Démonstration du théorème de Thalès PDF

FINALE FASCICULE MATHS 3EME ok

MATHEMATIQUES EN CLASSE DE 3EME Exprimer l'aire du triangle BCM en fonction de x. ... En utilisant le théorème de Thalès calculer l'âge m médian.

Démonstration du théorème de Thalès

Exercice 1 : Soit ABC un triangle et soit M un point du segment [BC]. Montrer que le rapport des aires des triangles ABM et ACM est égal au rapport.

Math 3 A5

CHAPITRE X : THEOREME DE THALES. Définition. Deux triangles forment une configuration de Thalès s'ils sont déterminés par deux droites sécantes qui elles à

Attendus de fin dannée

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Géométrie plane : Longueur et aire - I Théorème de Thalès et sa

Quelle est la nature du triangle AMB ? En déduire la longueur exacte de M. 3. Calculer sin Æ. ABM. En déduire une mesure de l'angle Æ.

Rappel du théorème de Thalès :

Soit ABC un triangle.

Soit M un point de (AB) et soit N un point de (AC).

Si les droites ( MN) et (BC) sont parallèles,

alors ) BC

MN ( AC

AN AB

AM X DEMONSTRATION D'EUCLIDE PAR LA METHODE DES AIRES

Remarque préliminaire 1:

L'aire d'un triangle est égale à

2 h b A ( où b représente la mesure de la base et h celle de la hauteur associée à cette base )

Propriété :

L'aire d'un triangle ne change pas lorsqu'un des VRPPHPV VH ´GpSOMŃH´ SMUMOOqOHPHQP j VRQ côté opposé. ( Même base et même hauteur )

THEME :

THALES DEMONSTRATIONS

b b b h

Remarque préliminaire 2 :

Exercice 1 :

Soit ABC un triangle et soit M un point du

segment [BC].

Montrer que le rapport des aires des

triangles ABM et ACM est égal au rapport des longueurs BM et CM

F·HVP j GLUH PRQPUHU TXH :

CM BM ACM ABMA A avec ABMA

O·MLUH GX PULMQJOH $%0 HP

ACMA

O·MLUH GX PULMQJOH $F0

L'aire du triangle ABM est égale à :

2 h BM

L'aire du triangle ACM est égale à :

2 h CM Par conséquent , le rapport des aires de ces deux triangles est égal à : ACM ABMA ACM

BM h CM 2

2 h BM h CM

2 2 h BM 2 h CM 2 h BM uu uu uuu u u

Et donc :

CM BM ACM ABMA A Donc , le rapport des aires des deux triangles est égal au rapport des longueurs de leurs bases . Remarque : En utilisant une démonstration analogue, nous avons de même : BC BM ABC ABMA A

Démonstration du théorème de Thalès

par Euclide :

Les deux droites (MN) et BC) sont parallèles .

Considérons les triangles BMN et CMN.

Ces deux triangles ont la même base [MN] et la même hauteur , donc ils ont même aire .

( le sommet B et le sommet C sont sur une parallèle à la base - cf. propriété ci-dessus )

Considérons maintenant les triangles BAN et CAM Nous avons , en écrivant, par exemple, A BAN l'aire du triangle BAN :

A BAN = A AMN + A BMN

et A CAN = A AMN + A CMN Mais nous avons démontré ci-dessus que les deux triangles BMN et CMN ont la même aire. Donc , comme A BMN = A CMN, nous pouvons écrire :

A BAN = A CAN

Les deux triangles BAN et CAM ont la même aire. Considérons les deux triangles AMC et ABC. Ces deux PULMQJOHV RQP OM PrPH OMXPHXU Ń·HVP OM GLVPMnce du point

C à la droite (AB).

En utilisant la remarque préliminaire ci-dessus ( cf.

Remarque préliminaire 2 ), nous avons :

AB AM ABC AMCA A

Considérons maintenant les deux triangles ANB et ACB. Ces deux triangles ont la même hauteur. De la même façon que précédemment, nous pouvons écrire :

AC AN ABC ABNA A

Comme les deux triangles ABN et AMC ont la même aire (cf. démonstration ci-dessus), les deux rapports sont égaux :

ABC ABN ABC AMC A A A A

Et par suite :

AN AB

AM Nous venons de démontrer le théorème de Thalès . Euclide et Pythagore Euclide Les éléments G·(XŃOLGH

F·HVP GMQV OH OLYUH 9H GH

son ouvrage Les éléments

TX·(XŃOLGH SUpVHQPM OM

première démonstration du théorème de Thalès

UNE AUTRE DEMONSTRATION

Soit ABC un triangle .

Soit E un point de [AB] et soit F un point de [AC].

Les droites ( EF) et (BC) sont parallèles.

6RLP + OH SRLQP G·LQPHUVHŃPLRQ GH la perpendiculaire à la droite (AB)

passant par F. Calculons les aires des triangles AEF, ABC et du trapèze EFCB.

