Probabilités
1.3.1 Solution de l'exemple 1 par probabilités conditionnelles Si la loi de probabilité conjointe du couple (X Y ) est présentée dans un tableau `a ...
Distributions de plusieurs variables
8 may. 2008 La probabilité conjointe est simplement donnée par un tableau de ... Exemple : Soit deux variables aléatoires X et Y de densité f(x ...
Probabilité conjointe
Probabilités conjointes : probabilité d'une assigna-on de toutes la variables Con nues : le domaine est con-nu (par exemple l'ensemble des réels).
CALCUL DE PROBABILITÉS CONJOINTES DE DEUX VARIABLES
Donc si on considère X comme le débit maximum annuel d'une rivière
Rappels en probabilité (utiles en statistique bayésienne)
Proposer un modèle probabiliste (i.e. une loi de probabilité jointe) permettant de Aléa lié par exemple à l'occurrence ou non d'embouteillages
4. Vecteurs aléatoires discrets
masse conjointe est pour tout (x
MODÉLISATION DES RISQUES COMBINÉS
probabilité conjointe des variables aléatoires X et Y dont la Pour l'exemple que nous avons choisi le point d'intérêt se situe sur le fleuve ...
Revue de la théorie des probabilités
variables aléatoires) des représentations naïves de la probabilité conjointe sont désespérément inefficace. • Exemple: Diagnostic des patients.
Corrigé - Série 4 Lois conjointes et tableaux de fréquences `a
ginales n'est pas toujours égal `a la probabilité conjointe correspondante. Contre-exemple : p22 = 0 ce qui n'égale pas p2•p•2 = 6×78.
Probabilités et Statistique
a ainsi par exemple
[PDF] Probabilité conjointe
Probabilité conjointe ? Probabilités conjointes : probabilité d'une assigna-on de toutes la variables ? P(Inconnu=vrai MotSensible=vrai Pourriel=vrai)
[PDF] Probabilités
Si la loi de probabilité conjointe du couple (X Y ) est présentée dans un tableau `a double entrée nous obtiendrons la loi de probabilité marginale fX de X en
[PDF] CALCUL DE PROBABILITÉS CONJOINTES DE DEUX VARIABLES
CALCUL DE PROBABILITES CONJOINTES DE DEUX VARIABLES PROVENANT DE DEUX LOIS DE PROBABILITE DIFFERENTES Le but de cette étude consiste à établir une
[PDF] Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l
Exemple 1 : Fixons p ?]01[ et ? > 0 et considérons le couple de variables aléatoires (X Y ) `a valeurs dans {01} × N dont la loi est donnée par : P(X = 0Y
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8 mai 2008 · La probabilité conjointe est simplement donnée par un tableau de Exemple : Soit deux variables aléatoires X et Y de densité f(x
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ginales n'est pas toujours égal `a la probabilité conjointe correspondante Contre-exemple : p22 = 0 ce qui n'égale pas p2•p•2 = 6×78
[PDF] Étude dun couple de variables aléatoires discrètes :
La loi du couple (XY) appelée loi de probabilité simultanée ou loi conjointe est la loi de la variable aléatoire Z définie par l'ensemble des nombres pij (0
[PDF] Couples de variables aléatoires discrètes 1 Loi dun - Normale Sup
14 mai 2010 · Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires c'est-à-dire l'étude
[PDF] TD01- COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES ET
Leur loi de probabilité conjointe est définie par le tableau suivant : 1 Compléter ce tableau 2 Calculer les probabilités P(X ? 2 et Y ? 3) et P(
[PDF] 2 Couples de variables aléatoires - Fontaine Maths
La somme de toutes les probabilités est toujours égale à 1 Exemple 2 5 – Donner la loi conjointe des couples (XY ) dans les deux exemples précédents
Comment calculer la probabilité conjointe ?
formule générale : P(A ou B) = P(A) + P(B) -? P(A et B)C'est quoi la loi conjointe ?
La loi du couple (X,Y), appelée loi de probabilité simultanée ou loi conjointe, est la loi de la variable aléatoire Z définie par l'ensemble des nombres pij, (0 ? pij < 1) tels que : pij = Pr(X = xi ? Y = yi).Comment calculer la probabilité exemple ?
La formule pour calculer la probabilité d'un événement est la suivante.
