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01 - Revue de la théorie des probabilités

IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes Prof:

Aaron Courville

Email:aaron.courville@umontreal.caOffice:3253 Pav. Andre Aisenstadt IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes

Revue de la théorie des probabilités

1 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités

Motivation I

Question: Pourquoi la théorie des probabilités? pourquoi fonder notre système du raisonnement sur la théorie des probabilités? Réponse: La théorie des probabilités est un cadre bien compris pour faire face à l'incertitude.

I.A une sémantique claire.

II.Offre des moyens de principe de combiner l'information et intégrer de nouveaux éléments. III.Fournit cadre de raisonnement prédictif (observations futures) et diagnostique (quantités non observées) IV.Peut soutenir l'apprentissage à partir de données.

V.Intuitif à des experts humains.

2 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités

Motivation II

Pourquoi les modèles graphiques probabilistes?

Pour le système complexe avec de nombreux composants (c.à.d. de nombreuses variables aléatoires), des représentations naïves de la probabilité conjointe sont désespérément inefficace.

Exemple: Diagnostic des patients

Les patients sont décrits par plusieurs attributs. i.Contexte: l'âge, le sexe, les antécédents médicaux, ... ii.Symptômes présentés: fièvre, pression artérielle, maux de tête, ... Les maladies sont également décrits par des attributs. i.Vecteurs ou causes: les agents pathogènes, tabagisme, ... ii.Les symptômes communs: fièvre, pression artérielle, maux de tête, ... Spécification d'une distribution de probabilité doit attribuer un numéro à chaque combinaison de valeurs de ces attributs! Exemples réels peuvent impliquer des centaines d'attributs. Idée clé: exploiter les régularités et la structure du domaine

Exploitez indépendance conditionnelle.

3 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités

Variables aléatoires

Quelle est une variable aléatoire?

Une variable aléatoire exprime un état d'incertitude.

Quelque chose qui n'est pas encore arrivé.

Une pièce de monnaie jetée montera pile ou face?

Le cancer se reproduira ou non?

Quelque chose que vous ne savez pas.

Comment la protéine repliée?

4 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités

Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète X prend des valeurs à partir d'un ensemble discret Ω X , appelé le domaine ou l'espace échantillon de X.

Ex.1: X = le rouleau d'un dé; Ω

X = {1,2,3,4,5,6}. -Ex. 2: X = nucléotide en position 1, le chromosome 1, dans une personne particulière; X = {A,C,G,T}. Ex. 3: X = un client à acheter un nouveau télé ou non; Ω X = {vrai, faux}.

Un événement est un sous-ensemble de Ω

X -e 1 = {1} correspond à un rouleau de dé de 1. -e 2 = {1,3,5} correspond à une valeur impaire sur le dé. 5 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités

Variable aléatoire discrète: probabilité

Pour une v.a. discrète X, chaque valeur x ∈ Ω X a une probabilité, que nous noterons p(X = x) ou simplement p(x). p(X) représente la fonction masse (de probabilité) (p.m.f.) pour X. -peut être considéré comme un tableau.

Pour l'exemple de dé:

Propriétés élémentaires:

6 x123456p(x) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 x?Ω X X IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités Variable aléatoire discrète: fonction de répartition Si X prend des valeurs d'un ensemble ordonné Ω X (comme les entiers), alors la fonction de répartition (c.d.f.(x)) est la suivante: Par exemple, si X représente le rouleau d'un dé, 7 x123456p(x) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 c.d.f.(x) 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 1 x p(x IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités Variable aléatoire discrète: espérance et variance

Si Ω

X est un ensemble de nombres, alors l'espérance ou la moyenne de X est:

La variance de X est:

l'écart type (standard deviation) de X est la racine carrée de la variance. 8

Var(X)=E(X

2 )-(E(X)) 2 x?Ω X x 2 p(x) x?Ω X xp(x) 2 E(X)= x?Ω X xp(x) IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités

Exemple d'espérance et la variance: Dé

X représente la valeur indiquée sur le dé; Ω X = {1,2,3,4,5,6}.

Espérance de X:

Variance:

9 E(x)= 6 x=1 xp(x) 6 x=1 x 1 6 =3.5

Var(X)=E(X

2 )-(E(X)) 2 6 x=1 x 2 1 6 -(3.5) 2 91
6 -12.25 ≈2.92 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités

Variables aléatoires réelles

Une variable aléatoireX prend des valeurs réelles. -X = le niveau d'expression d'un gène tel que rapporté par un micromatrice. -X = prix payé pour une maison. -X = la taille d'une tumeur. Tous les v.a. réelles X ont des fonctions de répartitions

Propriétés élémentaires:

-lim x → -∞ c.d.f.(x) = 0. -lim x → +∞ c.d.f.(x) = 1. 10 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités Variables aléatoires réelles: Fonctions de densité de probabilité Si c.d.f.(x) est continue et dérivable alors sa dérivée est la fonction de densité de probabilité (p.d.f.(x)), analogue à la fonction masse d'une v.a. discrète:

Propriétés élémentaires:

(similaire à v.a. discrète) -Remarque: pas tous les v.a. réelles ont des p.d.f.'s, si le c.d.f.(x) n'est pas continue, le p.d.f.(x) n'existe pas. 11 d dx c.d.f.(x)=p(x) x p(x)dx=1 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes01 - Revue de la théorie des probabilités Variables aléatoires réelles: espérance et variance

Nous allons surtout supposer la p.d.f.(x) existe.

Dans ce cas, l'espérance ou moyenne est définie comme:

Et la variance est définie comme:

12 E(X)= x xp(x)dx

Var(X)=E(X

2 )-(E(X)) 2 x x 2 p(x)dx x xp(x)dxquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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