Exercices de mathématiques

Calculer les coordonnées du point situé au quart (à partir de A ) du segment [AB]. c. Déterminer D tel que ABCD soit un parallélogramme. d. Les vecteurs et

TRANSLATION ET VECTEURS

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr1.pdf Construire l'image B'C'D'E' du trapèze BCDE par la translation t. Exercices conseillés En devoir.

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Déterminer les valeurs exactes du périmètre et de l'aire de ce trapèze. Exercice n°5. Une tour est protégée par un large fossé. En se situant en A

EXERCICES ÉLABORÉS À PARTIR DES CONCOURS BLANCS ET

7) Affirmation 7 : en traçant les diagonales d'un quadrilatère convexe on partage celui?ci en quatre parties d'aires égales. 8) On considère un parallélogramme

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On partage un disque dur de EXERCICES D'APRÈS DIVERS SUJETS D'EXAMEN ... 1) Parfois les deux comètes passent près de la Terre au cours de la même année…

Aires et périmètres : exercices de maths en PDF en cinquieme à

Téléchargé sur https://maths-pdf.fr - Maths Pdf sur Youtube. Exercice Exercice 5 : aire du disque. ... Exercice 19 : calculer l'aire du parallélogramme.

FINALE FASCICULE MATHS 3EME ok

b. La différence de l'aire de BCM et celle de BCN soit inférieure à l'aire du trapèze ABND. Exercice 7 : 1

Exercices de mathématiques - Exo7

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Mathématiques Annales 2014

EXERCICES ÉLABORÉS À PARTIR DES CONCOURS BLANCS ET EXAMENS 3) Exprimer de deux manières différentes l'aire du trapèze ADEC en fonction de a b et c.

Mathématiques Annales 2015

EXERCICES ÉLABORÉS À PARTIR DES CONCOURS BLANCS ET EXAMENS PARTIE A : calcul de l'aire d'un polygone de Pick sur un exemple. Calculer l'aire du polygone ...

Exo7

Exercices de Christophe Mourougane

I L13

1 Géométrie en petites dimensions

1.1 242.01 - Inégalité triangulaire

1.2 242.01 - Diagrammes de Voronoï

1.3 242.01 - Pour aller plus loin

1.4 104.05 - Manipulation des fonctions trigonométriques

1.5 242.01 - Un peu de géométrie plane

1.6 242.01 - Produits scalaires

1.7 242.01 - Aires

1.8 242.01 - Théorème de Pythagore

1.9 242.01 - Découpage

1.10 242.01 - Transformations, déplacements

1.11 242.01 - Constructions élémentaires

1.12 242.01 - Constructions diverses

1.13 242.01 - Opérations sur les longueurs

1.14 242.01 - Constructions au compas seul

II L217

2 Arithmétique 217

2.1 203.01 - Groupes et sous-groupes deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.2 203.04 - Anneaux et structure d"anneaux surZ=nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.3 203.04 - Anneaux de polynômes