1Probabilité = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles.2Solution :3Réponse : La probabilité d'obtenir un nombre inférieur à 5 est de 2/3.4Solution :5Réponse : La probabilité d'obtenir une somme de 9 est donc de 1/9.- La loi du couple (X, Y ) est définie par l'ensemble des probabilités : P(X = x, Y = y) avec x ? DX et y ? DY .
![Probabilités Probabilités](https://pdfprof.com/Listes/17/57339-17probabilites.pdf.pdf.jpg)
Chapitre 1Probabilit´es1.1 D´enombrement : motivation1.1.1 Calculer une probabilit´e par d´enombrementExemple 1Je tire au hasard 2 ´etudiants parmi les 57 pr´esents dans la salle. Il y a
Groupe 3Groupe 4TOTAL
Filles31013
Gar¸cons251944
TOTAL282957
Quelle est la probabilit´e que j"aie tir´e 1 ´etudiant(e) dechaque genre et 1 ´etudiant(e) de chaque
groupe. Au total, il y a 57×56 = 3192arrangementsde 2 ´etudiant(e)s parmi 57. On consid`ere que tous ces arrangements sont ´equiprobables. Les arrangements favorables sont de la forme (F3,G4), (F4,G3), (G3,F4) et (G4,F3). Donc l"ensembleEdes arrangements favorables est la r´eunion de 4 sous-ensembles disjointsA,B,Cet D. cardA= card{filles du groupe 3} ×card{gar¸cons du groupe 4}= 3×19 = 357, cardB= card{filles du groupe 4} ×card{gar¸cons du groupe 3}= 10×25 = 250, cardC= card{gar¸cons du groupe 3} ×card{filles du groupe 4}= 25×10 = 250, cardD= card{gar¸cons du groupe 4} ×card{filles du groupe 3}= 19×3 = 357. D"o`u cardE= 357+250+250+357 = 1214. La probabilit´e de tirer 1 ´etudiant(e) de chaque genre et 1 ´etudiant(e) de chaque groupe vautP(E) =nombre de cas favorables
nombre de cas possibles=12143192= 0.38.Remarque 2Autre m´ethode.
On aurait pu ´ecrireE=H?Io`uH={la fille tir´ee est du groupe 3}etI={la fille tir´ee est du groupe 4}. Il y a deux ordres possibles (fille en premier, gar¸con en premier). On compte les arrangements qui commencent avec la fille en premier (il y en a357 dansH, 250 dansI) donc le nombre total est cardH= 2×357, cardI= 2×250Exemple 3G´en´eralisation. Probabilit´e pour qu"en tirant 3 ´etudiants au hasard, on tire exactement
1 fille et exactement 1 ´etudiant(e) du groupe 3.
12CHAPITRE 1. PROBABILIT´ES
Le nombre d"arrangementsde 3´etudiant(e)s parmi 57 est 57×56×55 = 175560.SoitE={tirages avec exactement 1 fille et exactement 1 ´etudiant(e) du groupe 3}. SoitHle sous-ensemble deEform´e des tirages dans lesquels la fille est du groupe 3. Former un ´el´ement deH, c"est choisir
d"abord la fille dans le groupe 3, puis choisir un gar¸con dansle groupe 4, puis choisir un autregar¸con (distinct du premier) dans le groupe 4, puis choisirl"ordre dans lequel ils vont sortir (il y
en a autant que depermutationsde 3 personnes, soit 6). Par cons´equent,P(H) = 3×19×18×6 = 6156.
SoitIle sous-ensemble deEform´e des tirages dans lesquels la fille est du groupe 4. Former un´el´ement deI, c"est choisir d"abord la fille dans le groupe 4, puis choisirun gar¸con dans le groupe
3, puis choisir un gar¸con dans le groupe 4, puis choisir l"ordre dans lequel ils vont sortir (il y en a
autant que depermutationsde 3 personnes, soit 6). Par cons´equent,P(I) = 10×25×19×6 = 28500.
CommeHetIsont disjoints etE=H?I,
cardE= cardH+ cardI= 6156 + 28500 = 34656. D"o`uP(E) =nombre de cas favorables
nombre de cas possibles=34656175560= 0.197.Remarque 4Autre m´ethode.
