Les vecteurs
La propriété géométrique ABCD est un parallélogramme et l'égalité On peut interpréter la relation de Chasles de la façon suivante : le vecteur.
MN = MA + AN ) (On pourra utiliser la relation de Chasles pour dé
? Montrer que les points D P et Q sont alignés. EXERCICE 4D.2. ABCD est un parallélogramme. Soit I tel que. -?. AI
Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si
6 nov. 2017 OB est le vecteur # ». OM tel que OAMB est un parallélogramme. CONSTRUCTION DE LA SOMME DE DEUX VECTEURS. Relation de Chasles.
Calcul vectoriel – Produit scalaire
Relation de Chasles : AB + BC = AC. Règle du parallélogramme : AB + AC = AD avec D tel que ABDC soit un paral- lélogramme (éventuellement aplati).
TRANSLATION ET VECTEURS
Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme éventuellement aplati. Michel Chasles (Fr 1793-1880) : La relation n'est pas de lui
LES VECTEURS
Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme éventuellement aplati. Méthode : Appliquer la relation de Chasles (non exigible).
Partie 1 : Notion de vecteur
Propriété du parallélogramme : parallélogramme éventuellement aplati. ... L'égalité précédente porte le nom de relation de Chasles.
FICHE DE RÉVISION DU BAC
translation de vecteur . Parallélogramme : ABDC est un parallélogramme si et seulement si. E. Relation de Chasles. Si M
Vecteurs 1 Définition
Propriété 1 Si ERT Y est un parallélogramme alors LM alors le quadrilatère C V ML est un parallélogramme. ... Propriété 3 (Relation de Chasles).
2nde : correction du TD sur les vecteurs (relation de Chasles et
Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : On en déduit que A'CKB' est un parallélogramme. 5. On a par exemple :.
[PDF] A laide de la relation de Chasles écrire sous forme dun - BDRP
2 août 2020 · VECTEURS EXERCICES 3B EXERCICE 3B 1 A l'aide de la relation de Chasles écrire sous forme d'un seul vecteur si c'est possible :
[PDF] liées à la relation de chasles
F Hypothèses ABCD est un parallélogramme; CE = 1/3CD ; AF = 3/2AÈ Conclusion (à démontrer ) : B C F sont alignés Dans une deuxième partie nous
[PDF] TRANSLATION ET VECTEURS - maths et tiques
http://www maths-et-tiques fr/telech/trans_gr1 pdf Michel Chasles (Fr 1793-1880) : La relation n'est pas de lui mais nommée ainsi en
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Relation de Chasles I) Somme de vecteurs La somme ?? + ?? est le vecteur tel que ABEC soit un parallélogramme
[PDF] Somme de deux vecteurs – Relation de Chasles - Lycée dAdultes
2 juil 2018 · La relation de Chasles est un outil fondamental pour montrer que des vecteurs sont colinéaires par exemple Égalité de deux vecteurs – Milieu d'
[PDF] EXERCICES : VECTEURS - Math2Cool
Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : Soient ABCD est un parallélogramme et les points F I et E définis par :
[PDF] correction du TD sur les vecteurs (relation de Chasles et somme)
Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : On en déduit que A'CKB' est un parallélogramme 5 On a par exemple :
[PDF] Exercices sur la somme de vecteurs et la relation de Chasles
Puisque ??? AD = ?? CB ADBC est un parallélogramme 2 ??? BM = ?? BC + ?? AC =
[PDF] Produit scalaire et relations métriques
Relation de Chasles et décomposition d'un vecteur Exercice X 1 1 1 Soit ABCD un parallélogramme on note I le milieu du côté [CD] J celui du
[PDF] Vecteurs-Partie algébrique
2 La translation qui transforme E en F transforme G en H a) EFGH est un parallélogramme; b) [EG] et [FH] ont même milieu; c) la relation de CHASLES
![Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si](https://pdfprof.com/Listes/17/57071-172017-2018_seconde_vecteur.pdf.pdf.jpg)
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VECTEURS DU PLAN2nde10
INOTION DE VECTEUR
1PARALLÉLOGRAMME
DÉFINITION
Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu
A B CD OAB C D O parallélogramme aplatiPROPRIÉTÉS
Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si (AB)//(DC) et (AD)//(BC). Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.REMARQUE
Dire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour
conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme. A B DC Dans le quadrilatèreABCDnous avons (AB)//(CD) etAB=CD, pourtantABCDn"est pas un parallélogramme.2SENS ET DIRECTION
AB Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu"elles ont même direction. Une direction étant indiquée par la donnée d"une droite (AB), il y a deux sens de parcours dans cette direction : soit deAversB, soit deBversA.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
3TRANSLATION
A M N PQ F1 B R S TU F2Le glissement qui permet d"obtenir la figureF2à partir de la figureF1peut être décrit de façon précise par
trois caractères : ladirectiondu glissement est donnée par la droite(AB); lesensdu glissement est celui deAversB;
ladistancedu glissement est égale à la longueur du segment[AB]. On dit que la figureF2est l"image de la figureF1par la translation de vecteur# »AB.REMARQUE
Les vecteur
# »NSet# »PTsont aussi des vecteurs de la translation de vecteur# »AB, on dit qu"ils sont égaux. On
note alors :# »AB=# »NS=# »PTDÉFINITION
SoientAetBdeux points du plan.
[AD] et [BC] aient le même milieu. Cette translation est la translation de vecteur# »AB.Cas général
A CD B O ABDCest un parallélogrammeCas particuler oùA,BetCsont alignésAB CD OABDCest un parallélogramme aplati
IIVECTEURS
On le note# »AB.
1ÉGALITÉ DE DEUX VECTEURS
Deux vecteurs sont égaux s"ils sont associés à la même translation.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
DÉFINITION
AB CD A,B,CetDsont quatre points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes :# »AB=# »CDsi, et seulement si,Dest l"image du pointCpar la translation de vecteur# »AB.
# »AB=# »CDsi, et seulement si, les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. # »AB=# »CDsi, et seulement si,ABDCest un parallélogramme.EXEMPLE:LES TROIS PARALLÉLOGRAMMES
ABCDetABEFsont deux parallélogrammes. Montrons queDCEFest un parallélogramme. A B C D EF ABCDest un parallélogramme alors,# »AB=# »DC. ABEFest un parallélogramme alors,# »AB=# »FE.Par conséquent,
# »DC=# »FEdonc le quadrilatèreDCEFest un parallélogramme.2REPRÉSENTATION D"UN VECTEUR
Devant des égalités du type# »AB=# »DC=# »FE= ···, on dit que les vecteurs# »AB,# »DC,# »FE, ... sont des
représentants du vecteur#»u:#»u=# »AB=# »DC=# »FE=···Le vecteur
# »AA=# »BB=···est appelé le vecteur nul, noté#»0.Soit O un point du plan. Pour tout vecteur#»u, il existe un un pointMunique tel que#»u=# »OM.
#»u # »OM OMA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
Si#»un"est pas le vecteur nul, les pointsOetMsont distincts. Le vecteur#»uest caractérisé par :
Sa direction : c"est celle de la droite
(OM). Son sens : c"est le sens deOversM.
Sa norme notée??#»u??: c"est la distanceOM.IIIADDITION VECTORIELLE
1SOMME DE DEUX VECTEURS
Soit trois pointsA,BetC.
Si on applique la translation de vecteur# »ABsuivie de la translation de vecteur# »BC, on obtient la translation
de vecteur# »AC. Le vecteur# »ACest la somme des vecteurs# »ABet# »BC # »AC=# »AB+# »BC AB CRELATION DECHASLES
Quels que soient les pointsA,BetCon a :
AB+# »BC=# »AC
RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME
La somme# »OA+# »OBest le vecteur# »OMtel queOAMBest un parallélogramme.CONSTRUCTION DE LA SOMME DE DEUX VECTEURS
Relation de Chasles
#»u #»v#»u+#»v ABCRègle du parallélogramme
#»u #»v#»u+#»v OAB MPROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Quels que soient les vecteurs#»u,#»vet#»w#»u+#»v=#»v+#»u;#»u+#»0=#»0+#»u=#»u;?#»u+#»v?+#»w=#»u+?#»u+#»w?
