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Rappels sur les applications lineaires

1.Denition d'une application lineaire

Denition 1 {SoientEetFdeux espaces vectoriels sur un m^eme corpsKetfune application deEdansF. Dire quefest lineaire signie que les deux assertions suivantes sont vraies : (8(x;y)2E2; f(x+y) =f(x) +f(y)

82K;8x2E; f(x) =f(x)

Ces deux assertions peuvent ^etre reunies en une seule :

8(x;y)2E2;82K; f(x+y) =f(x) +f(y):

On noteL(E;F) l'ensemble des applications lineaires deEdansFetL(E) l'ensemble des applications lineaires deEdansE. Proposition 2 {L(E;F) est un espace vectoriel surK. Remarque -Sifest lineaire, alorsf(0E) = 0F. (Faire= 0) Vocabulaire- SoitEun espace vectoriel sur un corpsK. Unendomorphismed'un espace vectorielEest une application lineaire deEdansE. UnisomorphismedeEsurFest une application lineaire bijective.

Unautomorphismeest un endomorphisme bijectif.

Uneforme lineaire surEest une application lineaire deEsurK. SoientEun espace de dimension nienetf2L(E;F). L'applicationfest entierement denie par l'image des vecteurs d'une base (e1;:::;en) deEcar, d'apres la linearite def, si x=x1e1++xnen, on af(x) =f(x1e1++xnen) =x1f(e1)++xnf(en) pour tout xdeE. Exemples -La derivation et l'integration sont des applications lineaires (attention au choix des ensembles de depart et d'arrivee) En geometrie vectorielle de dimension 2 ou 3, les rotations, symetries, homotheties et projections sont des applications lineaires. On denit la loi + surL(E) comme etant la loi d'addition des fonctions, la loicomme etant la multiplication par un scalaire, element deK, d'une fonction deL(E) et la loicomme etant la loi de composition de deux fonctions. Proposition 3 {SoitEun espace vectoriel sur un corpsK. (L)(E);+;;) est une algebre surK.Demonstration :en eet,(L(E);+;)est unK-espace vectoriel. La loiest une loi de compostion interne et est distributive par rapport a l'addition. On a de plus, pour tout(a;b)2K2 et pour tout(f;g)2L(E)2,(af)(bg) = (ab)(fg)par linearite. Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I2.Image et noyau Proposition 4 {Soitf:E!Fune application lineaire etGun sous-espace vectoriel de E. Alorsf(G) est un sous-espace vectoriel deF. En particulier,f(E) est un

sous-espace vectoriel deF, appele image defet note Imf.Demonstration :soitGun sous-espace vectoriel deE. On a

f(G) =ff(x);x2Gg: C'est un sous-ensemble deF. Il est non vide car0E2G. En eet,Gest un sous-espace vectoriel deE, doncf(0E) = 0F2f(G). Soienty1ety2deux elements def(G)et2K. Montrons quey1+y22f(G). Par denition def(G), il existex1etx2, elements deGtels quey1=f(x1)ety2=f(x2). On a alorsy

1+y2=f(x1) +f(x2)

=f(x1+x2)par linearite def

Orx1+x22GcarGest un espace vectoriel doncy1+y22G.Remarque -SiEest de dimension nie, on peut remarquer que Imf= Vectff(e1);:::;f(en)g

oufe1;:::;engest une famille generatrice (ou une base) deE. Pour denir une application

lineaire surE, il sut donc de denir les images des vecteurs d'une base deE.Denition 5 {SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension nie etf2L(E;F). La

dimension de Imfest appelee rang defet est notee rgf. Proposition 6 {Soitf:E!Fune application lineaire. On pose

Kerf=fx2E;f(x) = 0g

ou 0 = 0 F. Kerfest un sous-espace vectoriel deEappele noyau def.Demonstration :Kerfest non vide carf(0E) = 0F. Soientx1etx2deux elements deKerfet2K. Montrons quex1+x22Kerf. On a f(x1+x2) =f(x1) +f(x2) = 0. Doncx1+x22Kerf.3.Injectivite, surjectivite et bijectivite