2.4 203.06 - Corps finis

2.5 203.04 - Exemples d"anneaux

2.6 Révisions

2.7 203.99 - Structures algébriques

2.8 203.01 - Groupes finis

3 Examens32

3.1 203.01 - Un examen

3.2 203.01 - Un examen

3.3 203.04 - Devoir Maison

3.4 203.04 - Contrôle continu

3.5 203.99 - Examen terminal

3.6 203.99 - Examen terminal

3.7 203.99 - Examen

3.8 203.99 - Examen

3.9 203.99 - Examen

4 106, 107, 108 - Algèbre linéaire

44
1

III L346

5 Géométrie euclidienne

5.1 240.00 - Exercices de géométrie affine

5.2 204.00 Exercices sur les espaces vectoriels euclidiens

5.3 242.00 - Exercices sur les espaces affines euclidiens

5.4 242.01-02 - Isométries

5.5 241.00 - Constructions par isométrie

6 Géométrie euclidienne (Examen)

6.1 242.01-02 Examen 1

6.2 242.01-02 Examen 2

6.3 242.01-02 Examen 3

6.4 242.01-02 Examen 4

7 Fonctions holomorphes

7.1 104.01-02 - Généralités sur les nombres complexes

7.2 229.01-07 Topologie

7.3 440.00 - Pour apprendre le cours

7.4 440.00 - À l"aide des équations de Cauchy-Riemann

7.5 440.00 - Etude d"applications holomorphes

7.6 440.00 - Biholomorphismes

7.7 222.01 - Modes de convergence

7.8 220.03-99 - Séries entières

7.9 441.00 - Fonctions spéciales

7.10 441.00 - Applications logarithmes

7.11 444.00 - Intégrales sur les chemins du plan complexe

7.12 444.00 - Théorie de Cauchy

7.13 220.06 - Développement en séries entières

7.14 440.00 - Concept d"holomorphie

7.15 443.00 - Singularités isolées

7.16 446.00 - Série de Laurent

7.17 444.00 - Résidus

7.18 444.00 - Calculs à l"aide du théorème des résidus

7.19 444.00 - Nombre de zéros

8 446.00 - Fonctions holomorphes (Examens)

IV M196

9 Géométrie différentielle

9.1 352.00 - Courbes dansRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

9.2 352.00 - Courbes en petites dimensions

9.3 352.00 - Surfaces

100

9.3.1 Exemples de surfaces dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

9.4 353.00 - Applications régulières

102

9.5 352.00 - Etude métrique des sous-surfaces différentiables deR3. . . . . . . . . . . . . . . .103

9.5.1 Calcul d"aires

105

10 352.00 - Géométrie différentielle (Examen)

108
2

11 Théorie des groupes et géométrie114

11.1 314.00 - Géométrie projective

120

11.2 320.00 Groupes

124

11.3 320.00 - Groupes abéliens

128

11.4 321.00 - Sous-groupes distingués

129

11.5 320.00 - Résolubilité

129

11.6 320.00 - Simplicité

131

11.7 323.00 - Anneaux d"invariants

131

12 328.00 - Formes bilinéaires

132

12.1 328.00 - Décomposition et classification

133

12.2 328.00 - Théorème de Witt

133

12.3 314.00 - Géométrie projective

134

12.4 313.00 - Groupes orthogonaux, unitaires et symplectiques

135

12.5 328.00 - Formes sesquilinéaires

137

V M2 - Agrégation

145

13 Algèbre145

13.1 322.00 - Actions de groupes, Théorèmes de Sylow

145

13.2 320.00 - Groupes diédraux ; produit semi-direct

147

13.3 322.00 - Groupes d"ordre inférieur à 12

148

13.4 322.00 - Simplicité

150

13.5 322.00 Générateurs et simplicité deA5etAn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

13.6 320.00 Groupes dérivés, résolubilité

151

13.7 320.00 - Divers

154

13.8 328.00 - Décomposition polaire des matrices

155

13.9 328.00 - Généralités sur les formes bilinéaires et sesquilinéaires

155

13.10313.00 - Endomorphismes orthogonaux et unitaires

156

13.11328.00 - Endomorphismes symétriques et hermitiens

157

13.12313.00 - Quaternions,SO3(R)etSO4(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

13.13328.00 - Classification des coniques euclidiennes affines

159

Part I

1 Géométrie en petites dimensions

Exercices de Christophe Mourougane et Lionel Fourquaux.

1.1 242.01 - Inégalité triangulaire

Exercice 7249SoientP,Q,Rtrois points du plan. Dans cet exercice, on notera~u~vle produit scalaire de deux vecteurs~uet~v.

Montrer que, pour tout l2R, on a

~QP+l~QR)2=~QP2+2l~QP~QR+l2~QR2: 2.

En considérantlediscriminantdupolynôme(enlavariablel)dedroitedansl"égalitéprécédente, montrer

que~QP~QR6QPQR: 3

3.Montrer que

PR2=~QP22~QP~QR+~QR2:

En déduire que

PR6PQ+QR:

Montrer que PR=PQ+QRsi et seulement siQ2[PR].