Au lieu des compter des arrangements, on compte des paires oudes triplets non ordonn´es (on parleplus g´en´eralement decombinaisons), puisque l"ordre dans lequel les individus sont tir´es n"apas
d"importance. PosonsO?={combinaisons de 3 individus parmi 57}, i.e. cardO?=57×56×556= 29260. L"en-
semble qui nous int´eresse estE?={combinaisons de 3 individus parmi 57 comportant exactement1 fille et 1 groupe 3}. AlorsH?={combinaisons de 3 individus dont 1 fille du groupe 3 et 2 gar¸cons
du groupe 4}a 3×19×18 = 1026 ´el´ements. De mˆeme,I?={combinaisons de 3 individus dont 1
fille du groupe 4 et 1 gar¸con de chaque groupe}a 10×25×19 = 4750 ´el´ements. Il vient
cardE?= cardH?+ cardI?= 1026+ 4750 = 5776,P(E) =nombre de cas favorables
nombre de cas possibles=577629260= 0.197.1.2 Techniques de d´enombrement
1.2.1 Diagrammes arborescents ou arbres
Exemple 5On consid`ere une urne qui contient deux boules rouges, deuxnoires et une verte. Ontire deux boules sans remise. Il s"agit d"une exp´erience `adeux ´etapes o`u les diff´erentes possibilit´es
qui peuvent survenir sont repr´esent´ees par un arbre horizontal.On obtient trois branches principales et trois branches secondaires pour chaque ´etape sauf pour le
cas o`u une verte a ´et´e tir´ee en premier. Le nombre de branches terminales de cet arbre donne le nombred"´el´ements de l"univers. V R N VR N V R N V N1.2. TECHNIQUES DE D´ENOMBREMENT3
Lorsqu"on rencontre beaucoup d"´etapes dans une exp´erience et de nombreuses possibilit´es `a
chaque ´etape, l"arbre associ´e `a l"exp´erience devient trop complexe pour ˆetre analys´e. Ces probl`emes
se simplifient `a l"aide de formules alg´ebriques, comme on va le voir. La d´emonstration de ces formules repose sur le fait que dansle cas d"une exp´erience `a deux ´etapes, par exemple, un arbre qui auraitrbranches principales etsbranches secondaires com- men¸cant `a partir desrbranches principales aurarsbranches terminales.1.2.2 Arrangements et permutations
Envisageons un ensemble denobjets diff´erents. Choisissons maintenantrde cesnobjets et ordonnons les.D´efinition 6Une disposition ordonn´ee derobjets distincts pris parminest appel´eearrangement
Combien y en a-t-il?
Pour compter le nombre total d"arrangements derobjets pris parmin, il suffit de consid´ererlesrpositions comme fix´ees et de compter le nombre de fa¸cons dont on peut choisir les objets pour
les placer dans cesrpositions. C"est une exp´erience `ar´etapes o`u l"on applique la technique du
paragraphe pr´ec´edent. Pour la premi`ere position, on anchoix possibles. Pour la deuxi`eme position,
on an-1 choix possibles... Pour lar-i`eme position, on an-r+ 1 choix possibles. Si on d´esigne parArnle nombre total d"arrangements cherch´es, l"arbre auraArnbranches terminales. On conclutProposition 7
A r n=n(n-1)(n-2)···(n-r+ 1) =n! (n-r)!. Rappel 8n!(lire "factoriellen") est le produit de tous les entiers jusqu"`an,n! =n(n-1)(n-2)···3.2.1. Par convention,0! = 1.
Exemple 9Les arrangements de deux lettres prises parmi 4 lettres{a,b,c,d}sont au nombre de A 2 4=4!2!= 12. Ce sont :(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,b),(c,d),(d,a),(d,b),(d,c).
Cas particulier:r=nIl s"agit d"ordonnernobjets entre eux, c"est-`a-dire d"effectuer une permutation de ces n objets.D´efinition 10Une permutation den´el´ements est une disposition ordonn´ee de cesn´el´ements.
