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P1 : Espaces probabilisés

29/08/14 16:45Stochastik Bayestheorem Urnenversuch - Problème d'urne - Wikipédia

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Deux urnes contenant des boules blanches et rouges.

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Released under the GNU Free Documentation License.I Probabilités sur un ensemble fini

I.1 Univers, événements, probabilité

Remarque préliminaire et sans importance : évènement ou événement, c"est comme vous voulez. DéfinitionOn appelle univers l"ensemble des résultats (ou issues, ou réalisa- tions...) d"une expérience aléatoire. aléatoire, qui appartient au vocabulaire de la " modélisation » probabi- liste, pas à celui de la théorie des probabilités. Le type même de l"expé- rience aléatoire est le jet de dé. On traduit d"ailleurs souvent "alea jacta est» par "les dés sont jetés». D"autant que dans cette phrase, alea est lui- même la version latine du grec kubos...Il semble que Jules Cesar parlait grec, au moins dans ses grands moments. ExerciceChercher l"étymologie du mot "hasard». 1 espaces probabilisés (P1) DéfinitionSoitun univers fini. On appelle événement toute partie de; on appelle événement élémentaire tout singleton {!}, où!2. ExempleOn jette trois fois un dé à 6 faces. L"univers naturel associé est

AE{1,2,3,4,5,6}3

"Le deuxième lancer donne un résultat pair» est la traduction française de l"évènement

AAE{(a,b,c)2;b´0[2]}

qui est bien une partie de. DéfinitionOn appelle probabilité sur un ensemble finitoute application

P:P()¡![0,1]

telle que (i)P()AE1 et (ii)8(A,B)2P()2A\BAE; )P(A[B)AEP(A)ÅP(B) Un espace probabiliséfiniest un couple (,P) oùest un ensemble fini etPune probabilité sur Attention au vocabulaire : une probabilité surn"est pas définie sur, mais surP() Insistons bien : il s"agit d"un espace probabilisé fini. Les espaces probabilisés non finis posent des problèmes supplémentaires, qui nécessitent pour être for- malisés l"introduction des "tribus d"évènements», voir plus loin.

I.2 Première propriété : additivité

PropositionSoitPune probabilité. SiA1,...,Amsont des événements deux à deux disjoints (m¸2), alors P m[ iAE1A i! AEmX iAE1P(Ai) 2 espaces probabilisés (P1) (Démonstration par récurrence surm). On appelle cette propriété "additivité». Il arrive d"ailleurs que la réuniondis- jointe m[ iAE1A isoit notéemX iAE1A i(insistons : il n"est cohérent de noter une réunion comme ceci que lorsqu"elle est disjointe : (i6AEj))Ai\AjAE;). Cette notation disjoints, 1 m[ iAE1A iAEmX iAE11 Ai CorollaireSiPest une probabilité sur, siAAE{!1,...,!m} est un événement, alors

P(A)AEmX

iAE1P({!i})

Autrement dit,

PropositionUne probabilité sur un universfiniest déterminée par les proba- bilités des singletons.

I.3 Exemple : probabilité uniforme

DéfinitionSoitNAECard(). La probabilité uniforme surest l"unique pro- babilité telle que

8!2P({!})AE1N

On a alors, pour tout événementA,

P(A)AECardACard

Dans le cas de la probabilité uniforme sur un univers fini, le calcul de la pro- babilité d"un événement équivaut au calcul de son cardinal. C"est donc un pro- blème de dénombrement...voirP0. 3 espaces probabilisés (P1) ExempleUn univers " naturel » associé à un jeu de Pile ou Face ànlancers successifs est l"ensembleAE{0,1}ndesn-uplets (²1,...,²n) où²kAE1 si le lancerkdonne Face,²kAE0 sinon (on considère que la pièce ne tombe pas sur la tranche...). On le munit de la probabilité uniforme si la pièce est équilibrée. La probabilité d"un évènement élémentaire est alors12 n. Il peut être plus intéressant de considérer0AE{¡1,1}n.

I.4 Autres propriétés

a. Probabilité de l"évènement contraire Définition-PropositionSoit (,P) un espace probabilisé fini. SoitAun évé- nement (c"est-à-dire une partie de). L"événementAAEAcAE\A(com- plémentaire deA) est appelé "événement contraire deA». Sa probabilité est

P(A)AE1¡P(A)

b. Probabilité d"une intersection Définition-PropositionSoit (,P) un espace probabilisé fini,AetBdeux évé- nements. Les événementsA[BetA\Bsont respectivement appelés "A ouB» et "AetB». On a

P(A[B)AEP(A)ÅP(B)¡P(A\B)

c. Croissance on a

A½B)P(A)·P(B)

d. Evènement impossible, évènements incompatibles DéfinitionsL"événement impossible est;. Sa probabilité est 0 (on a en effet ;[; AE ;et;\; AE ;, on peut alors appliquer l"additivité). Deux évé- nementsAetBsont dits incompatibles lorsqueA\BAE;, autrement dit lorsque "AetB» est l"événement impossible. 4 espaces probabilisés (P1)