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VECTEURS DU PLAN2nde10
2DIFFÉRENCE DE DEUX VECTEURS
OPPOSÉ D"UN VECTEUR
L"opposé d"un vecteur#»uest le vecteur noté?-#»u?tel que#»u+?-#»u?=#»0. #»u -#»uCONSÉQUENCE
L"opposé du vecteur# »ABest le vecteur# »BA:-# »AB=# »BA ?PREUVED"après la relation de Chasles :
# »AB+# »BA=# »AA=#»0DÉFINITION
Étant donné deux vecteurs#»uet#»vla différence#»u-#»vest le vecteur#»u+?-#»v?.
#»u #»v -#»v #»u-#»v #»u-#»v ACB MN Quels que soient les pointsA,BetC,# »BC=# »AC-# »ABIVMULTIPLICATION D"UN VECTEUR PAR UN RÉEL
1PRODUIT D"UN VECTEUR PAR UN RÉELk
#»u -23 #»u 5 4 #»uA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
DÉFINITION
Soit#»uun vecteur non nul (#»u?=#»0) etkun réel non nul (k?=0). Le produit du vecteur#»upar le réelk, noték#»uest le vecteur caractérisé par : sa direction :k#»ua la même direction que le vecteur#»u;Cas oùk>0Cas oùk<0
# »OM=k #»u # »OA= #»u OA M # »OM=k #»u # »OA=#»u OA M son sens : le vecteurk#»uale même sens que le vecteur#»u; sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale
au produit de la norme du vecteur#»upar le réelk??k#»u??=k×??#»u?? son sens : le vecteurk#»uest de sens opposé au sens du vecteur#»u; sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale
au produit de la norme du vecteur#»upar l"opposé du réelk k#»u??=-k×??#»u??Ce qui s"écrit de façon générale
?k#»u??=|k|×??#»u??et se lit :"la norme du vecteurk#»uest égale au produit de la norme du vecteur#»upar la valeur absolue du réelk»
Lorsque#»u=#»0 ouk=0, on convient quek#»u=#»0 : ainsi, l"égaliték#»u=#»0 ne peut se produire que
lorsque#»u=#»0 ouk=0.REMARQUE
SoitAetBdeux points distincts, etkun réel donné. Il existe un unique pointMdéfini par la relation# »AM=k# »AB:
Mest un point de la droite (AB)
Ma pour abscissekdans le repère (A;B) d"origineAM?[Ax)
k?0M?[AB]0?k?1M?[By)
k?1 xA By2PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Pour tous vecteurs#»uet#»vet pour tous réelsketk?: k?#»u+#»v?=k#»u+k#»v; (k+k?)#»u=k#»u+k?#»u;k#»u=#»0??k=0 ou#»u=#»03VECTEURS COLINÉAIRES
DÉFINITION
Deux vecteurs#»uet#»vsont dits colinéaires s"il existe un réelktel que#»u=k#»vou#»v=k#»u
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VECTEURS DU PLAN2nde10
REMARQUES
Comme
#»0=0#»u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.4APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
AVEC LES MILIEUX
MILIEU D"UN SEGMENT
Étant donné un segment [AB]. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieuIdu segment
[AB] :1)# »AI=# »IBou 2)# »I A+# »IB=#»0 ou 3)# »AB=2# »AI.
4) Pour tout pointMdu plan# »MA+# »MB=2# »MI.
?DÉMONSTRATION1. L"égalité
# »AI=# »IBcaractérise le milieuIdu segment [AB] (conséquence de la définition de l"égalité de
deux vecteurs).2.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??# »I A=-# »IB??# »I A+# »IB=#»0
3.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??2# »AI=# »AI+# »IB??2# »AI=# »AB
4. SiIest le milieu du segment [AB], alors pour tout pointM
MA+# »MB=?# »MI+# »I A?