Nous avons :

A AEF =

2 AF EF

A ABC =

2 AC BC

A EFCB =

FC ) BC EF (

Mais A AEF + A EFCB = A ABC ,donc :

AC BC 2

FC ) BC EF ( 2

AF EF uu

Soit 2

AC BC 2

FC ) BC EF ( AF EF uu

EF x AF+(EF+BC) x FC = BC x AC

EF x AF+ EF x FC + BC x FC = BC x AC

EF x AF+ EF x FC = BC x AC - BC x FC

EF x ( AF+ FC ) = BC x ( AC ² FC )

Or AF+ FC = AC et AC - FC = AF

Donc EF x AC = BC x AF d'où : AC

AF BC

EF D'autre part ( en appelant h la longueur de FH ) :

A AEF =

2 h AE FRPPH O·MLUH GX PULMQJOH $() HVP pJMOHPHQP pJMOH j 2 AF EF , nous avons : 2 h AE 2 AF EF ( égalité 1 ) GH PrPH O·MLUH GX PULMQJOH $%) SHX V·pŃULUH GH deux manières différentes :

A AEF =

2 h AB et A AEF = 2 AB AF

Et donc :

BC AF 2

h AB u ( égalité 2 ) I·pJMOLPp 1 SHUPHP G·pŃULUH $( [ O () [ $) HP SMU VXLPH AE

EF AF

h I·pJMOLPp 2 SHUPHP G·pŃULUH $% [ O $) [ %F HP SMU VXLPH AB

BC AF

Nous avons donc :

BC AE

EF ou encore AB

AE BC

EF x AC = BC x AF

BC AE

Nous retrouvons les rapports connus :

AF AB

AE BC

6RLP HQ RUGRQQMQP SRXU UHPURXYHU O·pŃULPXUH Oabituelle :

BC EF AC

AF AB

AE UNE AUTRE DEMONSTRATION VRXV IRUPH G·H[HUŃLŃH

Exercice 1 :

Soit OAB un triangle. Soit M un point du segment

[OA]. La parallèle à la droite (AB) passant par M coupe [OB] en N. La perpendiculaire à la droite (AB) passant par O coupe (MN) en H et (AB) en K. a)Calculer de deux manières différentes

AOK cos

( utiliser deux triangles ).

En déduire que :

OK OM

OH puis que OK

OH OA

OM b)Calculer de deux manières différentes

BOK cos

( utiliser deux triangles ).

En déduire que :

OK ON

OH , puis que OK

OH OB

ON c)Déduire des deux résultats précédents que : OB

ON OA

Nous venons de démontrer la propriété de Thalès lorsque M et N appartiennent aux côtés du triangle

OAB.

Et le troisième rapport ?

d)La parallèle à la droite (OA) passant par le point N coupe (AB) en L. Montrer que, en utilisant le résultat de la question c : BA

BL BO

BN , puis en simplifiant BA

BL - 1 BO

BN - 1

montrer que BA

AL OB

ON puis AB

MN OB

ON AB

MN OB

ON OA

Remarque : ( Classe de troisième ) Si M et N étaient respectivement sur les demi-droites [OA) et

[OB), mais pas sur les segments [OA] et [OB], la démonstration précédente serait encore correcte. Il

VXIILUMLP G·LQYHUVHU OH U{OH GHV SRLQPV $ HP % HP GHV SRLQPV 0 HP 1B

Soit OAB un triangle. Soit M un point de la demi-GURLPH G·RULJLQH 2 QH ŃRQPHQMQP SMV $B IM SMUMOOqOH j OM

droite (AB) passant par M coupe (OB) en N.

6RLHQP 0· HP 1· OHV V\PpPULTXHV GHV SRLQPV 0 HP 1 SMU UMSSRUP j 2B

0RQPUHU O·pJMOLPp GHV PURLV UMSSRUPV

N'M' OB

ON' OA

OM'

SXLVHQFRQVWDWDQWTXH20 20quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] Démonstration du théorème de Thalès

Rappel du théorème de Thalès :

Soit ABC un triangle.

Si les droites ( MN) et (BC) sont parallèles,

MN ( AC

AN AB

Remarque préliminaire 1:

L'aire d'un triangle est égale à

Propriété :

THEME :

THALES DEMONSTRATIONS

Remarque préliminaire 2 :

Exercice 1 :

Soit ABC un triangle et soit M un point du

Montrer que le rapport des aires des

F·HVP j GLUH PRQPUHU TXH :

O·MLUH GX PULMQJOH $%0 HP

O·MLUH GX PULMQJOH $F0

L'aire du triangle ABM est égale à :

L'aire du triangle ACM est égale à :

BM h CM 2

2 h BM h CM

Et donc :

Démonstration du théorème de Thalès

Les deux droites (MN) et BC) sont parallèles .

Considérons les triangles BMN et CMN.

A BAN = A AMN + A BMN

A BAN = A CAN

C à la droite (AB).

Remarque préliminaire 2 ), nous avons :

Et par suite :

AN AB

F·HVP GMQV OH OLYUH 9H GH

TX·(XŃOLGH SUpVHQPM OM

UNE AUTRE DEMONSTRATION

Soit ABC un triangle .

Les droites ( EF) et (BC) sont parallèles.

6RLP + OH SRLQP G·LQPHUVHŃPLRQ GH la perpendiculaire à la droite (AB)

Nous avons :

A AEF =

A ABC =

A EFCB =

FC ) BC EF (

Mais A AEF + A EFCB = A ABC ,donc :

AC BC 2

FC ) BC EF ( 2

AF EF uu

AC BC 2

FC ) BC EF ( AF EF uu

EF x AF+(EF+BC) x FC = BC x AC

EF x AF+ EF x FC + BC x FC = BC x AC

EF x AF+ EF x FC = BC x AC - BC x FC

EF x ( AF+ FC ) = BC x ( AC ² FC )

Or AF+ FC = AC et AC - FC = AF

AF BC

A AEF =

A AEF =

Et donc :

BC AF 2

EF AF

BC AF

Nous avons donc :

BC AE

AE BC

EF x AC = BC x AF

BC AE

Nous retrouvons les rapports connus :

AF AB

AE BC

6RLP HQ RUGRQQMQP SRXU UHPURXYHU O·pŃULPXUH Oabituelle :

AF AB

Exercice 1 :

Soit OAB un triangle. Soit M un point du segment

AOK cos

En déduire que :

OK OM

OH OA

BOK cos

En déduire que :

OK ON