[PDF] Distributions de plusieurs variables PDF

Distributions de plusieurs variables

8 mai 2008 1. Distributions conjointes. Comment généraliser les fonctions de probabilité et de densité `a plus d'une variable aléatoire ?

Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l

La loi conjointe du couple (X Y ) est donnée par (X

6 Lois `a densité

(i) X et Y sont-elles indépendantes ? (ii) Déterminer la loi marginale de Y . (iii) Calculer P(X > 1

SY01 - Éléments de probabilités

comment calculer P(X ? B) lorsque f est connue. Soit (X Y ) un couple de v.a.r. de densité conjointe f. On note fX la densité.

Probabilités

et B notée p(A ? B) et s'énonçant probabilité de A et B. Le calcul de cette ou fonction de densité conjointe des variables aléatoires X et Y

Espérance variance

https://www.unige.ch/math/mgene/cours/slides8.pdf

Chapitre 1 Intégrales doubles et probabilités

montrer comment calculer des intégrales doubles dans ce cas. Exemple 3. Soit un couple de variables aléatoires (X Y ) de densité conjointe donnée par.

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20 mai 2019 La loi de U est dite loi beta prime de param`etres a et b. En plus U et V sont indépendantes

Probabilités continues

Quelle est la loi de X ? Comment peut-on la représenter graphiquement ? Calculer la loi d'une variable `a densité c'est calculer sa densité !

Exercices corrigés

Déterminer la densité de probabilité conjointe du couple (UV ). 2. En déduire les lois marginales de U et V . 3. Calculer les matrices de covariance de

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1 1 Loi conjointe On se donne X et Y deux variables aléatoires discr`etes avec X(?) = {xii ? N} et Y (?) = {yjj ? N} La loi conjointe du couple (X

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8 mai 2008 · Comment trouver les distributions marginales de X et de Y `a partir de la distribution conjointe de (X Y )? Cas discret P(X = x) = ? y P(X =

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Couples de variables aléatoires possdant une densité Covariance Exemples d'utilisation Corrigé partiel des exercices Exercice 1 (Algorithme de Box–Müller)

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Soient deux variables aléatoires X et Y dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant : 1 Déterminer les lois marginales de X et de Y 2 Calculer E[X]

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Si l'on souhaite donner une densité fZ de Z en utilisant le lemme on peut prendre fZ(t) = { 0 si t < 0 2?e?2?t si t ? 0 Le calcul de la loi de Z

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Donnons un exemple de calcul de marginales à partir de la loi du couple Exemple Avant de définir ce qu'est une densité de probabilité dans le cas d'un

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(i) X et Y sont-elles indépendantes ? (ii) Déterminer la loi marginale de Y (iii) Calculer P(X > 1 Y > 1) Corrigé (i) La densité jointe n

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et B notée p(A ? B) et s'énonçant probabilité de A et B Le calcul de cette ou fonction de densité conjointe des variables aléatoires X et Y

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20 mai 2019 · La loi de U est dite loi beta prime de param`etres a et b En plus U et V sont indépendantes car la densité jointe se factorise 2 Soit h : R

Comment calculer la probabilité conjointe ?
formule générale : P(A ou B) = P(A) + P(B) -? P(A et B)
Comment calculer la densité de probabilité ?
La fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I=\\left[ a;b \\right] si et seulement si f est continue et positive ou nulle sur I, et si \\int_a^bf\\left(x\\right) dx= 1.
Comment calculer la loi du couple ?
La loi du couple (X,Y), appelée loi de probabilité simultanée ou loi conjointe, est la loi de la variable aléatoire Z définie par l'ensemble des nombres pij, (0 ? pij < 1) tels que : pij = Pr(X = xi ? Y = yi).
On trouve la densité marginale en appliquant la formule du cours (par intégration). Remarquons que X X est à valeurs dans [0,1] [ 0 , 1 ] , et donc que pX(x)=0 p X ( x ) = 0 si x?[0,1] x ? [ 0 , 1 ] . Si x?[0,1] x ? [ 0 , 1 ] , on en déduit pX(x)=?+???pX,Y(x,y)dy=?1?x02dy=2(1?x).