Proposition 7 {Soitf2L(E;F).fest surjective si et seulement si Imf=F.Demonstration :commeImf=f(E), le resultat est evidentProposition 8 {Soitf2L(E;F).fest injective si et seulement si Kerf=f0g.Demonstration :supposonsfinjective. Soitx2Kerf, alorsf(x) = 0 =f(0)doncx= 0par

denition de l'injectivite. On a doncKerf=f0g. Reciproquement, supposons queKerf=f0g. Soientxetydeux elements deEtels que f(x) =f(y). Par linearite def, on en deduit quef(xy) = 0doncxy2Kerf. Or Kerf=f0g, d'oux=yetfest injective.Proposition 9 {Soitf2L(E;F) etfvigi2Iune famille de vecteurs deE. a) Sifest injective et si la famillefvigi2Iest libre dansE, alors la familleff(vi)gi2Iest libre dansF. b) Sifest surjective et si la famillefvigi2Iest generatrice deE, alors la familleff(vi)gi2Iest generatrice deF. c) En particulier, sifest bijective, l'image d'une base deEest une base deF.Demonstration : { 2 {

RAPPELS SUR LES APPLICATIONS LIN

EAIRES

Supposonsfinjective et soitfvigi2Iune famille libre d'elements deE.

Montrons queff(vi)gi2Iest une famille libre deF.

Soient(i)i2Ides scalaires etJun sous-ensemble ni quelconque deItels que X i2J if(vi) = 0;alorsf(X i2J ivi) = 0

On en deduit que

X i2J ivi2Kerf; orfest injective doncX i2J ivi= 0. Comme la famille fvigi2Jest libre, la famillefvigi2Jl'est aussi et on en deduit que tous lesisont nuls, d'ou le resultat. Supposonsfsurjective et soitfvigi2Iune famille generatrice deE. Montrons que la famille ff(vi)gest generatrice deF. Soityun element deF. Commefest surjective, il existe x2Etel quey=f(x). Orxs'ecrit comme une combinaison lineaire desvi, donc, par linearite def,y=f(x)s'ecrit comme une combinaison lineaire desf(vi). Une base etant une famille libre et generatrice et une application bijective etant injective et surjective, le troisieme item est un corollaire des deux precedents.4.Theoreme du rang Theoreme 11 {SoitEetFdeux espaces vectoriels de dimension nie etf2L(E;F). On adimE= rgf+ dim(Kerf)Demonstration :posonsdimE=netdim(Kerf) =r. Montrons alors que rgf=nr. Soitfw1;:::;wrgune base deKerfetfv1;:::;vnrgune famille de vecteurs deEtelle que fw1;:::;wr;v1;:::;vnrgsoit une base deE. On poseB=ff(v1);:::;f(vnrg. Montrons queBest une base deImf.

Montrons queBengendreImf.

Soity=f(x)2Imf.xs'ecrit (de maniere unique)x=a1w1++arwr+b1v1++ b nrvnr. En utilisant la linearite defet le fait que leswiappartiennent aKerf, on obtient queyest combinaison lineaire desf(vi)doncBengendreImf.

Montrons queBest une famille libre deF.

Soient(1;:::;nr)2Knrtel que1f(v1)++nrf(vnr) = 0. Par linearite def, on en deduit que1v1++nrvnr2Kerfdonc il existe(1;:::;r)2Krtel que

1v1++nrvnr=1w1++rwr. Comme la famille(w1;:::;wr;v1;:::;vnr)

est libre, on en deduit que1==nr= 0etBest libre.Corollaire 12 {Soitf2L(E;F) ouEetFsont deux espaces vectoriels dem^eme dimension

nie. Les proprietes suivantes sont equivalentes : i)fest injective ii)fest surjective

iii)fest bijectiveDemonstration :sifest bijective, alors elle est injective. On a alorsKerf=f0get, d'apres le

theoreme du rang,dimE=rgf= dimImf. CommeImfFet quedimE= dimF, on en deduit queImf=Fetfest surjective. De m^eme, sifest surjective, alorsdimE=rgfdonc dim(Kerf) = 0etKerf=f0g, ce qui veut dire quefest injective. Comme on l'a suppose surjective, on a montre qu'elle est bijective.{ 3 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Corollaire 13 {Soitf2L(E). On les equivalences suivantes : fest bijective()Kerf=f0g ()Imf=E:5.Matrices associees aux applications lineaires SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension nienetprespectivement. Denition 14 {On appelle matrice defdans les basesfe1;:::;engdeEetff1;:::;fpgde Fla matrice, noteeM(f)ei;fj, appartenant aMp;n(K) dont les colonnes sont les composantes des vecteursf(e1);:::;f(en) dans la baseff1;:::;fpg. Posonsf(ej) =a1jf1+a2jf2++apjfppour toutj2 f1;:::;ng. La matrice defdans les basesfe1;:::;engdeEetff1;:::;fpgdeFest alors la matrice f(e1)f(e2)f(ej)::: f(en) A=0 B

BBBBBBB@a

11a12::: a1j::: a1n

a

21a22::: a2j::: a2n..................

a i1ai2::: aij::: ain.................. a p1ap2::: apj::: apn1 C

CCCCCCCA5.1.

