[PDF] NOMBRES COMPLEXES Déterminer l'affixe de

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5 P.G. 2006/2007

Transformations

Exemples

3333(((( Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O; , )uv

, on considère les points A, B, C et D d"affixes respectives : 13ia=+, 3 4ib=+, ic= et 3 id=+ et la translation t de vecteur AB a. Quelle est l"écriture complexe de t ? b. Déterminer l"affixe de l"image E de C par t. c. Déterminer l"affixe de l"antécédent F de D par t.

4444)))) On considère l"homothétie h de centre Ω(1 + 3i) et de rapport -2.

a. Quelle est l"écriture complexe de h ? b. Déterminer l"affixe de l"image C par h du point A(1 + 2i). c. Déterminer l"affixe de l"antécédent D par h du point B(3 - i). d. Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.

4444!!!! La transformation T a pour écriture complexe : z' = -5(z + 3i).

a. Démontrer qu"il existe un seul point invariant par T. On désigne par Ω ce point et par ω son

affixe. b. Vérifier que z' - ω = -5(z - ω). c. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de T.

4444@@@@ a. Déterminer l"écriture complexe de la rotation r de centre Ω(-1 + 2i) et d"angle

3π b . Déterminer l"affixe de l"image par r du point A d"affixe 2 - i. c. Déterminer l"affixe de l"antécédent par r du point B d"affixe 1 + 3i.

4444#### a. On considère un triangle quelconque OAB direct. Construire l"image A' du point A par la rotation

de centre O et d"angle

2π-, puis l"image B' de B par la rotation de centre O et d"angle 2π.

b. On désigne par I le milieu de [AB]. Que peut-on conjecturer quant aux droites (A'B') et (OI) ?

Que peut-on conjecturer pour les distances A'B' et OI ? c . On munit le plan complexe d"un repère orthonormal (O; , )uv . Dans ce repère, les points A et

B ont des affixes

z A et z B . Exprimer, en fonction de z A et z B , les affixes des points A', B' et I. d. Calculer le nombre complexe B' A' I zz z- . Que peut-on en conclure ?

Exercices à préparer à la maison

4444$$$$ Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations dont les écritures

complexes sont : a. '32izz=-+ b. '3 15izz=+- c. 'i 2izz=-+

4444%%%% Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O; , )uv

, on considère un quadrilatère direct ABCD. On désigne par a, b, c et d les affixes respectives des points A, B, C et D. a. Construire les points P, Q, R et S tels que les triangles APB, BQC, CRD et DSA soient directs, rectangles isocèles respectivement en P, Q, R et S. b. Que peut-on conjecturer quant aux droites (PR) et (QS) et aux longueurs PR et QS ? c. Montrer que l"affixe p de P vérifie : (i)(1i)

2abp-+=

En déduire, de façon analogue, les affixes q, r et s des points Q, R et S. d. Montrer que i sq rp-=- . Conclure.

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Compléter une configuration

Exemples

444
4^ ^^^ Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O; , )uv , on considère les points

A, B et C d"affixes respectives :

1ia=+, 5 2ib=+ et 3 5ic=+.

Déterminer l"affixe d du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

4444&&&& Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O; , )uv

, on considère les points A et B d"affixes respectives : 3 2ia=- et 1 2ib=+. Déterminer l"affixe c du point C tel que le triangle ABC soit équilatéral direct.

Exercice à préparer à la maison

4444**** Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O; , )uv

, on considère les points

A et B d"affixes respectives : 1 2i

a=- et 2 ib=- +. Déterminer les affixes c et d des points C et D tels que le quadrilatère ABCD soit un carré indirect.

Ensembles de points

Exemples

4444(((( Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal

12 (O,e ,e ) . Déterminer l"ensemble des points M de (

P) d"affixe z vérifiant :

a. 2i 5z+-= b. 4i 13izz--= -- c. i23i 3z-+ = d. ()arg 3 2i 2 ( )3zkkπ+- = + π ?Z e. ()arg 3i ( )6zkkπ-=+π ?Z f. ()arg i 2 ( )4zkkπ=+π ?Z g. 1arg ( )12zkkz-π h. iarg 2 ( )i2zkkz+π

5555)))) Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal ),,O(

00 vu, on considère les points A et B d"affixes respectives 1 - i et 7 + 3i.

