[PDF] Exercices systèmes Donc le couple ( ). 0;2





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RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

En effet lorsque les variables et sont substituées par 1 et 2 Comme la substitution



The Concept of Primitivity in Group Theory and the Second Memoir

25-May-2006 Jordan's great Traité des Substitutions et d ... On appelle équations non-primitives les équations qui étant par exemple



1 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires en petite

1.1 Substitution et combinaison substitution vue juste avant dans (par exemple) la première équation de (B) on obtient aisément.



SYSTÈMES DÉQUATIONS ET DROITES

Méthode : Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution Partie 2 : Méthode des combinaisons linéaires.



FICHE PÉDAGOGIQUE DE PRÉPARATION DUNE LEÇON Classe

Titre du Chapitre : Équations et inéquations du 1er degré dans R × R de résoudre par combinaison linéaire ou par substitution un système d'équations du ...



Exercices systèmes

Donc le couple ( ). 0;2 n'est pas solution de l'équation. b) Si 1 x = et par substitution : ... Résolvons-le système ( )S par combinaison linéaire :.



Titre II

A. Analyse de l'effet de substitution et de l'effet de revenu Un panier de biens est une combinaison des quantités de biens X et Y distinguées par le.



EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS

Exemple : Retrouver par le calcul l'équation de la droite (AB) avec A ( – 1 ; 2 ) et B( 5 ; –3 ). On procède comme pour retrouver la fonction affine telle 



SYSTEMES DEQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution.





Résolution d'Équation par Substitution ou Combinaison

• résolution par voie graphique; • résolution algébrique par combinaison linéaire (ou par addition); • résolution algébrique par substitution Nous nous limiterons à résoudre des systèmes de deux équations du 1er degré à deux inconnues (que l'on appelle système linéaire) Finalement nous



SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1er DEGRÉ À DEUX INCONNUES RÉSOLUTION

Par substitution : 1ère ÉTAPE : ) Transformer le système pour que l'une des deux équations soit une équation à une inconnue Exprimer x en fonction de y dans l'équation d: 5 4 16 3 6 15 xy xy += += c d Ö 5 4 16 3 15 6 xy x y += =? Ö 5 4 16 5 2 xy x y += =? e Remplacer (ou substituer) x par l'expression e dans l'équation c:

  • Introduction

    La seconde méthode élémentaire de résolution des systèmes d'équations linéaires est la méthode par combinaisons. Elle consiste à manipuler les différentes lignes du système, en les ajoutant, les multipliant, les soustrayant, pour éliminer des termeset résoudre le système.

  • Exemple

    Résolution détaillée

Comment remplacer le y de la deuxième équation ?

On voit que la première équation peut s'écrire y = 8 - 2x, alors on peut écrire remplacer le y de la deuxième équation par 8 - 2x : 3 x + 4 (8 - 2x) = 12 CONCLUSION : le couple (4; 0) est solution du système. Attention l'ordre des nombres est très important, on écrit toujour ( x ; y ) et pas l'inverse. Vous avez aimé cet article ? Notez-le !

Comment remplacer X par -3y + 10 dans la seconde équation ?

2) On remplace x par -3y + 10 dans la seconde équation. On écrit le nouveau système obtenu : 2) Réécrire le système en remplaçant dans l‘autre équation l‘inconnue choisie, par l‘expression obtenue à l‘étape 1. On obtient ainsi un système dont l‘une des deux équations est une équation du premier degré à une inconnue.

Quels sont les différents types de méthode d’Elimination par combinaison ?

METHODE D‘ELIMINATION PAR COMBINAISON : 4 III. Vérification et conclusion du problème. Résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues : méthode par substitution et par combinaison linéaire (dite méthode par addition).Résolution de problème (traduction mathématique d’un énoncé). 0. Introduction :

Qu'est-ce que le système de deux équations à deux inconnues du premier degré ?

L’ensemble de ces deux équations (E1) et (E2) est appelé système, noté (S) de deux équations à deux inconnues du premier degré. Premier degré car l’exposant le plus élevé des inconnues est 1. 1) Dans cet exemple, le coefficient de x dans la première équation est 1.

Exercices systèmes ☺ Exercice p 111, n° 6 : On considère l"équation à deux inconnues suivantes :

2 3 5x y+ =.

Chacun des couples suivants est-il solution de cette équation ? Justifier la réponse. a) ()0;2 ; b) ()1;1 ; c) ()1;2- ; d) ()2; 1- ; e) 1 4;2 3 ( )( )( ) ; f) ()7; 3-.

Correction :

a) Si

0x= et 2y=, alors : 2 3 2 0 3 2 6 5x y+ = ´ + ´ = ¹.