Proposition 11Les permutations den´el´ements sont au nombre deAnn=n!.1.2.3 Combinaisons
D´efinition 12Un choix derobjets distincts pris parminsans tenir compte de leur ordre est appel´e combinaison derobjets pris parmin. Dans l"exemple pr´ec´edent correspondant `a l"ensemble des quatre lettres{a,b,c,d}, la combi- naison{a,b}est la mˆeme que la combinaison{b,a}alors que l"arrangement (a,b) est diff´erent de l"arrangement (b,a). Combien y en a-t-il? Le nombre total de combinaisons derobjets pris parminest not´eCrnou?r n? . Pour trouver l"expression de?r n? , comparons le nombre d"arrangements et de combinaisons possibles derobjets pris parmin. - Dans un arrangement on choisitrobjets, puis on tient compte de leur ordre. - Dans une combinaison seul le choix desrobjets compte. Comme le nombre de fa¸cons d"or- donner lesrobjets choisis estr!, on conclut qu"`a chaque combinaison derobjets pris parmi n, on peut associerr! arrangements et donc qu"il y ar! fois plus d"arrangements que de combinaisons.4CHAPITRE 1. PROBABILIT´ES
On conclut
Proposition 13
?r n? =Arn r!=n(n-1)(n-2)···(n-r+ 1)r!=n!r!(n-r)!. Exemple 14Le nombre de combinaisons de deux lettres prises parmi quatre{a,b,c,d}est?24? 4!2!2!= 6. Ce sont :{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}.
1.2.4 Permutations lorsque certains ´el´ements sont semblables
Dans les paragraphes pr´ec´edents, on a suppos´e que lesnobjets ´etaient tous diff´erents. Il arrive
parfois que lesnobjets en contiennent un certain nombre qui sont indiscernables. Supposons qu"il n"y ait queksortes d"objets distincts sur lesnobjets. Il y a -n1objets de la 1-`ere sorte, -n2objets de la 2-`eme sorte.... -nkobjets de lak-`eme sorte.On a bien sˆurn1+n2+···+nk=n.
Pour d´eterminer le nombre total de permutations distinctes, comparons ce nombre cherch´ePavec le nombre obtenu si on supposait les objets diff´erenci´es. Pla¸cons nous dans le cas de l"exemple
suivant : On cherche le nombre d"anagrammes du motPROBABILITE. Choisissons un de ces anagrammes : le plus simple estPROBABILITE.- Si on diff´erencie les lettresB, cette disposition peut provenirdes deux permutationsPROB1AB2ILITE
ouPROB2AB1ILITE, soit 2! possibilit´es.- Si on diff´erencie les lettresI, cette disposition peut provenirdes deux permutationsPROBABI1LI2TE
ouPROBABI2LI1TE, soit encore 2! possibilit´es A un anagramme correspond donc 2!×2! = 4 permutations, ce qui signifie qu"il y a 4 fois plus de permutations que d"anagrammes. Le motPROBABILITEcomprend 11 lettres. Il y a 11! permutations possibles. On a donc 11!2!2!= 9979200 anagrammes possibles.
Cas g´en´eral. La diff´erenciation desn1premiers objets donneran1! fois plus d"´el´ements que
ce qu"on cherche, la diff´erenciation desn2premiers objets donneran2! fois plus d"´el´ements que
ce qu"on cherche, et finalement on trouve quen! estn1!n2!···nk! fois plus grand que le nombre
cherch´eP. On conclut Proposition 15Le nombre d"anagrammes d"un mot denlettres, comportant seulementk < n lettres distinctes, en nombresn1,...,nkest P=n! n1!n2!···nk!.1.2.5 Cas ou les ´el´ements ne sont pas obligatoirement distincts
Combien y a-t-il de mani`eres de choisirr´el´ements parminde fa¸con ordonn´ee en n"imposant
pas qu"ils soient tous distincts les uns des autres? En 1`ere position, il y anchoix possibles. En 2`eme position, il y a encorenchoix possibles... Enr`eme position, il y a toujoursnchoix possibles.Conclusion : Il y a doncnrchoix pour les r ´el´ements (rpeut ˆetre sup´erieur `andans ce cas).