+?# »MI+# »IB? =2# »MI+# »I A+# »IB? =#»0=2# »MIRéciproquement, la propriété
# »MA+# »MB=2# »MIétant vraie pour tout pointMon peut l"appliquer au pointI. Soit :# »I A+# »IB=2#»II=#»0Ce qui prouve queIest le milieu du segment [AB]
THÉORÈME
SoitABCun triangle,IetJles milieux respectifs de [AB] et [AC] alors# »BC=2#»IJ ?DÉMONSTRATION BC=# »BA+# »AC=2# »I A+2# »AJ=2?# »I A+# »AJ? =2#»IJPARALLÉLISME ET ALIGNEMENT
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs# »ABet# »CDsont colinéaires.
Trois pointsA,BetCsont alignés si, et seulement si, les vecteurs# »ABet# »ACsont colinéaires.
?DÉMONSTRATION Si (AB)//(CD) alors, les vecteurs# »ABet# »CDont la même direction donc ils sont colinéaires.
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VECTEURS DU PLAN2nde10
AB D CRéciproquement si les vecteurs# »ABet# »CDsont colinéaires alors, ils ont la même direction donc
(AB)//(CD)# »ABet# »ACsont colinéaires signifie donc (AB)//(AC). Deux droites parallèles ayant un point commun
sont confondues.EXEMPLES
EXEMPLE1 :CONSTRUCTION DE POINTS
Laméthode pourconstruireunpointMdéfiniparuneégalité vectorielle estd"obtenir unerelationdu type:
OM=#»u?
origineconnue???? vecteurconnuSoit trois points non alignés A, B etC. Construirele point M défini par# »MA-3# »MB=# »AC
Choisissons par exempleAcomme "origine connue» # »MA-3# »MB=# »AC??# »MA-3?# »MA+# »AB? =# »AC # »MA-3# »MA-3# »AB=# »AC ?? -2# »MA=3# »AB+# »AC # »MA=-32# »AB-12# »AC
# »AM=32# »AB+12# »AC
Nous pouvons construire le pointM:
3 2 # »AB 12 # »AC 12 # »AC# »AM ABC MEXEMPLE2 :PARALLÉLISME,ALIGNEMENT
Montrer que des points sont aligné, ou sont sur des droites parallèles, revient à montrer que des vecteurs
sont colinéaires.Soit ABC un triangle, I le milieu de[AC], M est le symétrique de B par rapport à C et le point N est tel que# »AN=1
3# »AB . Les points M, I et N sont-ilsalignés?
1 3 # »AB ABC I NMA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 8 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
Iest le milieu du segment [AC] donc# »AI=1
2# »AC
Mest le symétrique deBpar rapport àCdoncCest le milieu du segment [BM] d"où# »MC=# »CB.
Exprimons les vecteurs
# »MIet# »INen fonction des vecteurs# »ABet# »AC: # »MI=# »MC+# »CI=# »CB-12# »AC=# »CA+# »AB-12# »AC=# »AB-32# »AC
# »IN=# »I A+# »AN=-12# »AC+13# »AB
Ainsi,
# »MI=# »AB-32# »ACet# »IN=13# »AB-12# »ACd"où# »MI=3# »IN.
Par conséquent, les vecteurs
# »MIet# »INsont colinéaires donc les pointsM,IetNsont alignés.VCOORDONNÉES
1REPÈRE DU PLAN
On appelle base tout couple??ı,???de vecteurs non colinéaires.Un repère du plan est un triplet?O;?ı,???où O est un point du plan (appelé origine du repère) et??ı,???une
base.Oxy?ı?
Repère quelconque
Oxy?ı?
IJ (OI)?(OJ)Repère orthogonalOxy?ı?
IJRepère orthonormé
(OI)?(OJ) etOI=OJ2COORDONNÉES D"UN VECTEUR
Le plan est muni d"un repère?O;?ı,???. Soit?uun vecteur.On appelle coordonnées du vecteur
ules coordonnées du pointM?x;y?dans le repère?O;?ı,???tel que# »OM=?u.On note indifféremment
u?x;y?ou?u?x y? ıO M x?ı y x ?ıy uA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 9 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
?x;y?sont les coordonnées du pointMdans le repère?O;?ı,???signifie que# »OM=x?ı+y??.
