[PDF] Limite et Continuité — 4 déc. 2017 Proposition

View - Download Limite et Continuité —

Previous PDF

Next PDF

Limite et Continuit´e

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

4 d´ecembre 2017

Dans ce chapitre, les fonctions sont `a valeurs dansRet seront d´efinies sur un intervalleIdeR.

Apr`es avoir introduit quelques concepts et propri´et´es de base, nous nous int´eresserons au comportement des fonctions

r´eelles de la variable r´eelle en des "points" particuliers de leur ensemble de d´efinition (point de vue LOCAL). Nous

introduirons en particulier les notions delimiteet decontinuit´een un point. La fonction qui a toutx?Iassocie 0, sera not´ee 0.

1 Quelques notions de topologie

D´efinition 1 :Voisinage d"un point deR

1. On dit queV?Rest unvoisinagedea?Rs"il existe un r´eelα >0 tel que ]a-α, a+α[?V.

On noteVal"ensemble des voisinages dea.

2. On dit queV?Rest unvoisinagede +∞s"il existe un r´eelA >0 tel que [A,+∞[?V.

3. On dit queV?Rest unvoisinagede-∞s"il existe un r´eelB <0 tel que ]- ∞, B]?V.

Dessin

Voisinage d"un point1

Cours MPSI-2017/2018 Limite et Continuit´e http://pascal.delahaye1.free.fr/

Remarque1.Pour simplifier, on prendra :

•]a-α, a+α[ avecα >0 pour un voisinage dea?R

•[A,+∞[ pour un voisinage de +∞

•]- ∞, B] pour un voisinage de-∞

D´efinition 2 :Adh´erence et Int´erieur d"une partie

SoitA?R. On dira que :

1. Un ´el´ementaappartient `al"adh´erencedeAlorsque tout voisinage dearencontreA.

On note¯Al"ensemble des points adh´erents `aA. SiAest un intervalle, alors¯Aest l"intervalle avec les bornes comprises.

2. Un ´el´ementaappartient `al"int´erieurd"une partieAlorsqu"il existe un voisinage deainclus dansA.

On note

◦Al"ensemble des points int´erieurs `aA. SiAest un intervalle, alors◦Aest l"intervalle sans ses bornes. Exemple 1.SiIest un intervalle de bornesaetbalors :¯I= [a, b] et◦I=]a, b[.

Exercice : 1

D´eterminer l"adh´erence et l"int´erieur des ensembles suivants :

1.N2.Q3.{1}4. [0,1[?]3,5[

D´efinition 3 :Propri´et´e d"une fonctionfau voisinage d"un pointx0 Soitfune fonction d´efinie sur un intervalleI?Retx0?¯I.

On dira que la fonctionfv´erifie une propri´et´ePau voisinage dex0lorsqu"il existe un voisinageVde

x

0tel que la propri´et´ePsoit vraie surV∩I.

2 Limite d"une fonction

2.1 D´efinitions

D´efinition 4 :Limite d"une fonction en un pointa

Soit une fonctionf? F(I,R),a?

I, etl?R.

On dira quefadmetlpourlimiteau pointa

ssi

Pour tout voisinageVldel, il existe un voisinageVadeatel que, pour tout ´el´ementx?Va∩Ion af(x)?Vl.

On note alors :l= limx→af(x) ou plus rapidement :f(x)---→x→al. Remarque2.Traduction selon queaetlsoient des r´eels ou pas : 2 Cours MPSI-2017/2018 Limite et Continuit´e http://pascal.delahaye1.free.fr/ Limite d"une fonction ena?RLimite d"une fonction en +∞ Remarque3.Cas o`uaappartient `a l"ensemble de d´efinition def. Sifadmet une limite enaalors cette limite ne peut-ˆetre quef(a).

D´emontrer cette affirmation par l"absurde en supposant que la limitelest diff´erente def(a) et en prenant? <|l-f(a)|

Exemple 2.(??) Soitfune fonction born´ee surR. Prouver que : f(x)-----→x→+∞0??sup [A,+∞[|f(x)| -----→A→+∞0

Proposition 1 :

- Lorsquel?R, on a l"´equivalence suivante :f(x)---→x→al??limx→af(x)-l---→x→a0

- Lorsquea?R, on a l"´equivalence suivante :f(x)---→x→al??f(a+h)---→h→0l Preuve 1 :Ces deux ´equivalences proviennent directement de la d´efinition des limites. D´efinition 5 :Limite `a gauche, limite `a droite

Soitf:I?→Retaun r´eel tel quea?

I. Soitl?R.

On dira que :

fadmet une limite `a gauchelena??la restriction def`aI∩]- ∞;a[ admet une limite ena. On ´ecrira :f(x)----→x→a-lou limx→a-f(x) =l

On d´efinit de mˆeme la limite `a droite

Remarque4.Vous constaterez que les intervalles sont ici ouverts ena!