Ecriture matricielle d'une application lineaireSoitx2Eavecx=nX j=1x jej. On a f(x) =nX j=1x jf(ej) =nX j=1 x jp X i=1a ijfi! pX i=10 nX j=1a ijxj1 A fi Si on represente le vecteurxdans la base (ei) par une matrice-colonneXet le vecteurydans la base (fj) par une matrice-colonneY, on a alors y=f(x)()Y=AX()0 B

BBBBBB@y

1 y 2... y i... y p1 C

CCCCCCA=0

B

BBBBBBB@a

11a12::: a1j::: a1n

a

21a22::: a2j::: a2n..................

a i1ai2::: aij::: ain.................. a p1ap2::: apj::: apn1 C

CCCCCCCA0

B

BBBBBB@x

1 x 2... x j... x n1 C

CCCCCCA:

SoientEetFdeux espaces vectoriels surKde dimensionnetprespectivement,feigetffjg des bases deEetF.

Proposition 15 {L'application

M:"L(E;F)!Mp;n(K)

f7!M(f)ei;fj { 4 {

RAPPELS SUR LES APPLICATIONS LIN

EAIRES

est un isomorphisme d'espaces vectoriels. On a donc, pour toutes les applications lineairesfetgdeEdansFet tout2K,

M(f+g) =M(f) +M(g)

M(f) =M(f)

etMest bijective.

Proposition 16 {dimL(E;F) = dimEdimFDemonstration :deux espaces isomorphes ont m^eme dimension, d'ou le resultat.

Proposition 17 {SoientE,FetGtrois espaces vectoriels de dimension nie surK, fe1;:::;eng,ff1;:::;fpgetfg1;:::;gqgdes bases deE,FetGrespec- tivement. Soientf2L(E;F) etg2L(F;G), on aM(fg)ei;gk=M(f)fj;gkM(g)ei;fjDemonstration :posons g(ej) =pX i=1a ijfid'ouM(g)ei;fj= (aij)1in;1jp=A f(fi) =qX k=1b kigkd'ouM(f)fj;gk= (bjk)1jp;1kq=B On va montrer queM(fg)ei;gk=BAen calculant les coordonnees defg(ej)dans la base (gk). fg(ej) =pX i=1a ijf(fi) pX i=1 a ijq X k=1b kigk! qX k=1 pX i=1b kiaij! g k

Lak-eme coordonnee du vecteurfg(ej)est donc bien egale a(BA)kj, d'ou le resultat.Proposition 18 {SoientEetFdeux espaces vectoriels de m^eme dimensionnsurK. Soient

fe1;:::;engetff1;:::;fngdes bases deEetFrespectivement. Une application lineairef2L(E;F) est bijective si et seulement si M(f)ei;fjest inversible. De plus,M(f1)fj;ei=M(f)ei;fj

1.Demonstration :c'est une consequence de la proposition precedente.On a egalement, d'apres

le corollaire13qu'une matrice est inversible si et seulement si son noyau est reduit au vecteur nul ou encore si et seulement si ses vecteurs colonnes sont lineairement independants (puisqu'ils engendrent Imf). { 5 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I5.2.Matrice de passage SoientEun espace vectoriel de dimensionnetfe1;:::;engetfe01;:::;e0ngdeux bases deE. Denition 19 {On appelle matrice de passage de la basefe1;:::;enga la basefe01;:::;e0ngla matrice, noteePfeig!fe0ig, dont les colonnes sont les composantes des vecteurse0idans la base feig. La matricePfeig!fe0igest la matrice de l'endomorphisme IdEdans les basesfeigetfe0ig.

On a donc :

Proposition 20 {La matrice de passagePfeig!fe0igest inversible et son inverse est la matrice de passagePfe0ig!feig. Soitx2Ede composantes (x1;:::;xn) dans la basefeiget de composantes (x01;:::;x0n) dans la basefe0ig. On notePla matrice de passage de la basefeiga la basefe0iget X=0 @x 1... x n1 A etX0=0 B @x 01... x 0n1 C A

Proposition 21 {X

0=P1XDemonstration :en eet, posonsP= (pij)1i;jn. On a donce0j=nX

i=1p ijei. D'ou, si x=nX j=1x

0je0j, on obtient

x 0=nX j=1 x 0jn X i=1p ijei! =nX i=10 nX j=1p ijx0j1 A ei:

D'ouxi=nX

j=1pquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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