Distributions de plusieurs

variables

Mathematiques Generales B

Universite de Geneve

Sylvain Sardy

8 mai 2008

1. Distributions conjointes

Comment generaliser les fonctions de probabilite et de densite a plus d'une variable aleatoire?

Variables aleatoires discretes:

Considerons 2 variables discretes :X=utilite des mathematiques etY= branche d'etude.XnYPharma SdlT Bio ChimieTotal

Math15 2 16 831

Math219 4 24 1259

Math32 2 6 414

Total26 8 46 24104

Tableau de contingence (2007)Distributions

XnYPharma SdlT Bio ChimieTotal

Math10.05 0.02 0.15 0.080.30

Math20.18 0.04 0.23 0.120.57

Math30.02 0.02 0.06 0.040.13

Total0.25 0.08 0.44 0.231

Tableau de probabilite

La probabilite conjointe est simplement donnee par un tableau de probabilites, ou

P(X = i;Y = j) = pijpour tout(i;j)

pour deux variables. Pour trois variables, il faut denir : P(X = i;Y = j;Z = k) = pijkpour tout(i;j;k):Distributions 3 Variables aleatoires continues: deux variables aleatoiresX=taille etY= poids ont unefonction de densite conjointesi

P((X;Y)2A) =Z Z

A f(x;y) dx dy; ouf(x;y)>0etR Rf(x;y)dx dy= 1.

Exemple :

f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinon

Est-ce bien une fonction de densite?

Exemple : Distribution uniforme bivariee sur un carre, un disque, ...Distributions 4y x f(x,y)Fonction de densite a deux variables.

Distributions

5 Il est aussi possible de denir unefonction de repartition conjointe

F(x;y) = P(X6x;Y6y)

pour deux variables. Il est facile de generaliser an>2variables. La fonction de densite conjointe s'obtient de la fonction de repartition en dierenciant@2F@x@y =f pourn= 2.Distributions 6 Exemple : On tire deux boules sans remise d'une urne qui contient 8 Rouge,

6 Bleue et 4 Verte. SoitX=le nombre de boules Rouge etY=le nombre de

boules Bleue. Trouver la distribution conjointe deXetY.

XnY0 1 2

06 153
24153
15153
132
153
48153
0228
153
0

0 Distributions

7 Exemple : Soit deux variables aleatoiresXetYde densitef(x;y) =c(x+y) sur[0;1][0;1]. (1) Que vautc? (2) Que vautP(X<1=2)? (etP(X61=2)?) (3) Que vautP(X + Y<1)? (1) (2)P(X<1=2) = P(X<1=2;Y2[0;1]) =R1=2 0R 1

0(x + y) dy dx =

(3)P(X + Y<1) = P(X<1Y;Y2[0;1]) =R1 0R 1y

0(x + y) dx dy =Distributions

2. Distributions marginales

Comment trouver lesdistributions marginalesdeXet deYa partir de la distribution conjointe de(X;Y)?

Cas discret

P(X = x) =

X yP(X = x;Y = y) est la distribution marginale deX.

P(Y = y) =

X xP(X = x;Y = y) est la distribution marginale deY.Distributions 9

Exemple :XnYPharma SdlT Bio ChimieP(X = x)

Math10.05 0.02 0.15 0.080.30

Math20.18 0.04 0.23 0.120.57

Math30.02 0.02 0.06 0.040.13

P(Y = y)0.25 0.08 0.44 0.231

Tableau de probabiliteDistributions

Exemple :

XnY0 1 2P(X = x)

06 153
24153

1515345

153
132
153
48153
080
153
228
153
0 0 :::

P(Y = y):::

72153

Distributions

Cas continu

X(x) =Z

f(x;y)dy est la distribution marginale deX. f

Y(y) =Z

f(x;y)dx est la distribution marginale deY. Cela denit-il bien des fonctions de densite?Distributions 12

Exemple :

f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinon

On trouve :

X(x)= Z

f(x;y)dy=Z 1 x exp(y)dy= exp(x) f

Y(y)= Distributions

130246810

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x f(x)

Densité marginale X

0246810

0.0 0.1 0.2 0.3 y f(y) Densité marginale YFonctions de densite marginale.