Limites `a droite et `a gauche ena.

Exemple 3.(?) Limites `a droite et `a gauche de la fonctionfd´efinie parf(x) = 2x- ?x?en tout pointn?Z?

3 Cours MPSI-2017/2018 Limite et Continuit´e http://pascal.delahaye1.free.fr/

2.2 Propri´et´es d"une fonction admettant une limite

Th´eor`eme 2 :Existence et Unicit´e de la limite

Soit une fonctionf:I?→Ret un pointa?

I.

1.fn"admet pas forc´ement de limite au pointa

2. Si cette limite existe, elle est alors unique.

Preuve 2 :

1. Existence : prenons par exemple la fonction "Partie Enti`ere" eta= 1.

2. Unicit´e : On peut par exemple, d´emontrer le cas o`ua?Ietl?R. Les autres cas se d´emontrant de fa¸con

´equivalente. On proc`ede alors par l"absurde en consid´erant qu"ilexiste deux limitesl1etl2. Dans ce cas,

en prenantε <|l1-l2|on aboutit facilement `a une contradiction.

Exemples de fonctions qui n"ont pas de limite

Th´eor`eme 3 :Une fonction admettant une limite finie est localement born´ee Toute fonction admettant une limite finie en un point de

Rest born´ee sur un voisinage de ce point.

Preuve 3 :C"est une cons´equence imm´ediate de la d´efinition de la limite!!

Remarque5.

Contrairement au cas des suites, une fonction localement born´een"est pas n´e´ecessairement globale-

ment born´ee. Th´eor`eme 4 :La connaissance d"une limite fournit localement une in´egalit´e

Soit une fonctionf:I?→R, et un pointa?

I.

Soient deux r´eels (k, k?)?R2etl?

R. Si ?f(x)---→x→al k < l < k Preuve 4 :Il suffit de consid´ererε= min(l-k, k?-l) dans la d´efinition de la limite!

Remarque6.Toute fonction admettant une limite strictement positive en un pointest donc strictement positive au

voisinage de ce point.

Exercice : 2

(?) Soientletl?, deux r´eels tels quel < l?eta?R.

Montrer que sif(x)---→x→aletg(x)---→x→al?, alors il existe un voisinage deasur lequel :f(x)< g(x)

Th´eor`eme 5 :Passage `a la limite dans les in´egalit´es

Soient deux fonctionsf, g:I?→R, un pointa?

I, et deux r´eelsletl?.

Si

Preuve 5 :On peut proc´eder par l"absurde en utilisant le th´eor`eme pr´ec´edent ou utiliser la caract´erisation

s´equentielle de la limite. 4 Cours MPSI-2017/2018 Limite et Continuit´e http://pascal.delahaye1.free.fr/

.Le passage `a la limite conserve les in´egalit´es larges, mais pas les in´egalit´es stictes.

Ainsi, mˆeme sif(x)< g(x) au voisinage de a, il est faux d"´ecrire quel < l?. Pour vous en convaincre, consid´erez :f(x) = 1-1 xetg(x) = 1 +1xau voisinage dea= +∞.

Exemple 4.(?) Montrer qu"une fonction strictement croissante surRdont la limite en 0 est nulle, est strictement

n´egative.

2.3 Les th´eor`emes de calcul et d"existence d"une limite

Vous allez constater que la plupart des th´eor`emes suivants correspondent `a un th´eor`eme analogue sur les suites.

Th´eor`eme 6 :Th´eor`eme de majoration

Soit une fonctionf:I?→R, un pointa?

Iet un r´eell?R.

Soitθune fonction d´efinie sur un voisinageVdea. Si

Ce th´eor`eme ne peut ˆetre utiliser que lorsqu"on sait a priori quelleest la limite cherch´ee.

Preuve 6 :Imm´ediat avec la d´efinition.

Exercice : 3

D´eterminer les limites des fonctions suivantes :

1.f(x) =x.sin1

xen 0 2.f(x) =x.cos(ex)x2+1en +∞

3.f(x) =?x2?

xen 0 4.f(x) =x+arctanxxen +∞ Th´eor`eme Fondamental 7 :Caract´erisation s´equentielle de la limite

Soitl?

R.

Soit une fonctionf:I?→Ret un pointa?