On considère l"application f de P-{A} dans P qui, à tout point M(z) de P différent de A, associe

le point M'(z') tel que

73i'1izz

z a. On pose izxy=+ et ' ' i 'zxy=+. Exprimer x' et y' en fonction de x et y. b . Déterminer l"ensemble des points M du plan tels que z' soit réel. c. Déterminer l"ensemble des points M du plan tels que z' soit imaginaire pur (de la forme bi, b ?R).

d. Interpréter géométriquement le module et un argument de z'. Retrouver géométriquement les

résultats du b. et c.. e. Déterminer l"ensemble des points M du plan tels que 1'=z.

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Exercices à préparer à la maison

5555!
!!! Déterminer l"ensemble des points M d"affixe z telle que :

1arg 2 ( )i2zkkz-π

5555@@@@ Dans le plan complexe P

rapporté au repère orthonormal ),,O( 00 vu, déterminer, de deux façons différentes, l"ensemble des points M d"affixe z vérifiant : a. 1i 33iz
z -- est imaginaire pur. b. 1i 33iz
z -- est réel strictement positif. c.

1i133iz

z-+=--

Equation param

triq ue d"un ce rcle

Exemples

5555#### Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O; , )uv

, on considère le cercle de centre A d"affixe a = 3 - 3i et de rayon 5. Donner une équation paramétrique de ce cercle.

5555$$$$ Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O; , )uv

, déterminer et représenter graphiquement les ensembles d"équations paramétriques : a i

2i3e ( )z

=-+ θ?R b. i

13i2e, ;22z

Exercice à préparer à la maison

5555%%%% Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O; , )uv

, déterminer et représenter graphiquement les ensembles d"équations paramétriques : a. ]] i

12i2e ( 0; )z

=+ + θ? π b. [] 2i

3i 2e , 0;z

Nombres conjugués

Exemples

5555^^^^ Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal (O; , )uv

. On considère l"application f qui à tout point M de (P), d"affixe z, associe le point M' d"affixe z' telle que :

On désigne par (

Δ) la droite d"équation x - 2y - 1 = 0.

a. On pose z = x + iy et z' = x' + iy'. Exprimer x' et y' en fonction de x et y. b. Exprimer, en fonction de x et y, les coordonnées du vecteur 'MM

puis montrer que ce vecteur est normal à la droite ( c. Exprimer, en fonction de x et y, les coordonnées du milieu I de [MM'] puis montrer que ce milieu appartient à la droite ( d. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l"application f.

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Nombres conjugués

Exemples

5555&&&& On considère le polynôme

32

P( ) 2 7 22 13zzz z=-++. a. Calculer P(2 + 3i).

b. Exprimer

Pz en fonction de P(z).

c. Déduire des questions précédentes que P(z) est factorisable par 2

413zz-+ et effectuer cette

factorisation. d. Résoudre, dans l"ensemble C des nombres complexes, l"équation P(z) = 0.

5555****

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O; , )uv

On désigne par A le point d"affixe 1 + 2i.

On considère l"application f de

P - {A} dans P qui, à tout point M d"affixe z distinct de A, associe le point M' d"affixe z' telle que

3i'12izz

z a. Restitution organisée de connaissance : démontrer la propriété suivante : " z est un nombre réel » équivaut à " zz= ».

b. Utiliser la propriété précédente pour déterminer l"ensemble des points M de P - {A} tels que

z' soit un nombre réel.

5555(((( (O; , )uv

est un repère orthonormal du plan P. Soit A le point d"affixe 1 et B le point d"affixe -1.

Soit F l"application de

P privé de O dans P

qui à tout point M d"affixe z distinct de O associe le point M' = F(M) d"affixe 1'z z

1. a. Soit E le point d"affixe

i3 e ; on appelle E' son image par F. Déterminer l"affixe de E' sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique. b. On note C 1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l"image de C 1 par l"application F.

2. a. Soit K le point d"affixe

5i6 2e et K' l"image de K par F. Calculer l"affixe de K'. b. Soit C 2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l"image de C 2 par l"application F.

3. On désigne par R un point d"affixe

i 1e + où θ?]-π ; π[. R appartient au cercle C 3 de centre

A et de rayon 1.

a. Montrer que 1'1z z z . En déduire que : '1 'zz+=. b. Si on considère maintenant les points d"affixe i 1e + où θ?]-π ; π[, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du a..

Exercice à préparer à la maison

6666)))) Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O; , )uv

, déterminer et représenter graphiquement l"ensemble des points M d"affixe z tels que 1quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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