II Quelques univers finis

II.1 Des objets numérotés dans des boîtes numérotées On considère l"expérience suivante : placer au hasardrobjetsx1,...,xrdans nboîtesb1,...,bn. Définir un univers associé à cette expérience. Quel est son cardinal? II.2 Des objets indiscernables dans des boîtes numérotées On considère l"expérience suivante : placer au hasardrobjets indiscernables dansnboîtesb1,...,bn. Définir un univers associé à cette expérience. Quel est son cardinal? On comprendra bien la différence avec la question précédente, dans laquelle, par exemple, tous les objets saufx1dansb1etx1dansb2d"une part, tous les objets saufx2dansb1etx2dansb2d"autre part sont deux issues (ou réalisa- tions) différentes. Alors qu"ici, tous les objets sauf un dansb1et le dernier dans b

2, c"est une issue.

II.3 Allumettes de Banach

Un fumeur a dans chacune de ses poches (poche gauche et poche droite) une boîte denallumettes. Lorsqu"il en a besoin d"une, il prend au hasard, avec même probabilité, la boîte dans la poche gauche ou la boîte dans la poche droite, pour y prendre son allumette. Jusqu"au moment où il s"aperçoit que la boîte tirée est vide. Définir un univers modélisant cette expérience aléatoire (oral Centrale). 5 espaces probabilisés (P1)

III Problèmes posés par un univers infini

...et surtout, non dénombrable... On lance une pièce, jusqu"à ce qu"on obtienne Pile. Les tirages sont "évidem- ment» considérés indépendants. Si la pièce est équilibrée, on a une chance sur de lancer 1000 fois la pièce et de tomber 1000 fois sur Face. Si on s"intéresse à la loi de la variable aléatoire " numéro du premier tirage où on obtient Pile », aucun univers fini ne va convenir : pour toutN, un univers décrivant le lancer

Nfois d"une pièce sera insuffisant.

On va donc assez naturellement s"intéresser à l"univers suivant : (ensemble des suites de 0 et de 1, 0 désignant par exemple Face et 1 désignant Pile). On indexe les suites à partir du rang 1, le terme de rangkétant l"issue du k-ième lancer. Remarquons que non seulementest infini, mais il est " gros » : il n"est pas dénombrable (on peut par exemple le démontrer à l"aide d"un procédé diago- nal de Cantor). La considération du développement binaire d"un réel de [0,1[ montre quea "la puissance du continu» (il y a une bijection entreetR). Si!AE(!n)n¸12, la seule probabilité raisonnable (intuitivement, mais aussi mathématiquement, voir plus loin) donnerait

P({!})AE0

Et pourtant l"événement {!} n"est pas impossible (on suppose que la pièce a bien un côté Pile et un côté Face, et que la probabilité de tomber sur Pile est p2]0,1[). Mais définir (comme dans le cas d"un univers fini) la probabilité d"un voué à l"échec (en ajoutant des 0, on n"obtient pas grand chose d"intéressant) : on ne prend pas les choses par le bon bout. 6 espaces probabilisés (P1) Qu"est ce alors que le " bon bout »? s"il n"est pas judicieux de considérer les "petits» événements, on peut essayer de partir des "gros». Par exemple, si la probabilité d"obtenir Pile (c"est-à-dire 1) vautp, si

AAE{!2;!1AE1}

il est naturel de définirP(A)AEp(probabilité pour que le premier lancer donne

1). Et, bien sûr,P(A)AE1¡p.

Plus généralement, si²AE(²1,...,²m)2{0,1}m, si A on aimerait bien avoir

P(A²)AEps(1¡p)m¡s(1)

oùsdésigne le nombre de²iégaux à 1 (ou encoresAE²1Å¢¢¢Å²m). On appelle "cylindre» ou "événement de type fini» un événement défini par les 100 premiers lancers on obtient au moins 40 fois face». Ou "entre les lan- cers 10000 et 10999 on obtient au moins une fois 5 "Pile" successifs ». Il n"est pas si compliqué de définir une probabilité satisfaisante sur ces événements, c"est-à-dire une probabilité qui vérifie (1) et les propriétés traditionnelles :

P()AE1

0·P(A)·1

SiA\BAE;,P(A[B)AEP(A)ÅP(B) (AetBévénements de type fini) (AetBdésignant des événements de type fini). et 5 Face entre le 31ème et le 40ème lancer vaut .

Pour notre variable aléatoire

XAE"rang du premier tirage où on obtient Pile» ces définitions suffisent : pour toutk¸1,

P(XAEk)AE

7 espaces probabilisés (P1) Remarque sur la dénomination "cylindre» : un cylindre de révolution d"axeOz dans l"espace affineR3a pour équationx2Åy2AER2, équation qui ne porte que sur les premières coordonnées... Mais des événements qu"on peut qualifier de "simples" ne sont pas de type fini. Par exemple, l"événement " tous les tirages de rang pair donnent Pile, tous les tirages de rang impair donnent Face» ou "la première séquence Pile-Face précède la première séquence Face-Face ». Pour le premier de ces deux évé- nements, la probabilité, si elle peut être définie, ne peut qu"être nulle. Pour le second, c"est autre chose...Notons donc BAE"la première séquence Pile-Face précède la première séquence Face-Face»

Et remarquons que

BAEÅ1[

nAE1B n oùBnest l"événement "on obtient Pile aun-ième tirage, Face aunÅ1-ième, et il n"y a pas de séquence Face-Face ni Pile-Face avant cen-ième tirage».