1.3. PROBABILIT´ES : MOTIVATION5
1.2.6 R´ecapitulation
ConditionsLe nombre detirages possiblesest le nombre de :Un exemple usuelp≥nlesp´el´ements nesont pasn´ecessairementtous distincts maissont ordonn´esp-listes d"´el´ementsde E, soit :nptirages successifsavec remise depobjets parmin.
p < nlesp´el´ements sonttous distincts etordonn´esarrangements dep´el´ements deE,soit :Apntirages successifssans remise depobjets parmin.
p=nlesn´el´ements sonttous distincts etordonn´espermutations desn´el´ements deE,soit :n!anagrammes d"unmot form´e delettres toutesdistinctes.
p < nlesp´el´ements sonttous distincts etnon ordonn´escombinaisons dep´el´ements de E, soit?p
n?tirages simultan´esdepobjets parmin.1.3 Probabilit´es : motivation
1.3.1 Solution de l"exemple 1 par probabilit´es conditionnelles
On note Ω l"ensemble des arrangements de 2 ´etudiants parmi 57, muni de la probabilit´e uni-
forme. La probabilit´e de l"´ev`enementA, c"est la probabilit´e de tirer en premier une fille du groupe
3, soit 3/57, multipli´ee par la probabilit´e, sachant qu"on a dej`a tir´e une fille du groupe 3, de tirer
un gar¸con du groupe 4, soitP(A) =P(F3)×P(G4|F3) =3
57×P(G4|F3).
Or une fois qu"on a tir´e une fille du groupe 3, il reste `a tirerun ´etudiant dans un paquet de 56 qui
compte 19 gar¸cons du groupe 4, doncP(G4|F3) =1956. Il vientP(A) =3×1957×56=3573192. Idem pour
B,CetD. Donc
P(E) =357
3192+2503192+2503192+3573192=12143192= 0.38.
En fait, on a not´eF3 l"´ev`enement{le premier tirage est une fille du groupe 3}etG4 l"´ev`enement
{le second tirage est un gar¸con du groupe 4}. AlorsA=F3∩G4, et on a utilis´e le principeP(F3∩G4) =P(F3)×P(G4|F3).
Exemple 16Quelle est la probabilit´e que tous les ´etudiants dans la salle aient des dates d"anni-
versaires distinctes?On fait l"hypoth`ese que les dates d"anniversaires des 57 ´etudiants sont ind´ependantes et que
pour chaque ´etudiant, toutes les dates de 1 `a 365 sont ´equiprobables. Soit Ω ={listes de 57 dates d"anniversaire}. Alors cardΩ = 36557= 10146. SoitE={listes de57 dates d"anniversaires toutes distinctes}={arrangements de 57 dates parmi 365}. D"o`u
P(E) =A57365
36557= 0.00988.
On peut aussi raisonner par probabilit´es conditionnelles. SoitAnl"´ev`enement{lesnpremi`eresdates sont distinctes}etBnl"´ev`enement{lan-`eme est distincte desn-1 dates pr´ec´edentes}. Alors
6CHAPITRE 1. PROBABILIT´ES
A n=Bn∩An-1, etP(Bn|An-1) =365-n+1365, d"o`u
P(An) =P(Bn∩An-1)
=P(An-1)×P(Bn|An-1) =P(An-1)×365-n+ 1 365365-1
365···365-n+ 2365365-n+ 1365.
On conclut carE=A57= 0.00988.
1.4 Probabilit´e sur un ensemble fini
1.4.1 Ev`enement al´eatoire
Historiquement, la notion de probabilit´e s"est d´egag´ee`a partir d"exemples simples emprunt´es
aux jeux de hasard (le mot hasard vient de l"arabeaz-zahr: le d´e). Nous allons introduire cette notion en l"associant `a un exemple : le jeu de d´e.D´EFINITIONSEXEMPLE
Une exp´erience al´eatoire est uneexp´erience dont on ne peutpr´evoir le r´esultat.L"exp´erience est le jet d"un d´ecubique ordinaire. Le r´esultat del"exp´erience est le nombreindiqu´e sur la face sup´erieure dud´e.
On peut alors lui associer alorsun univers appel´e aussiensemble fondamental del"exp´erience qui est l"ensemblede tous les r´esultats possibles del"exp´erience al´eatoire. On lenote Ω.Ω ={1,2,3,4,5,6}.
Un ´ev´enement al´eatoire est unsous-ensemble de Ω.L"´ev´enementobtenir un nombrepairest le sous-ensembleA={2,4,5}de Ω.
On dit que l"´ev´enementAestr´ealis´e si le r´esultat del"exp´erience appartient `aA.Si la face sup´erieure du d´eindique 5,An"est pas r´ealis´e. Sielle indique 4,Aest r´ealis´e.
Si un ´ev´enement ne contientqu"un seul ´el´ement, on dit quec"est un ´ev´enement ´el´ementaire.B={1}est un des 5´ev´enements ´el´ementaires de Ω.