Distributions

3. Independance

Denition

Deux v.a.XetYsontindependantessi pour tout ensembleAetBon a

P(X2A;Y2B) = P(X2A)P(Y2B):

On peut demontrer que cette denition est equivalente a :

Cas disc ret:

P(X = x;Y = y) = P(X = x)P(Y = y)

Cas c ontinu:

f (X;Y)(x;y) =fX(x)fY(y) pour toutx;y.Distributions 15

Exemple :

XnY0 1 2P(X = x)

06 153
24153

1515345

153
132
153
48153
080
153
228
153
0 0 28

153P(Y = y):::

72153

Puisque

P(X = 2;Y = 2)6= P(X = 2)P(Y = 2);

on deduit queXetYne sont pas independantes.Distributions 16

Exemple :

f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinon

On a trouve :

X(x)= Z

f(x;y)dy=Z 1 x exp(y)dy= exp(x) f

Y(y)= yexp(y)

DoncXetYne peuvent pas ^etre independantes.

Exemple :(X;Y)a pour densite conjointef(x;y) = (x+y)2(xy)2sur [0;1]2. Les v.a.XetYsont-elles independantes?Distributions 17

4. Somme de deux v.a. independantes

Soit 2 v.a.XetY. On s'interesse a la distribution de leur sommeS=X+Y. D'une maniere generale, c'est un probleme dicile. En supposant queXetY sont independantes, le probleme est parfois simplie.

Cas discret

P(S = s)

P(X + Y = s)

=X xP(X = x;Y = sx) X xP(X = x)P(Y = sx):Distributions 18 Exemple :XPoi()etYPoi()sont independantes. Peut-on dire quelque chose deS=X+Y? PuisqueP(X = j) = 0quandj <0, etP(Y = kj) = 0quandj > k

P(X + Y = k)

kX j=0P(X = j)P(Y = kj) kX j=0exp()jj!exp()kj(kj)! exp( (+))1k!kquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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Comment calculer la probabilité conjointe ?

Comment calculer la densité de probabilité ?

Comment calculer la loi du couple ?

Distributions de plusieurs

Mathematiques Generales B

Universite de Geneve

Sylvain Sardy

8 mai 2008

1. Distributions conjointes

Variables aleatoires discretes:

Math15 2 16 831

Math219 4 24 1259

Math32 2 6 414

Total26 8 46 24104

Tableau de contingence (2007)Distributions

XnYPharma SdlT Bio ChimieTotal

Math10.05 0.02 0.15 0.080.30

Math20.18 0.04 0.23 0.120.57

Math30.02 0.02 0.06 0.040.13

Total0.25 0.08 0.44 0.231

Tableau de probabilite

P(X = i;Y = j) = pijpour tout(i;j)

P((X;Y)2A) =Z Z

Exemple :

Est-ce bien une fonction de densite?

Distributions

F(x;y) = P(X6x;Y6y)

6 Bleue et 4 Verte. SoitX=le nombre de boules Rouge etY=le nombre de

XnY0 1 2

0 Distributions

0(x + y) dy dx =

0(x + y) dx dy =Distributions

2. Distributions marginales

Cas discret

P(X = x) =

P(Y = y) =

Exemple :XnYPharma SdlT Bio ChimieP(X = x)

Math10.05 0.02 0.15 0.080.30

Math20.18 0.04 0.23 0.120.57

Math30.02 0.02 0.06 0.040.13

P(Y = y)0.25 0.08 0.44 0.231

Tableau de probabiliteDistributions

Exemple :

XnY0 1 2P(X = x)

1515345

P(Y = y):::

Distributions

Cas continu

X(x) =Z

Y(y) =Z

Exemple :

On trouve :

X(x)= Z

Y(y)= Distributions

130246810

Densité marginale X

0246810

Distributions

3. Independance

Denition

P(X2A;Y2B) = P(X2A)P(Y2B):

Cas disc ret:

P(X = x;Y = y) = P(X = x)P(Y = y)

Cas c ontinu:

Exemple :

XnY0 1 2P(X = x)

1515345

153P(Y = y):::

Puisque

P(X = 2;Y = 2)6= P(X = 2)P(Y = 2);

Exemple :

On a trouve :

X(x)= Z

Y(y)= yexp(y)

DoncXetYne peuvent pas ^etre independantes.

4. Somme de deux v.a. independantes

Cas discret

P(S = s)

P(X + Y = s)