On calcule

P(Bn)AE

et, remarquant que les événementsBnsont deux-à-deux disjoints, on en dé- duit :

P(B)AE

à condition d"admettre quePµ

Å1[

nAE1B

AEÅ1X

nAE1P(Bn). Ce faisant, on introduit une qui n"est pas la simple additivité), qui n"a un sens que si une réunion dénom- brable d"événements qui ont une probabilité a une probabilité. On va donner un cadre à ces choses. 8 espaces probabilisés (P1) IV Espaces probabilisables, espaces probabilisés On veut définir une probabilité sur un ensemble. Siest fini ou dénom- brable, ce n"est pas trop compliqué. Mais lorsque ce n"est pas le cas, les difficul- tés augmentent singulièrement. La première difficulté est qu"on n"arrive pas en général à définir la probabilité de toutes les parties de(contrairement au cas fini ou dénombrable). Un théorème d"Ulam dit que siest en bijection avec R, siPest une probabilité définie surP() tout entier, alors il existe une partie dénombrableDdetelle queP(D)AE1 et doncP(\D)AE0. ces parties qui seront appelées " évènements ». Pour quePait les propriétés qu"on attend d"une probabilité, ces événements doivent former une "tribu».

IV.1 Tribu sur un ensemble

a. Définition

Soitun ensemble.

On appelle tribu surtoute partieAdeP() vérifiant 1.;2A

2.A2AAE)A2A

3. S i( An)n2Nest une suite d"éléments deA,Å1[ nAE0A n2A La propriété 2. est la stabilité par passage au complémentaire, la propriété 3. b. Exemples

P() est une tribu sur(dite parfois discrète).

{;,} est une tribu sur(dite parfois grossière). SiAest une partie de, non vide et distincte de, la plus petite tribu qui contientAest : 9 espaces probabilisés (P1) c. Propriétés Une tribu est stable par réunion finie, et par intersection dénombrable et finie :

SiAest une tribu sur,

1.2A 2. S i( An)n2Nest une suite d"éléments deA,Å1\ nAE0A n2A 3. ( A2AetB2A))(A[B2A) 4. ( A2AetB2A))(A\B2A) 5. S i( An)0·n·Nest une famille finie d"éléments deA,N[ nAE0A n2A 6. S i( An)0·n·Nest une famille finie d"éléments deA,N\ nAE0A n2A Remarque :Une partie deP() contenant;, stable par passage au complé- mentaire et par réunion finie (et donc par intersection finie) est appelée une algèbre de parties de(terminologie h.p.). Une tribu est parfois appelée¾- algèbre (¾-algebra en anglais), le préfixe¾désignant le "passage au dénom- brable". Exercice :Montrer que l"ensemble des parties qui sont finies ou dénombrables ou dont le complémentaire est fini ou dénombrable est une tribu.

IV.2 Espace probabilisable

a. Définitions On appelle espace probabilisable tout couple (,A) formé d"un ensemble et d"une tribu sur cet ensemble. Les éléments deAseront appelés les évène- ments. b. Vocabulaire Un évènement élémentaire est un singleton (en supposant que les singletons appartiennent à la tribu). SiAest un évènement,Aest l"évènement contraire. 10 espaces probabilisés (P1)

L"événementA\Best appelé "AetB».

L"événementA[Best appelé "AouB».

Deux évènementsAetBsont dits incompatibles lorsqueA\BAE;.

L"évènement impossible est;.

Il ne faut pas confondre incompatibilité et indépendance : deux évènements incompatibles sont (très) rarement indépendants. Il ne faudra pas non plus confondre "impossible» et "négligeable», voir plus loin.

IV.3 Probabilité sur un espace probabilisable

a. Définition Soit (,A) un espace probabilisable. Une probabilité sur (,A) est une appli- cationPdéfinie surAtelle que

1.8A2AP(A)2[0,1]

2.P()AE1

3. S i( An)n2Nest une suite d"événements deux à deux disjoints ,Pµ

Å1[

nAE0A

AEÅ1X

nAE0P(An) La propriété 3. est appelée¾-additivité, elle devrait se lire " la sérieX nP(An) converge, et sa somme vaut...» Mais d"abord : PropositionSiPest une probabilité sur (,A), alorsP(;)AE0. disjoints, alors

P(A[B)AEP(A)ÅP(B)

Démonstration :Il suffit de prendreAnAE;sin¸2 dans la¾-additivité.

Aussi bien :

PropositionSiPest une probabilité sur (,A), si lesAk(1·k·n) sont desquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

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