1.4.2 De la fr´equence `a la probabilit´e de r´ealisation d"un ´ev`enement
al´eatoireLa fr´equence th´eorique d"un ´ev´enement est la limite de la fr´equence de r´ealisation de cet
´ev´enement lorsque le nombre de r´ep´etitions d"une mˆemeexp´erience tend vers l"infini (c"est ce
qu"exprime une des lois de la th´eorie des probabilit´es appel´ee la loi faible des grands nombres).
Cela signifie que si l"on veut connaˆıtre la fr´equence th´eorique d"apparition du nombre 6 dans
notre jet de d´e, il suffit de le lancer un grand nombre de fois, 10000 par exemple. La fr´equence
th´eorique cherch´ee, que l"on appellera probabilit´e de r´ealisation de l"´ev´enement ´el´ementaire{6},
sera tr`es voisine de la fr´equence exp´erimentale d"apparition du nombre 6 au cours de nos 10000
lancers. Elle sera encore plus voisine de la fr´equence exp´erimentale obtenue lors de 100000 lancers.
Le grand nombre de r´ep´etitions de l"exp´erience al´eatoire efface la notion de "chance".
La notion de fr´equence th´eorique ou de probabilit´e va permettre d"indiquer si, lors d"une
exp´erience al´eatoire, un ´ev´enement donn´e est plus ou moins susceptible d"ˆetre r´ealis´e.
Les probabilit´es peuvent ˆetre class´ees suivant trois crit`eres :- Une probabilit´e `a priori est une probabilit´e d´etermin´ee `a l"avance, sans effectuer aucune
exp´erience.1.4. PROBABILIT´E SUR UN ENSEMBLE FINI7
Exemple. On peut `a priori accorder une probabilit´e de 0.5 `a ´ev´enement qui consiste `a obtenir
le cˆot´e face d"une pi`ece de monnaie non truqu´ee.- La probabilit´e empirique d"un ´ev´enement est d´etermin´ee `a l"aide de l"observation et de
l"exp´erimentation. C"est la valeur limite de la fr´equence de r´ealisation de ´ev´enement lorsque
l"exp´erience est r´ealis´ee un tr`es grand nombre de fois. Exemple. Si lorsqu"on a lanc´e la pi`ece de monnaie 10000 fois on constate que la fr´equencedu cˆot´e face se stabilise autour de 0.65, il faut envisagerde r´eviser notre probabilit´e `a priori
et conclure que la pi`ece est truqu´ee. Ce type de probabilit´e joue un rˆole important pour les
pr´evisions d"articles en stock chez un d´etaillant, pour le calcul des primes des compagnies d"assurances, etc...- La probabilit´e subjective est le dernier type de probabilit´e. Elle intervient lorsqu"il est im-
possible d"´etablir une probabilit´e `a priori ou une probabilit´e empirique. Exemple. Le directeur d"une entreprise peut en se fiant `a son exp´erience affirmer qu"il y a une probabilit´e de 0.6 que ses employ´es d´eclenchent une gr`eve. Nous nous int´eresserons principalement aux deux premierstypes de probabilit´e.Vu qu"une probabilit´e peut ˆetre consid´er´ee comme une fr´equence id´eale, on lui connaˆıt d"avance
certaines propri´et´es. - Une probabilit´e est une quantit´e sans dimension. - Elle est toujours comprise entre 0 et 1.- L"univers Ω a la probabilit´e maximum d"ˆetre r´ealis´e, car c"est l"´ev´enement certain. Sa proba-
bilit´e de r´ealisation est donc ´egale `a 1.- SiAetBsontincompatibles(ensembles disjoints), la fr´equence de r´ealisation de l"´ev´enement
AouBest la somme de la fr´equence de r´ealisation deAet de la fr´equence de r´ealisation de
B.1.4.3 Propri´et´es des probabilit´es d"un ´ev`enement al´eatoire
D´efinition 17Si l"universΩest constitu´e den´ev´enements ´el´ementaires{ei}, unemesure de
probabilit´esurΩconsiste `a se donnernnombrespi?[0,1], les probabilit´es des ´ev´enements
´el´ementaires, tels que
n i=1p i= 1.Si l"´ev´enementAest la r´eunion disjointe dek´ev´enements ´el´ementaires{ei}, avec0< k < n, la
probabilit´e deAvaut, par d´efinition, p(A) =p(k? i=1{ei}) =k? i=1p(ei) =k? i=1p i.La signification concr`ete de la probabilit´e d"un ´ev´enementAest la suivante. Dans une exp´erience
al´eatoire, plusp(A) est proche de 1, plusAa de chances d"ˆetre r´ealis´e; plusp(A) est proche de 0,
moins il a de chances d"ˆetre r´ealis´e.Exemple 18Probabilit´euniformeou´equiprobabilit´e: tous lesPivalent1/n. La probabilit´e d"un
sous-ensemble `ak´el´ements vaut alorsp(A) =k n=cardAcardΩ. On exprime aussi cette propri´et´e par la formule p(A) =Nombre de cas favorablesNombre de cas possibles.
