suit donc une loi binomiale de paramètres n= 25 et p = 0,2. On a donc On a fait les calculs à la calculatrice car ils sont trop complexes pour être faits à la main. Enoncé : Une variable aléatoire X suit une loi binomiale. Sachant que son espérance vaut 2,4 et sa variance 1,92, retrouver ses paramètres.
Quelle est la différence entre la loi de Bernoulli et la loi binomiale ?
Dans une loi de Bernoulli, le schéma de Bernoulli est répété 1 fois, tandis que dans le cas de la loi binomiale, il est répété n fois. On peut donc dire que la loi binomiale est une généralisation de la loi de Bernoulli. L’espérance de la loi binomiale vaut np. On peut la démontrer de deux manières. D’abord en tant que somme de loi de Bernoulli. Si
Comment calculer l’espérance d’une loi binomiale ?
Conjecturer l’expression de l’espérance d’une loi binomiale de paramètresnetp. Exercice 12 : On lance 4 fois un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On noteXla variable aléatoire qui compte le nombre de 3 obtenus. Que valent P(X= 1)etP(X3).
Comment calculer la loi binomiale d’une variable aléatoire ?
Enoncé : Une variable aléatoire X suit une loi binomiale. Sachant que son espérance vaut 2,4 et sa variance 1,92, retrouver ses paramètres. Corrigé : On sait que l’espérance vaut np et que la variance vaut np (1-p). On a donc le résultat suivant On a ainsi, p = 0,2. On a donc une loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0,2.
Loi binomiale.
Exercices Fiche 2
Exercice 1 Loi de probabilité et espérance.Lors d'une loterie, un joueur mise 1€. S'il gagne la partie, il reçoit 5€; s'il perd la partie, il ne reçoit rien. La
probabilité que le joueur gagne la partie est 7 30.On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue d'une partie.
1. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance E(X).
2. On dit que le jeu est favorable au joueur si E(X)>0. Est-ce le cas pour ce jeu?
Exercice 2 Loi de probabilité et espérance.Une entreprise s'intéresse à la durée de vie des machines qu'elle construit. Elle possède un par ce 1000
machines. Une étude sur 100 machines mises en services au premier janvier 2006 donne le nombre de machines
encore en service à la date indiquée dans le tableau ci-dessous. Si la machine s'arrête de fonctionner durant
l'année 2006, on dira que sa durée de vie a été de 1 an.Janvier 2006100
Janvier 200796
Janvier 200844
Janvier 200940
Janvier 201020
Janvier 20110
1. Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie des machines. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par
X.2. On admet que la part des machines tombées en panne chaque année, dans la centaine étudiée, fournit un
modèle satisfaisant pour la loi de probabilité de X. Dresser le tableau de la loi de probabilité de X.
3. Calculer:
a) PX3b) PX1c) P3X54. Calculer la durée de vie moyenne des machines que l'on peut espérer obtenir.
Exercice 3 Loi binomiale.
Pour être agréable à Lucie, mais sans se concerter, ses trois amies lui achètent une viennoiserie. Elles savent
que Lucie n'aime que les pains au chocolat et les croissants. On admet que les achats de l'une ou l'autre de ces
viennoiseries sont équiprobables. On note X la variable aléatoire égale au nombre de pains au chocolat apportés
à Lucie.
1. a) Reconnaître la loi de probabilité suivie par X et donner ses paramètres.
b) Donner l'ensemble des valeurs prises par X. c) Écrire une phrase traduisant l'événement (X=2), puis l'événement (X³1) d) Donner, sous la forme d'un coefficient binomial, le nombre d'issues de l'événement (X=2)2. a) Construire l'arbre pondéré représentant la situation.
b) Calculer la probabilité que Lucie ait deux pains au chocolat et un croissant. c) Calculer la probabilité que Lucie puisse manger au moins un croissant.Loi binomiale.
Exercice 4 Loi binomiale.
Suivant qu'un conducteur a ou non des accidents pendant une année, sa compagnie d'assurance augmente ou
diminue le montant de son assurance annuelle.Si un assuré n'a pas d'accident pendant une année, il obtient l'année suivante un bonus de 5%, c'est à dire que le
montant de son assurance baisse de 5%.S'il n'a pas d'accident pendant 2 ans de suite, le montant de son assurance baisse une nouvelle fois de 5% et
ainsi de suite jusqu'à une réduction maximum de 50%.En revanche, si l'assuré a un accident, le montant de son assurance augmente de 25% et ne peut baisser que s'il
reste deux ans sans avoir d'accident. Son malus retombe alors à 0%. On admet qu'un assuré a, au maximum, un seul accident par an.On suppose que la probabilité qu'un assuré ait un accident au cours d'une année est 0,26 quelle que soit l'année
et s'il a eu ou non un accident l'année précédente. On admet aussi que le montant de son assurance n'est modifié
que par les bonus et malus obtenus.Partie A
Soit X la variable aléatoire égale au nombre d'accidents au bout de trois années.1. a) Quelles sont les valeurs prises par X? Déterminer la loi de probabilité suivie par X.