Donc le couple

()0;2 n"est pas solution de l"équation. b) Si

1x= et 1y=, alors : 2 3 2 1 3 1 2 3 5x y+ = ´ + ´ = + =.

Donc le couple

()1;1 est solution de l"équation. c) Si

1x= - et 2y=, alors : ()2 3 2 1 3 2 2 6 4 5x y+ = ´ - + ´ = - + = ¹.

Donc le couple

()1;2- n"est pas solution de l"équation. d) Si

2x= et 1y= -, alors : ()2 3 2 2 3 1 4 3 1 5x y+ = ´ + ´ - = - = ¹.

Donc le couple

()2; 1- n"est pas solution de l"équation. e) Si 1

2x= et 4

3y=, alors : 1 42 3 2 3 1 4 52 3x y+ = ´ + ´ = + =.

Donc le couple

1 4;2 3

( )( )( ) est solution de l"équation. f) Si

7x= et 3y= -, alors : ()2 3 2 7 3 3 14 9 5x y+ = ´ + ´ - = - =.

Donc le couple

()7; 3- est solution de l"équation. ☺ Exercice p 111, n° 7 : On considère le système : l"équation à deux inconnues suivantes :

2 3 26

2 8 x y x y- = -? Chacun des couples suivants est-il solution de ce système ? a) ()13;0- ; b) ()4;7- ; c) 7; 72 d) ()6; 4- ; e) ()4;6- ; f) 5;72

Correction :

a) Si

13x= - et 0y=, alors : 2 13 2 0 13 8x y+ = - + ´ = - ¹.

Le couple

()13;0- n"est pas solution de la deuxième équation : il n"est donc pas solution du système. b) Si

4x= - et 7y=, alors : 2 4 2 7 4 14 10 8x y+ = - + ´ = - + = ¹.

Le couple

()4;7- n"est pas solution de la deuxième équation : il n"est donc pas solution du système. c) Si 7

2x= - et 7y= -, alors : ( )72 3 2 3 7 7 21 14 262x y( )- = ´ - - ´ - = - + = ¹ -( )( ).

Le couple

7; 72

( )- -( )( ) n"est pas solution de la première équation : il n"est donc pas solution du système.

d) Si

6x= et 4y= -, alors : ()2 6 2 4 6 8 2 8x y+ = + ´ - = - = - ¹.

Le couple

()6; 4- n"est pas solution de la deuxième équation : il n"est donc pas solution du système. e) Si

4x= - et 6y=, alors : ()2 3 2 4 3 6 8 18 26x y- = ´ - - ´ = - - = -

et

2 4 2 6 4 12 8x y+ = - + ´ = - + =

Le couple

()4;6- est solution des deux équations : c"est donc une solution du système. f) Si 5

2x= - et 7y=, alors : 5 5 28 232 2 7 11,5 82 2 2 2x y+ = - + ´ = - + = = ¹.

Le couple

5;72

( )-( )( ) n"est pas solution de la deuxième équation : il n"est donc pas solution du système.

☺ Exercice p 113, n° 25 :

Résoudre le système

5 12 4 3 2 x y x y+ =? par substitution.

Correction :

Résolvons le système

5 12 4 3 2 x y x y+ =? par substitution : 5 12 4 3 2 x y x y+ =? 12 5 4 3 2 x y x y= - 12 5

4 12 5 3 2

x y y y= - 12 5

48 23 2

x y y= - 12 5 23 46
x y y= -

12 5 2

2x y ?=? 2 2. x y=? Le système admet un unique couple solution : c"est ()2;2. ☺ Exercice p 113, n° 27 :

Résoudre le système

5 12

4 3 17

x y x y+ = ?- = -? par substitution.

Correction :

Résolvons le système

5 12

4 3 17

x y x y+ = ?- = -? par substitution : 5 12

4 3 17

x y x y+ = ?- = -? 12 54 3 17 y x x y= - 12 5

4 3 12 5 17

y x x x= - ? 12 519 36 17 y x x= - 12 5 19 19 y x x

12 5 1

1y x ?=? 1 7. x y=? Le système admet un unique couple solution : c"est ()1;7. ☺ Exercice p 113, n° 28 :

Résoudre le système

2 5 8 3 8 x y x y- = -? ?+ =? par substitution.

Correction :

Résolvons le système

2 5 8 3 8 x y x y- = -? ?+ =? par substitution : 2 5 8 3 8 x y x y- = -? 2 5 8 3 8 y x x y= +? 2 5

8 3 2 5 8

y x x x= + 2 5

14 15 8

y x x= +? 2 5 14 7 y x x 12 52 1 2y x? 1 2 4. x y?= -? Le système admet un unique couple solution : c"est 1;42 ☺ Exercice p 116, n° 58 : (Amiens 2003) Dans un restaurant, un couple commande 1 pizza et 2 jus de fruit et paye 11 euros. A la table voisine, des amis commandent 5 pizzas et 9 jus de fruit et payent 53 euros.