Les propri´et´es suivantes d´ecoulent de la d´efinition.8CHAPITRE 1. PROBABILIT´ES
Propri´et´e 19SiAetBsont incompatibles, i.e., si leur intersectionA∩Best vide, alors p(A?B) =p(A) +p(B).Propri´et´e 20SiBest un sous-ensemble deA,
En effet,B=A?(B\A). OrAetB\Asont incompatibles (B\Aest l"ensemble des ´el´ements deBqui ne sont pas ´el´ements deA). Doncp(B) =p(A)+p(B\A). Commep(B\A) est positive, on obtient le r´esultat annonc´e.Propri´et´e 21On appelle∅l"´ev`enement impossible, puisqu"il n"est jamais r´ealis´e. Sa probabilit´e
vautp(∅) = 0.Propri´et´e 22On note¯Al"´ev`enement contraire deA. C"est le compl´ementaire deAdansΩ. Sa
probabilit´e vaut p(¯A) = 1-p(A).ΑΩ_
Propri´et´e 23(Th´eor`eme des probabilit´es totales). SiAetBsont deux sous-ensembles deΩ,
p(A?B) =p(A) +p(B)-p(A∩B). Preuve.p(A) =p(A\B) +p(A∩B) carA\BetA∩Bsont incompatibles. De mˆeme p(B) =p(B\A) +p(A∩B) carB\AetA∩Bsont incompatibles. De plus,p(A?B) = p(A\B) +p(B\A) +p(A∩B), carA\B,B\AetA∩Bsont incompatibles. En additionnant, il vientp(A?B) =p(A) +p(B)-p(A∩B).1.5. PROBABILIT´E CONJOINTE9
Propri´et´e 24(G´en´eralisation du th´eor`eme des probabilit´es totales ou r`egle de l"addition). Si
A1,...,Akforment unepartitiondeΩ, i.e. ils sont deux `a deux disjoints (i?=j?Ai∩Aj=∅),
etΩ =k? j=1A j, alors k j=1p(Aj) = 1. Dans cette situation, on dit parfois que lesAjforment unsyst`eme complet d"´ev`enements.4ΩΑΑ
ΑΑΑ513
21.5 Probabilit´e conjointe
La probabilit´e que deux ´ev´enementsAetBse r´ealisent est appel´ee probabilit´e conjointe deA
etB, not´eep(A∩B) et s"´enon¸cant probabilit´e deAetB. Le calcul de cette probabilit´e s"effectue
de mani`ere diff´erente selon queAetBsont d´ependants ou ind´ependants, c"est-`a-dire selon que la
r´ealisation de l"un influence ou non celle de l"autre.1.5.1 Ev´enements ind´ependants
Exemple 25Je lance un d´e rouge et un d´e vert et je cherche la probabilit´e d"obtenir un total de
2. Je dois donc obtenir 1 avec chacun des deux d´es. La probabilit´e d"obtenir 1 avec le d´e rouge est
1/6et demeurera1/6quelque soit le r´esultat du d´e vert. Les deux ´ev´enements"obtenir 1 avec le
d´e rouge" et "obtenir 1 avec le d´e vert" sont ind´ependants.Propri´et´e 26Si deux ´ev´enements sont ind´ependants, la probabilit´e qu"ils se r´ealisent tous les deux
est ´egale au produit de leurs probabilit´es respectives. On peut donc ´ecrire : p(A∩B) =p(A)×p(B). Dans notre exemple :p(total = 2) =p(d´e vert = 1)×p(d´e rouge = 1) = 1/36.Remarque 27Les tirages avec remise constituent une bonne illustrationd"´ev´enements ind´ependants.