b) Construire l'arbre pondéré correspondant à l'expérience.2. Calculer les probabilités:
a) de ne pas avoir d'accident pendant ces 3 années. b) d'avoir exactement un accident pendant ces 3 années. c) d'avoir au moins un accident pendant ces 3 années.Donner les valeurs arrondies à 10-4 près.
Partie B
On suppose que l'assuré n'a aucun accident pendant n années. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur de
n pour que son bonus atteigne 50%.Partie C
Soit Y la variable aléatoire égale au pourcentage d'évolution de la prime d'assurance au bout de trois années. A
l'aide de l'arbre précédent, déterminer la loi de probabilité de Y. On arrondira les valeurs à 1% près.
Calculer son espérance. En donner son interprétation du point de vue de l'assureur.Loi binomiale.
CORRECTION
Exercice 1 Loi de probabilité et espérance.Lors d'une loterie, un joueur mise 1€. S'il gagne la partie, il reçoit 5€; s'il perd la partie, il ne reçoit rien. La
probabilité que le joueur gagne la partie est 7 30.On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue d'une partie.
1. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance E(X).
2. On dit que le jeu est favorable au joueur si E(X)>0. Est-ce le cas pour ce jeu?
Lors d'une loterie, un joueur mise 1€. S'il gagne la partie, il reçoit 5€; s'il perd la partie, il ne reçoit rien. La
probabilité que le joueur gagne la partie est 7 30.On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue d'une partie.
1. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance E(X).
2. On dit que le jeu est favorable au joueur si E(X)>0. Est-ce le cas pour ce jeu?
1. La loi de probabilité de X est:
xi-14PX=xi23 30730EX=23
30×-17
30×4=5
30=16
2. EX0donc le jeu est favorable au joueur. Il peut espérer gagner 1
6euro en jouant un grand nombre de
fois. Exercice 2 Loi de probabilité et espérance.Une entreprise s'intéresse à la durée de vie des machines qu'elle construit. Elle possède un par ce 1000
machines. Une étude sur 100 machines mises en services au premier janvier 2006 donne le nombre de machines
encore en service à la date indiquée dans le tableau ci-dessous. Si la machine s'arrête de fonctionner durant
l'année 2006, on dira que sa durée de vie a été de 1 an.Janvier 2006100
Janvier 200796
Janvier 200844
Janvier 200940
Janvier 201020
Janvier 20110
1. Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie des machines. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par
X.2. On admet que la part des machines tombées en panne chaque année, dans la centaine étudiée, fournit un
modèle satisfaisant pour la loi de probabilité de X. Dresser le tableau de la loi de probabilité de X.
3. Calculer:
a) PX3b) PX1c) P3X5Loi binomiale.
4. Calculer la durée de vie moyenne des machines que l'on peut espérer obtenir.
1. L'ensemble des valeurs prises par X est {1;2;3;4;5}
2. xi12345
PX=xi0,040,520,040,20,2
3. a) PX3=0,040,52=0,56 b)PX1=1c)
P3X5=0,040,2=0,244. EX=1×0,042×0,523×0,044×0,25×02=3
La durée de vie moyenne des machines que l'on peut espérer obtenir est 3ans.Exercice 3 Loi binomiale.
Pour être agréable à Lucie, mais sans se concerter, ses trois amies lui achètent une viennoiserie. Elles savent
que Lucie n'aime que les pains au chocolat et les croissants. On admet que les achats de l'une ou l'autre de ces
viennoiseries sont équiprobables. On note X la variable aléatoire égale au nombre de pains au chocolat apportés
à Lucie.