?x
y? sont les coordonnées du vecteur ?udans le repère?O;?ı,???signifie que?u=x?ı+y??.REMARQUE
Les coordonnées d"un vecteur dépendent du choix du repère.EXEMPLE
ABCDest un parallélogramme de centreO.
Dans le repère
A;# »AB,# »AC?
A(0;0),B(1;0),C(1;1),D(0;1),# »AC?11?
et# »BD?-11? ABC D O Dans le repère?
O;# »OA,# »OB?
A(1;0),B(0;1),C(-1;0),D(0;-1),# »AC?-2
0? et# »BD?0 -1? ABC D OPROPRIÉTÉS DES COORDONNÉES
Soit?O;?ı,???un repère du plan,?u?x
y? et ?v?x? y deux vecteurs : ?u=?0 équivaut àx=0 ety=0. ?u=?véquivaut àx=x?ety=y?. Le vecteur
u+?va pour coordonnées?x+x? y+y?? pour tout réelk, le vecteurk?ua pour coordonnées?kxky?3COORDONNÉES DU VECTEUR# »AB
Soit?O;?ı,???un repère du plan et deux pointsA?xA;yA?etB?xB;yB?.Les coordonnées du vecteur
# »ABdans le repère?O;?ı,???sont# »AB?xB-xA y B-yA? ıO AB(xB-xA)?ı
yB-yA???A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 10 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
?DÉMONSTRATIOND"après la relation de Chasles
# »AB=# »AO+# »OB=# »OB-# »OA. Donc les coordonnées du vecteur# »ABsont
# »AB?xB-xA y B-yA?4COORDONNÉES DU MILIEU D"UN SEGMENT
Soit?O;?ı,???un repère du plan et deux pointsA?xA;yA?etB?xB;yB?. Les coordonnées du milieuI?xI;yI?du segment [AB] sont : xI=xA+xB
2etyI=yA+yB2
?DÉMONSTRATION Iest le milieu du segment [AB] d"où 2# »OI=# »OA+# »OBsoit# »OI=1 2? # »OA+# »OB?5CONDITION DE COLINÉARITÉ
Soit?O;?ı,???un repère du plan. Les vecteurs?u?x y? et ?v?x? y sont colinéaires si, et seulement si, xy ?-x?y=0 ?DÉMONSTRATION Dans le cas où l"un des deux vecteurs est nul, les vecteurs sont colinéaires et la relationxy?-x?y=0 est
vérifiée carx=y=0 oux?=y?=0. Dans le cas où les deux vecteurs sont non nuls, dire que uet?vsont colinéaires signifie qu"il existe un réelktel que?v=k?v. Soit?x?=kx y ?=kyce qui équivaut àxy?-x?y=0.EXEMPLE
Dans la figure ci-dessous,ABCest un triangle,Kest le milieu de [BC],Lest le symétrique du pointApar
rapport àB. Déterminer la position du pointMsur la droite (AC) pour que les pointsK,LetMsoient alignés. ABC M K LDans le repère?
A;# »AB,# »AC?
nous avonsA(0;0),B(1;0),C(0;1). Les coordonnées du pointKmilieu du segment [BC] sontK?1 2;12?Lest le symétrique du pointApar rapport àBdonc# »AL=2# »AB. Les coordonnées du pointLsontL(2;0).
Mest un point de la droite (AC) donc# »AM=y# »ACd"oùMa pour coordonnéesM?0;y?.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 11 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
Les pointsK,LetMsont alignés si, et seulement si, les vecteurs# »LKet# »LMsont colinéaires.
Calculons les coordonnées des vecteurs# »LKet# »LM:LK?xK-xL
y K-yL? soit# »LK(((1 2-2 12-0)))
??# »LK((( -3 2 1 2))) et # »LM?xM-xL y M-yL? soit# »LK?0-2 y-0? ??# »LM?-2 y?quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] vecteur nul exemple
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