[PDF] I Définition II Égalité de vecteurs III Opposé dun vecteur

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I Définition

quadrilatèreABCDest un parallélogramme. AB.

Translation de vecteur

ABtransformantDenC:

On remarque que :

•(AB) et (DC) sont parallèles (même direction), •ABetDCsont de même longueur, •--→ABet--→DCvont dans le même sens.

Les vecteurs seront souvent notés

-→u,-→v,-→w... AB DC -→u-→ u Remarque 1Le vecteur-→un"est pas fixe, on peut le dessiner n"importe où sur une feuille : -→u -→u -→u -→u

II Égalité de vecteurs

Définition 2Deux vecteurs--→ABet--→DCsont égauxsi et seulement si le quadrilatèreABCDest un parallélogramme

(éventuellement aplati). On note alors--→AB=--→DC.

Aucun des vecteurs ci-contre ne

sont égaux deux à deux. -→u -→x -→v -→w Remarque 2•--→AB=-→0 si et seulement siA=B,

•Si on fixe un pointO, alors pour tout vecteur-→u, il existe un unique pointMvérifiant-→u=--→OM.

III Opposé d"un vecteur

Définition 3Quels que soient les pointsAetB, le vecteur--→BAest appelé vecteur opposéau vecteur--→AB.

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Remarque 3Si-→u=--→AB, alors--→u=--→BA. -→u -u A

AB=-→v

B -v

IV Somme de deux vecteurs

Définition 4Soient-→uet-→vdeux vecteurs, on définit le vecteur-→w=-→u+-→vde la façon suivante :

SoitAun point du plan, on trace le représentant de-→ud"origineA: il a pour extrémitéB, puis on trace le représentant de-→vd"origineB: il a pour extrémitéC. Le vecteur-→ACest un représentant du vecteur-→w. -→u -→v A -→u B -→v

C-→w=-→u+-→v

Relation de Chasles :Pour tous pointsA,BetCdu plan, on a--→AB+--→BC=-→AC. Propriété 1Quels que soient les vecteurs-→u,-→vet-→wdu plan, on a : -→u+-→v=-→v+-→u, ©(-→u+-→v) +-→w=-→u+ (-→v+-→w), -→u+-→0 =-→u. V Multiplication d"un vecteur par un nombre réel

Définition 5Soit-→u=--→ABun vecteur non nul etkun réel non nul, on définit le vecteur-→v=k-→u=-→ACpar :

Remarque 4Si-→u= 0 ouk= 0 alors-→v=-→0

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-→u -→v= 2-→u -→w=-3-→u -→x=1

2-→u

-→y=-4

3-→u

Propriété 2Quels que soient les vecteurs-→u,-→vet les réelsketl, on a :

©k(-→u+-→v) =k-→u+k-→v

©(k+l)-→u=k-→u+l-→u

©k(λ-→u) = (kλ)-→u

©k-→u=-→0??k= 0 ou-→u=-→0

VI Colinéarité de deux vecteurs

Définition 6Deux vecteurs-→uet-→vsont colinéairess"il existe un réelknon nul tel que-→v=k-→u.

Autrement dit, les vecteurs

-→uet-→vont la même direction. Sur le dessin précédent, tous les vecteurs dessinés sont colinéaires entre eux.

Propriété 3©Trois pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs--→ABet-→ACsont colinéaires,

©deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs--→ABet--→CDsont colinéaires.

AB ABC

AB-→AC

AB C D AB CD

VII Vecteurs et coordonnées

Définition 7Deux vecteurs non colinéaires et un point du plan définissentun repère. Si les vecteurs sont

orthogonaux , le repère est ditorthogonal ; si de plus les longueurs (normes) des vecteurs valent 1, le repère

est dit orthonormal . On note un repère de la manière suivante :(O;-→i;-→j)

VII.1 Coordonnées d"un vecteur

Définition 8Dans un repère(O;-→i;-→j), on dit qu"un vecteur-→ua pour coordonnées-→u?a

b? si et seulement si -→u=a-→i+b-→j

VII.2 Propriétés

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Propriétés dans un repère (O;-→i;-→j) : •Deux vecteurs sont égaux si etseulement si ils ont les mêmes coordonnées. -→u?a b? et-→v?c d? alors-→u+-→v?a+c b+d? •SiA(xA;yA) etB(xB;yB) alors--→AB?xB-xA y B-yA? -→u?a b? et-→v?c d? -→uet-→vsont colinéaires si et seulement siad=bc

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