1. a) Reconnaître la loi de probabilité suivie par X et donner ses paramètres.
b) Donner l'ensemble des valeurs prises par X. c) Écrire une phrase traduisant l'événement (X=2), puis l'événement (X³1) d) Donner, sous la forme d'un coefficient binomial, le nombre d'issues de l'événement (X=2)2. a) Construire l'arbre pondéré représentant la situation.
b) Calculer la probabilité que Lucie ait deux pains au chocolat et un croissant. c) Calculer la probabilité que Lucie puisse manger au moins un croissant.1. a) Chaque choix d'une amie est une épreuve de Bernoulli de succès P: " choisir un pain au chocolat » de
probabilité p=1 2=0,5On a la répétition de 3 épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. C'est la loi de binomiale:
b(3; 0,5). b) Les valeurs prises par X sont {0; 1; 2; 3} c) (X=2): " Lucie a 2 pains au chocolat ». (X³1): " Lucie a au moins un pain au chocolat ». d) Le nombre d'issues de l'événement (X=2) est 322. a)
Loi binomiale.
b) PX=2=3 La probabilité que Lucie ait deux pains au chocolat et un croissant est 0,375. c) L'événement Lucie puisse manger au moins un croissant est l'événement (0£X<3) L'événement (0£X<3) est l'événement contraire de l'événement (X=3)PX=3=3
La probabilité que Lucie puisse manger au moins un croissant est 0,875.Exercice 4 Loi binomiale.
Suivant qu'un conducteur a ou non des accidents pendant une année, sa compagnie d'assurance augmente ou
diminue le montant de son assurance annuelle.Si un assuré n'a pas d'accident pendant une année, il obtient l'année suivante un bonus de 5%, c'est à dire que le
montant de son assurance baisse de 5%.S'il n'a pas d'accident pendant 2 ans de suite, le montant de son assurance baisse une nouvelle fois de 5% et
ainsi de suite jusqu'à une réduction maximum de 50%.En revanche, si l'assuré a un accident, le montant de son assurance augmente de 25% et ne peut baisser que s'il
reste deux ans sans avoir d'accident. Son malus retombe alors à 0%. On admet qu'un assuré a, au maximum, un seul accident par an.On suppose que la probabilité qu'un assuré ait un accident au cours d'une année est 0,26 quelle que soit l'année
et s'il a eu ou non un accident l'année précédente. On admet aussi que le montant de son assurance n'est modifié
que par les bonus et malus obtenus.Partie A
Soit X la variable aléatoire égale au nombre d'accidents au bout de trois années.1. a) Quelles sont les valeurs prises par X? Déterminer la loi de probabilité suivie par X.
b) Construire l'arbre pondéré correspondant à l'expérience.2. Calculer les probabilités:
PC CPCPP P CC P PC CLoi binomiale.
a) de ne pas avoir d'accident pendant ces 3 années. b) d'avoir exactement un accident pendant ces 3 années. c) d'avoir au moins un accident pendant ces 3 années.Donner les valeurs arrondies à 10-4 près.
Partie B
On suppose que l'assuré n'a aucun accident pendant n années. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur de
n pour que son bonus atteigne 50%.Partie C
Soit Y la variable aléatoire égale au pourcentage d'évolution de la prime d'assurance au bout de trois années. A
l'aide de l'arbre précédent, déterminer la loi de probabilité de Y. On arrondira les valeurs à 1% près.
Calculer son espérance. En donner son interprétation du point de vue de l'assureur.Partie A
1. a) Les valeurs prises par X sont {0;1;2;3}
On a la répétition de 3 épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. C'est la loi de binomiale:
b(3; 0,26). b) On note A l'événement : " avoir un accident » On note SA l'événement: " sans accident » c) xi0123PX=0=
300,260×0,743=0,4052
PX=1=
310,261×0,742=0,4271
ASAASAAA
A SASA A ASA SA SALoi binomiale.
PX=2=3
20,262×0,741=0,0500
PX=3=
330,263×0,740=0,0176
a) la probabilité de ne pas avoir d'accident pendant ces 3 années est P(X=0)=0,4052 b) la probabilité d'avoir exactement un accident pendant ces 3 années est P(X=1)=0,4271c) la probabilité d'avoir au moins un accident pendant ces 3 années est l'évènement contraire de l'évènement ne
pas avoir d'accident pendant ces 3 années donc cette probabilité est 1-0,4052=0,5948Partie B
A chaque année le montant de son assurance baisse une nouvelle fois de 5%. Le coefficient multiplicateur lié à une baisse de 5% est 1-5100=0,95
On veut que le bonus atteigne 50%.
En n années, le montant de l'assurance est multiplié par 0,95n.Le bonus aura atteint 50% quand:
0,95n0,5Pour n=13, 0,9513≈0,51Pour n=14, 0,9514≈0,48
En 14 ans sans accident, le bonus aura atteint 50%.Partie C
yi955625481913-14EY≈19%L'assureur peut espérer appliquer une augmentation d'environ 19% en 3 ans sur les contrats.
quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30[PDF] une station de ski a relevé le nombre de forfaits
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