Toutes les pizzas sont au même prix.

Tous les jus de fruit sont au même prix.

On appelle x le prix en euros d"une pizza et y le prix en euros d"un jus de fruit.

1) Ecrire un système d"équations traduisant les données.

2) Calculer le prix d"une pizza et celui d"un jus de fruit.

Correction :

1) x désignant le prix en euros d"une pizza et y le prix en euros d"un jus de fruit, les données du problème se

traduisent par le système d"équations ()S : 2 11

5 9 53.

x y x y+ =?

2) Résolvons le système

()S par substitution : 2 11

5 9 53

x y x y+ =? 11 2

5 9 53

x y x y= - 11 2

5 11 2 9 53

x y y y= -? 11 2 55 53
x y y= -

11 2 2

2x y 7 2. x y=? Le système admet un unique couple solution : c"est ()7;2.

Conclusion :

Une pizza coûte 7 € et un jus de fruit 2 €.

Résolvons-le système

()S par combinaison linéaire : 1 2 2 11

5 9 53x y

x yL L ?+ =? 1 1 2 2 11

10 9 55 5

53
Lx y y y L L ?- =--? 2 2 11 2x y 7 2. x y=? ☺ Exercice p 115, n° 45 : Don Juan veut offrir un bouquet de fleurs. Le fleuriste lui propose : un bouquet composé de 5 jonquilles et 7 roses, pour un prix total de 24 € ; un bouquet composé de 8 jonquilles et 6 roses, pour un prix total de 25,40 €. Calculer le prix d"une jonquille et celui d"une rose.

Correction :

Soit j le prix (en euros) d"une jonquille et r celui d"une rose. Résoudre le problème revient à résoudre le système ()S : 5 7 24

8 6 25,4.

j r j r+ =?

Résolvons-le système

()S par combinaison linéaire : 1 2

5 7 24

8 6 25,4j r

jL rL ?+ =? 1 1 2

5 7 24

56 30 192

8 5127

Lj r r r L L ?- =--? 5 7 24

26 65j r

r

5 7 2,5 24

2,5j r

5 17,5 24

2,5j r 5 6,5 2,5 j r=? 1,3 2,5. j r=? Le système admet un unique couple solution : c"est ()1,3;2,5. ou

Conclusion :

Une jonquille coûte 1,30 € et une rose, 2,50 €. ☺ D"après l"activité 4 p 107 : Un fermier compte le nombre de pattes de ses canards et de ses lapins. Il compte 90 pattes.

Ce fermier compte aussi le nombre de têtes de ses canards et de ses lapins. Il compte 36 têtes.

Combien le fermier possède-t-il de canards et de lapins ?

Correction :

Soit c le nombre de canards et l le nombre de lapins. Résoudre le problème revient à résoudre le système ()S : 36

2 4 90.

c l c l+ =?

Résolvons-le système

()S par substitution : 36

2 4 90

c l c l+ =?

362 4 90

c l c l= - 36

2 36 4 90

c l l l= -?

3672 2 90

c l l= - 36
2 18 c l l 36 9
9c l 27
9. c l=? Le système admet un unique couple solution : c"est ()27;9.

Conclusion :

Le fermier possède donc 27 canards

et 9 lapins.

Deuxième méthode de résolution du système (substitution en exprimant l en fonction de c) :

36

2 4 90

c l c l+ =?

362 4 90

l c c l= - 36

2 4 36 90

l c c c= -?

36144 2 90

l c c= -? 36
2 54 l c c 36 27
27l
c 27
9. c l=? Troisième méthode (combinaison linéaire pour éliminer c) : 1 2 36

2 4 90c l

c Ll L+ =? ?+ =? 1 2 1 36

4 2 90 72

2 L Ll L c l l ?- = -? 36 2 18 c l l+ =? 9 36 9c l 27
9. c l=? Quatrième méthode (combinaison linéaire pour éliminer l) : 1 2 36

2 4 90c l

c Ll L+ =? ?+ =? 1 1 2 36

4 2 144 9

40c l
c L

L Lc+ =

?- =? 36 2 54 c l c+ =? 27 36
27l
c 27
9. c l=?

Cinquième méthode (simplification d"une équation, puis combinaison linéaire pour éliminer c) :

36

2 4 90

c l c l+ =? 1 2 36

2 45c lc lL

L ?+ =? 1 2 1 36
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