6. On considère maintenant quatre points P,Q,RetS. Montrer que

PS6PQ+QR+RS

et caractériser les configurations de quatre pointsP,Q,RetSqui vérifient l"égalitéPS=PQ+QR+RS.

Exercice 7250Diagramme de Voronoï. Médiatrice, diagramme de 2 pointsUndiagramme de Voronoïest une famille de parties du plan (ou de l"espace, mais dans cet exercice on se

limitera au plan) et de points associés telle que: chaque partie du plan a un unique point associé, qui est contenu dedans;

chaque partie est e xactementég aleà l"ensemble des points du plan qui sont plus proches du point associé

à cette partie que des points associés aux autres parties. Autrement dit, c"est une famille(Ai;Pi)i2I, où: •Iest un ensemble; pour tout i2I,Aiest une partie (i.e. un sous-ensemble) du plan etPi2Ai; pour tout i2I, on a (en notantPle plan): A i=Q2P8j2InfigPiQ6PjQ:

Les partiesAisont appelées lescellulesdu diagramme de Voronoï. Le pointPiassocié à la celluleAiest appelé

legermede la cellule.

Les diagrammes de Voronoï sont un outil utile pour représenter les zones de couverture d"antennes radio, ou

pour étudier l"implantation d"écoles, d"hôpitaux, de bureaux de poste, etc, dans une région.

1. Soient AetBdeux points du plan. Montrer que l"ensemble des points équidistants deAetB(autrement

dit, l"ensemble des pointsPdu plan tels quePA=PB) est une droite (qu"on noteraD, et qui est appelée

lamédiatricedu segment[AB]). 2. Montrer que la droite Dest orthogonale à la droite(AB). 3. Montrer que l"ensemble des points Pdu plan tels quePA6PBest le demi-plan de frontièreDcontenant A. 4. Quel est le diagramme de V oronoïd"un ensemble de deux points distincts? médiatrice du segment[PiPj]et qui contient le pointPi. 4

1.Montrer que, pour tout i2I, on a:

A i=\ j2InfigP i;j: 2. Dessiner le diagramme de V oronoïde trois points formant un triangle équilatéral. 2. Que dire du point commun à trois cellules de V oronoï,appelé sommet de V oronoï? 3.

Que dire du cercle centré en un sommet de V oronoïet passant par un germe d"une des trois cellules?

Ajouter un point au triangle équilatéral de l"e xerciceprécédent, et tracer le nouv eaudiagramme de

Voronoï.

Ajouter un cinquième point très proche d"un sommet de V oronoïet tracer le nouv eaudiagram mede

Voronoï. Toutes les cellules ont-elles changé ?

8(P;Q)2X2[PQ]X;

autrement dit, pour tout couple(P;Q)de points deX, le segment[PQ]tout entier est contenu dansX. 1. Montrer qu"une intersection de parties con vexesdu plan est con vexe. 2. En déduire que les cellules d"un diagramme de V oronoïsont con vexes.

Exercice 7254On rappelle qu"un quadrilatère d"un espace euclidienEest unparallélogrammesi ses diagonales se coupent en

leur milieu, appelé centre du parallélogramme.

Cette définition est aussi valable en dimension 1 et pour les cas où deux sommets coïncident. (Dans ces cas, le

parallélogramme est plat).

On dit que deux bipoints(A;B)et(C;D)sontéquipollentssi le quadrilatère(ABDC)est un parallélogramme.

Vérifier que pour tout couple de points (A;B), les bipoints(A;B)et(A;B)sont équipollents. On dit alors

que la relation d"équipollence estréflexive. 2.

Montrer que pour tous bipoints (A;B)et(C;D), si les bipoints(A;B)et(C;D)sont équipollents alors les

bipoints(C;D)et(A;B)le sont aussi. On dit alors que la relation d"équipollence estsymétrique. 3.