I. lim x→af(x) =l??Pourtoutesuite (xn) de points deIqui tend versa, la suite?f(xn)?tend versl. ? ? ????a l un f(un)

Figure1 - Image d"une suite par une fonction

Preuve 7 :

?On consid`ere une suite (xn) de points deIconvergeant versa. On consid`ereε >0 et on montre facilement

?Par contrapos´ee : on montre que si limx→af(x)?=lalors on peut construire une suite (xn) convergeant vers

atelle quef(xn) ne converge pas versl. 5 Cours MPSI-2017/2018 Limite et Continuit´e http://pascal.delahaye1.free.fr/

Applications :

1. Pour montrer qu"une fonctionfn"admet pas de limite en un pointa?

R, on pourra :

- Soit prendre une suite (xn) tendant versatelle que (f(xn)) n"admet pas de limite

- Soit prendre (xn) et (yn) tendant versamais telles que (f(xn)) et (f(yn)) aient des limites diff´erentes

2. Dans les th´eor`emes suivants pour montrer qu"une fonctionfadmet une limitelena, on pourra montrer

que pour toute suite (xn)→a, on af(xn)→l. Exemple 5.(?)Pour prouver qu"une fonction n"admet pas de limite

1. Montrer que la fonction "Partie Enti`ere" n"admet pas de limite entoutn?N

2. Montrer que la fonctionx?→sin(1

x) n"admet pas de limite en 0

3. Montrer que la fonction indicatrice deQn"admet pas de limite en tout point deR.

Exemple 6.(?) Application `a l"´etude de la limite d"une suite. Si (un) converge vers 2, que dire alors de la suite (vn) d´efinie parvn=eun?

Exercice : 4

(?) Soit une fonctionf:R?→Rp´eriodique. Montrez que si limx→+∞f(x) existe, alors la fonctionfest constante. Proposition 8 :Th´eor`emes g´en´eraux sur les limites finies On suppose que les fonctionsfetgont une limitel?Retl??Rena? R.

1. la fonction|f|a une limite enaet :|f(x)| ---→x→a|l|.

2. la fonction (f+g) a une limite enaet : (f+g)(x)---→x→al+l?.

3. la fonction (fg) a une limite enaet : (fg)(x)---→x→all?

4. la fonction 1/fa une limite enaet : (1/f)(x)---→x→a1/l(lorsquel?= 0)

5. la fonction (f/g) a une limite enaet : (f/g)(x)---→x→al/l?(lorsquel??= 0)

Preuve 8 :On pourrait d´emontrer ces propositions `a l"aide de la d´efinition de lanotion de limite avec lesε.

Cependant, ce r´esultats sont quasi-imm´ediat en utilisant la caract´erisation s´equentielle de la limite et les

th´eor`emes g´en´eraux sur les limites de suites. Th´eor`eme 9 :Cas de la limite d"une compos´ee Soient deux intervallesI?RetJ?Ret deux fonctionsf:I?→J,g:J?→R.

Soient un pointa?

I, un pointb?Jetl?R.

On suppose que :???f(x)---→x→ab

g(y)---→y→bl, alors g◦f(x)---→x→al Preuve 9 :Pas de difficult´e en utilisant la caract´erisation s´equentielle de la limite.

Remarque7.Ce th´eor`eme justifie la possibilit´e d"effectuer un changement de variable lors du calcul d"une limite.

Exercice : 5

(?) D´eterminer les limites de :

1.f(x) =xxen 0+2.f(x) = (1 +x)1

xen 0 3.f(x) =⎷1+x-⎷1-x xen 0

4.f(x) =1-x

arccosxen 1 5.f(x) = lnx.ln(lnx) en 1+. 6.f(x) =x-⎷ x lnx+xen +∞ 6 Cours MPSI-2017/2018 Limite et Continuit´e http://pascal.delahaye1.free.fr/ Th´eor`eme 10 :Th´eor`eme de la limite monotone

Soient (a, b)?

R2. Sif: ]a, b[?→Rest une fonctioncroissante, alors : 1. ?Soitfest major´ee, et alorsfadmet une limite finiellorsquex→b(et limx→bf(x) = sup ]a, b[f) Soitfn"est pas major´ee, et alorsf(x)→+∞lorsquex→b.

2.???Soitfest minor´ee et alorsfadmet une limite finie lorsquex→a(et limx→af(x) = inf]a, b[f)

Soitfn"est pas minor´ee et alorsf(x)→ -∞lorsquex→a On a des r´esultats similaires dans le cas o`ufest d´ecroissante.

Preuve 10 :L"existence de la borne sup ne pose pas de difficult´e. On prouve alorsle r´esultat `a l"aide de la

d´efinition de la limite et en utilisant la caract´erisation de la borne sup parε.

Th´eor`eme de la limite monotone

Exemple 7.D´eterminer la limite en +∞et 0+de la fonction logarithme.

Th´eor`eme 11 :Th´eor`eme des gendarmes

Soientα, fetβtrois fonctions d´efinies sur un voisinageVd"un pointa?R, etl?R. Si

α(x)---→x→al

β(x)---→x→alalors

f(x)---→x→al

Preuve 11 :La traduction des hypoth`eses donne imm´ediatement le r´esultat, mais on peut aussi utiliser la

caract´erisation s´equentielle de la limite. .Contre-exemple

Lorsque les fonctionsαetβtendent vers deux limites diff´erentes la fonctionfn"admet pas forc´ement de limite.