1.5.2 Ev´enements d´ependants - probabilit´e conditionnelle
Si deux ´ev´enements sont d´ependants plutˆot qu"ind´ependants, comment calculer la probabilit´e
que les deux se r´ealisent, puisque la probabilit´e de r´ealisation de l"un d´epend de la r´ealisation
de l"autre? Il nous faut connaˆıtre pour cela le degr´e de d´ependance des deux ´ev´enements qui est
indiqu´e par la notion de probabilit´e conditionnelle.D´efinition 28SoientAetBdeux ´ev´enements,A´etant suppos´e de probabilit´e non nulle. On
appelleprobabilit´e conditionnelledeBpar rapport `aA, la probabilit´e de r´ealisation de l"´ev´enement
Bsachant queAest r´ealis´e. On la note
p(B|A) =p(A∩B) p(A).10CHAPITRE 1. PROBABILIT´ES
p(B|A) se litpdeBsiAoupdeBsachantA.Remarque 29L"application :pB:A?→pB(A) =p(A|B),Ω→[0,1], est une probabilit´e surΩet
v´erifie toutes les propri´et´es d"une probabilit´e. Th´eor`eme 1(Th´eor`eme des probabilit´es compos´ees ou r`egle de la multiplication). p(A∩B) =p(B|A)p(A) =p(A|B)p(B). En voici une g´en´eralisation. SoitA1,...,Akun syst`eme complet d"´ev`enements. Alors p(B) =k? j=1p(B∩Aj) =k? j=1p(Aj)p(B|Aj). Th´eor`eme 2(Formule de Bayes). SoitA1,...,Akun syst`eme complet d"´ev`enements. SoitEun ´ev`enement de probabilit´e non nulle. Alors p(Aj|E) =p(Aj∩E) p(E)=p(Aj)p(E|Aj)?ki=1p(Ai)p(E|Ai).Remarque 30Les tirages sans remise constituent une bonne illustrationd"´ev´enements d´ependants.
Exercice 31Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches. Quelle est la probabilit´e d"extraire 2 boules blanches en 2 tirages?Solution de l"exercice 31.Tirage sans remise.
AppelonsB1, l"´ev´enement : obtenir une boule blanche au premier tirage. AppelonsB2, l"´ev´enement : obtenir une boule blanche au deuxi`eme tirage.La probabilit´e cherch´eep(B1∩B2) est ´egale `ap(B1)×p(B2|B1). Orp(B1) vaut 3/8 etp(B2|B1)
est ´egale `a 2/7 puisque lorsqu"une boule blanche est sortie au premier tirage, il ne reste plus que
7 boules au total, dont 2 seulement sont blanches. On conclutquep(B1∩B2) =3
8×27=328.
1.6 Comment aborder un exercice de probabilit´es ?
Dans de nombreux probl`emes, la recherche des solutions peut ˆetre facilit´ee par la d´emarche
suivante.1. D´eterminer la liste des ´ev´enements ´el´ementaires oud´ecrire le contenu de l"univers Ω.
2. Rechercher la mesure de probabilit´e associ´ee `a cet univers.
- Soit la probabilit´e est uniforme et dans ce cas, la probabilit´e d"un ´ev´enementAest donn´ee
parp(A) =cardA cardΩ.- Soit on d´etermine la probabilit´e de chaque ´ev´enement ´el´ementaire en n"oubliant pas que
la somme de toutes les probabilit´es de ces ´ev´enements ´el´ementaires est ´egale `a 1.
3. Identifier correctement le ou les ´ev´enements dont on cherche `a ´evaluer la probabilit´e.
4. Utiliser la formule appropri´ee permettant de calculer la probabilit´e demand´ee. On pourra se
poser la question suivante : Doit-on calculer la probabilit´e? - D"un ´ev´enement ´el´ementaire? - D"un ´ev´enement contraire? -´Ev´enements compatibles ou incompatibles (probabilit´estotales)? -´Ev´enements d´ependants ou ind´ependants (probabilit´escompos´ees)?Exercice 321. On jette deux d´es non pip´es. Quelle est la probabilit´e d"obtenir un total de 7
points?quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] calculer l'épaisseur de la croute continentale
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