Démontrer que la relation d"équipollence est transitive, c"est à dire que pour tous triplets(A;B),(C;D)et

(F;G)de bipoints, si les bipoints(A;B)et(C;D)sont équipollents et si les bipoints(C;D)et(F;G)sont

équipollents alors les bipoints(A;B)et(F;G)le sont aussi. (Indication : dans le cas où le quadrilatère

(ABGF)n"est pas plat, on pourra considérer la droite joignant les centres des parallélogrammes(ABDC)

et(CDGF); dans le cas où le quadrilatère(ABGF)est plat, on pourra utiliser le théorème de Thalès.)

4.On résume les trois propriétés précédentes en disant que la relation d"équipollence est une relation

d"équivalence. Laclasse d"équipollencedu bipoint(A;B)est par définition l"ensemble des bipoints

équipollents à(A;B). Elle est appeléevecteuret notée~AB. Si(C;D)est équipollent à(A;B), on dit que

(C;D)est unreprésentantde~AB. Montrer qu"étant donné un pointAet un vecteur~u, il existe un unique

pointBtel que~AB=~u. On noteraB=t~u(A). 5.

Étant donnés un point Aet un représentant(F;G)du vecteur~u, construire à la règle et au compas le point

t ~u(A). 6. Montrer que si deux bipoints (A;B)et(C;D)sont équipollents, alors les bipoints(A;C)et(B;D)le sont aussi. 7. On définit la somme de deux v ecteurs~uet~vpar le procédé suivant:

On choisit un point A.

On détermine le point Btel que~AB=~u.

On détermine le point Ctel que~BC=~v.

On définit ~u+~v:=~AC.

MontrerquelasommeainsidéfinieestindépendanteduchoixdupointdebaseA, c"estàdire, montrerque

si on choisit un autre pointA0comme point de base, le bipoint(A0;C0)construit alors est équipollent au

bipoint(A;C)construit en partant du pointA. (Indication : On pourra montrer que(A;A0)est équipollent

à(C;C0).)

Exercice 7255Soitqun nombre réel.

1. À l"aide des formules d"addition, calculer cos 2qet sin2qen fonction de cosqet sinq. 2. Vérifier la v aliditédes formules obtenues pour q=p=2 etq=p=3. 3. Calculer cos 3qet sin3qen fonction de cosqet sinq. 4. Vérifier la v aliditédes formules obtenues pour q=p=2 etq=p=3. 1. Exprimer cos (a)cos(b)en fonction de cos(a+b)et cos(ab). 2. En ef fectuantun changement de v ariablesà préciser ,montrer que pour tous réels petqon a : cos(p)+cos(q) =2cosp+q2 cospq2 3. En déduire les solutions de l"équation sui vante: cos(x)+cos(2x)+cos(3x) =0: 6

Exercice 7257

1. Résoudre dans Rl"équationp3cos(x)+sin(x) =p2. 2. À l"aide une méthode similaire, résoudre l"équation cos (x)+sin(x) =1. 1.

On dit qu"un angle est inscrit dans un cercle si son sommet appartient à ce cercle. Démontr erle théorème

des angles inscrits :

Deux angles de vecteurs inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle sont de même mesure.

2. Soient C1etC2deux cercles ayant deux points d"intersectionIetJ. SoientAetMdeux points distincts deC1(et différents deIetJ). On noteBle point d"intersection de la droite(AJ)avecC2etNle point d"intersection de la droite(MJ)avecC2. En considérant la somme des mesures des angles des trianglesAIBetMIN, montrer que MesdAIB= Mes dMIN. SoitEun plan euclidien orienté, muni d"un repère(O;~ı;~)orthonormé direct. 1.

Soit nun entier naturel supérieur à 3. Exprimer à l"aide des fonctions trigonométriques cos et sin, le

périmètrepnd"un polygone régulier àncôtés inscrit dans le cercle trigonométrique (c"est à dire le cercle

de centre 0 et de rayon 1.) 2.