Figure2 - Contre-exemple

7 Cours MPSI-2017/2018 Limite et Continuit´e http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 8.D´eterminer si elles existent, les limites en 0+, en 0-et en +∞def(x) =x.?1/x?.

Exercice : 6

(??) Etudier la limite en 0+puis d´eterminer un ´equivalent en 0+de la fonctionfd´efinie parf(x) =?

x2 xe ttdt.

AttentionNe pas confondre :

"th´eor`eme des gendarmes" et "passage `a la limite dans lesin´egalit´es" Le th´eor`eme des gendarmes donne l"existence de la limite de f, alors que pour passer `a la limite dans les in´egalit´es, il faut savoir quef admet une limite. Remarque8.Le th´eor`eme des gendarmes se g´en´eralise aux limites infinies. Ainsi :

1. Si sur un voisinage dea?

2. Si sur un voisinage dea?

Exemple 9.(?)

1. Soitgborn´ee au voisinage dea?

Retftelle que limx→af(x) = 0. Prouvez quef(x).g(x)---→x→a0.

2. Soitgmajor´ee au voisinage dea?

Retftelle que limx→af(x) =-∞. Prouvez quef(x) +g(x)---→x→a-∞.

3. Soitgminor´ee au voisinage dea?

Retftelle que limx→af(x) = +∞. Prouvez quef(x) +g(x)---→x→a+∞.

3 Continuit´e en un point (Propri´et´es Locales)

3.1 D´efinitions et th´eor`emes

D´efinition 6 :Continuit´e en un point

Soit une fonctionf? F(I,R) et un pointa?I. (fest donc d´efinie ena) On dira que la fonctionfestcontinueau pointassi f admet une limite ena.

On a donc :

festcontinueau pointa??limx→af(x) =f(a) Remarque9.Avec des quantificateurs cette d´efinition se traduit par :

Remarque10.

1. Une fonction qui n"est pas d´efinie en un pointane peut pas ˆetre continue en ce point.

2. Les notions de limite et de continuit´e en un point ne tiennent compte que du comportement de la fonction au

voisinage du point consid´er´e. On dit qu"il s"agit denotions locales.

Pour les ´etudier, on pourra donc se placer au voisinage du pointaen oubliant ce qui se passe ailleurs.

Exemple 10.D´emontrez que la fonctionf(x) = sinxest continue en tout pointa?R. D´efinition 7 :Continuit´e `a droite et `a gauche ena

Soitfd´efinie surIeta?I.

On dira que :fest continue `a droite enassi limx→a+f(x) =f(a) et que :fest continue `a gauche enassi limx→a-f(x) =f(a) 8 Cours MPSI-2017/2018 Limite et Continuit´e http://pascal.delahaye1.free.fr/

Continuit´e `a droite et `a gauche

Proposition 12 :Caract´erisation de la continuit´e

Soit une fonctionf? F(I,R) et un pointa?I.

On a :

fcontinue en a???continue `a droite en acontinue `a gauche en a Exemple 11.Etudier la continuit´e defd´efinie parf(x) = 2x- ?x?en tout pointn?Z.

Exercice : 7

D´eterminer les r´eelsaetbpour que la fonctionfd´efinie par???sinx+a xsix >0

1 six= 0

tan(x+b) six <0soit continue en 0. Proposition 13 :Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e Soitfest une fonction r´eelles d´efinie au voisinage dea.

On a :

fcontinue ena??Pourtoutesuite (xn) de points deIconvergeant versa,?f(xn)?converge versf(a). Exemple 12.Application au transfert de propri´et´es valables sur les rationnels D´eterminer les fonctions continues surRnulles en tout point rationnel.

Exercice : 8

Soitf:R?→Rcontinue en 0 telle que?x?R,f(2x) =f(x).quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] caractérisation séquentielle de la limite exemple

[PDF] théorème de comparaison des limites

[PDF] angle entre deux vecteurs

[PDF] formule des sinus produit scalaire

[PDF] demonstration thales 3eme

[PDF] démonstration théorème de thalès vecteurs

[PDF] théorème de thalès calculer l'aire

[PDF] démonstration théorème de pythagore

[PDF] unicité de la limite d'une suite

[PDF] caractérisation séquentielle de la limite

[PDF] demonstration de l'unicité de la limite d'une fonction

[PDF] théorème de la limite monotone

[PDF] montrer que f est minorée et atteint sa borne inférieure

[PDF] démonstration variance probabilité

[PDF] relation de chasles parallélogramme