On rappelle que pour tout q2]0;p=2[,

qcosq6sinq6q: Montrer que la suite(pn)n2Nadmet une limite et déterminer cette limite. 1. Soit Cun cercle de centreO,PetQdeux points deCnon diamétralement opposés. Calculer Mes[OPQ en fonction de Mes [POQ. 2.

Soit dla droite perpendiculaire à(OP)passant parP. En calculant la distance entreOet tout pointMde

la droited, montrer quePest l"unique point d"intersection entredetC. La droitedest appeléetangente

au cercleCen P. 7quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

Exercices de Christophe Mourougane

Contents

1 Géométrie en petites dimensions

1.1 242.01 - Inégalité triangulaire

1.2 242.01 - Diagrammes de Voronoï

1.3 242.01 - Pour aller plus loin

1.4 104.05 - Manipulation des fonctions trigonométriques

1.5 242.01 - Un peu de géométrie plane

1.6 242.01 - Produits scalaires

1.7 242.01 - Aires

1.8 242.01 - Théorème de Pythagore

1.9 242.01 - Découpage

1.10 242.01 - Transformations, déplacements

1.11 242.01 - Constructions élémentaires

1.12 242.01 - Constructions diverses

1.13 242.01 - Opérations sur les longueurs

1.14 242.01 - Constructions au compas seul

II L217

2 Arithmétique 217

2.1 203.01 - Groupes et sous-groupes deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.2 203.04 - Anneaux et structure d"anneaux surZ=nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.3 203.04 - Anneaux de polynômes

2.4 203.06 - Corps finis

2.5 203.04 - Exemples d"anneaux

2.6 Révisions

2.7 203.99 - Structures algébriques

2.8 203.01 - Groupes finis

3 Examens32

3.1 203.01 - Un examen

3.2 203.01 - Un examen

3.3 203.04 - Devoir Maison

3.4 203.04 - Contrôle continu

3.5 203.99 - Examen terminal

3.6 203.99 - Examen terminal

3.7 203.99 - Examen

3.8 203.99 - Examen

3.9 203.99 - Examen

4 106, 107, 108 - Algèbre linéaire

III L346

5 Géométrie euclidienne

5.1 240.00 - Exercices de géométrie affine

5.2 204.00 Exercices sur les espaces vectoriels euclidiens

5.3 242.00 - Exercices sur les espaces affines euclidiens

5.4 242.01-02 - Isométries

5.5 241.00 - Constructions par isométrie

6 Géométrie euclidienne (Examen)

6.1 242.01-02 Examen 1

6.2 242.01-02 Examen 2

6.3 242.01-02 Examen 3

6.4 242.01-02 Examen 4

7 Fonctions holomorphes

7.1 104.01-02 - Généralités sur les nombres complexes

7.2 229.01-07 Topologie

7.3 440.00 - Pour apprendre le cours

7.4 440.00 - À l"aide des équations de Cauchy-Riemann

7.5 440.00 - Etude d"applications holomorphes

7.6 440.00 - Biholomorphismes

7.7 222.01 - Modes de convergence

7.8 220.03-99 - Séries entières

7.9 441.00 - Fonctions spéciales

7.10 441.00 - Applications logarithmes

7.11 444.00 - Intégrales sur les chemins du plan complexe

7.12 444.00 - Théorie de Cauchy

7.13 220.06 - Développement en séries entières

7.14 440.00 - Concept d"holomorphie

7.15 443.00 - Singularités isolées

7.16 446.00 - Série de Laurent

7.17 444.00 - Résidus

7.18 444.00 - Calculs à l"aide du théorème des résidus

7.19 444.00 - Nombre de zéros

8 446.00 - Fonctions holomorphes (Examens)

IV M196

9 Géométrie différentielle

9.1 352.00 - Courbes dansRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

9.2 352.00 - Courbes en petites dimensions

9.3 352.00 - Surfaces

9.3.1 Exemples de surfaces dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

9.4 353.00 - Applications régulières

9.5 352.00 - Etude métrique des sous-surfaces différentiables deR3. . . . . . . . . . . . . . . .103