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2 7 3 ADDITION ET SOUSTRACTION DE FRACTIONS RATIONNELLES 51 Exercices écrits 54 Exercices récapitulatifs 88 Exercices pour les scientifiques

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CYCLE D'ORIENTATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

MATHÉMATIQUES

9 E

S, L, M, GnivA - NA

DÉPARTEMENT DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE

GENÈVE 1995

11.038.48

TABLE DES MATIÈRES3

Table des matières

1 Les ensembles de nombres 9

Théorie9

1.1 Lesensemblesdenombres............................... 9

1.1.1 L"ENSEMBLEN................................ 9

1.1.2 DENVERSVZ................................ 10

1.1.3 DEZVERSQ................................. 10

1.1.4 DEQVERSR................................. 11

1.1.5 RÉSUMÉ DES PROPRIÉTÉS DES OPÉRATIONS DANSR........ 12

1.2 LESPUISSANCES................................... 12

1.2.1 RAPPEL DE 8

e :PUISSANCESD"EXPOSANTPOSITIF.......... 12

1.2.2 PROPRIÉTÉS DES PUISSANCES D"EXPOSANT POSITIF ........ 13

1.2.3 PUISSANCESD"EXPOSANTNÉGATIFOUNUL ............. 15

1.2.4 LESPUISSANCESDE10........................... 16

1.3 RACINESCARRÉESETRACINESCUBIQUES................... 17

1.3.1 RAPPEL DE 8

e :RACINESCARRÉES.................... 17

1.3.2 RACINESCUBIQUES............................. 17

1.3.3 RÈGLESDECALCUL ............................ 17

Exercices écrits 19

Exercices récapitulatifs 34

2 Calcul littéral 37

Théorie37

2.1 RAPPEL DE 8

e : DÉVELOPPER UN PRODUIT . . . . ............... 37

2.2 LESSIMPLIFICATIONSD"ÉCRITURE ....................... 37

2.3 MONÔMES ET POLYNÔMES . . .......................... 38

2.3.1 LES MONÔMES................................ 38

2.3.2 OPÉRATIONS AVEC DES MONÔMES . . . . ............... 39

2.3.3 LES POLYNÔMES . . . . .......................... 41

2.3.4 OPÉRATIONS AVEC DES POLYNÔMES . . . ............... 41

2.4 LESIDENTITÉSREMARQUABLES......................... 45

2.5 LAFACTORISATION................................. 47

2.6 LES FRACTIONS RATIONNELLES......................... 48

2.6.1 SIMPLIFICATION DE FRACTIONS RATIONNELLES . . . ........ 48

2.6.2 MULTIPLICATION DE FRACTIONS RATIONNELLES . . ........ 49

2.6.3 DIVISION DE FRACTIONS RATIONNELLES ............... 49

4TABLE DES MATIÈRES

2.7 LES FRACTIONS RATIONNELLES (Section S - NA) . ............... 50

2.7.1 FRACTIONS RATIONNELLES ÉGALES . . . ............... 50

2.7.2 DÉNOMINATEURSCOMMUNS....................... 50

2.7.3 ADDITION ET SOUSTRACTION DE FRACTIONS RATIONNELLES . . 51

Exercices écrits 54

Exercices récapitulatifs 88

Exercices pour les scientifiques 91

Exercices de développement 94

3 Les applications 103

Théorie103

3.1 RAPPELSETNOTATIONS .............................. 103

3.1.1 LEREPÉRAGED"UNPOINT ........................ 103

3.2 UN EXEMPLE: UNE APPLICATION ET SA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE . 104

3.3 LADROITE ...................................... 106

3.3.1 L"ÉQUATIOND"UNEDROITE........................ 106

3.3.2 LAPENTED"UNEDROITE ......................... 107

3.3.3 L"ORDONNÉE À L"ORIGINE . . ...................... 110

3.4 LESAPPLICATIONSAFFINES............................ 111

3.5 EXERCICESRÉSOLUS................................ 112

Exercices écrits 115

Exercices de développement 122

4 Les équations 125

Théorie125

4.1 INTRODUCTION . . ................................. 125

4.2 LESÉQUATIONS ................................... 125

4.3 LESSOLUTIONSD"UNEÉQUATION........................ 126

4.4 L"ÉQUATION DU 1

er DEGRÉ À UNE INCONNUE . . ............... 127

4.4.1 DEUX PROPRIÉTÉS DES ÉQUATIONS . . . . ............... 127

4.4.2 ÉQUATIONSÉQUIVALENTES........................ 127

4.4.3 LA RÉSOLUTION D"UNE ÉQUATION DU 1

DEGRÉ .......... 127

4.4.4 DEUX ÉQUATIONS PARTICULIÈRES DU 1

DEGRÉ .......... 130

4.4.5 ÉQUATIONSPARTICULIÈRESDEDEGRÉSUPÉRIEURÀ1....... 130

4.5 LAMISEENÉQUATIOND"UNPROBLÈME.................... 132

4.6 LATRANSFORMATIOND"UNEFORMULE.................... 133

4.7 LES ÉQUATIONS LITTÉRALES (Section S - NA) . . . ............... 134

4.7.1 EXEMPLES DE RÉSOLUTION D"ÉQUATIONS LITTÉRALES . . . . . . 134

4.7.2 DISCUSSION DES SOLUTIONS D"UNE ÉQUATION LITTÉRALE DU 1

DEGRÉ135

Exercices écrits 137

Exercices écrits (section S) 162

TABLE DES MATIÈRES5

Exercice de développement 166

5 Les systèmes d"équations du 1

er degré 173

Théorie173

5.1 L"ÉQUATION DU 1

er DEGRÉ À 2 INCONNUES . . . ............... 173

5.2 LES SYSTÈMES D"ÉQUATION DU 1

DEGRÉ À 2 INCONNUES ........ 174

5.2.1 RÉSOLUTIONGRAPHIQUE......................... 175

5.2.2 RÉSOLUTIONALGÉBRIQUE........................ 176

5.2.3 DEUXEXEMPLES .............................. 177

5.3 LA FORME GÉNÉRALE D"UN SYSTÈME DE 2 ÉQUATIONS DU 1

DEGRÉ À 2 INCONNUES1

5.4 LAMISEENÉQUATIONSD"UNPROBLÈME ................... 180

5.5 LES SYSTÈMES D"ÉQUATIONS DU 1

er DEGRÉ À PLUS DE 2 INCONNUES (Section S - NA)181

Exercices écrits 184

Exercices écrits (Section S-NA) 191

Exercices de développements 196

6 Rapports et proportions 199

Théorie199

6.1 RAPPORTSETPROPORTIONS ........................... 199

6.1.1 LERAPPORTDEDEUXNOMBRES .................... 199

6.1.2 LE RAPPORT DE DEUX GRANDEURS DE MÊME NATURE....... 199

6.2 PROPORTIONS .................................... 200

6.3 GRANDEURS DIRECTEMENT PROPORTIONNELLES.............. 201

6.3.1 RAPPEL DE 8

e :LEFACTEURDEPROPORTIONNALITÉ ........ 201

6.3.2 PROPORTIONNALITÉETAPPLICATIONSLINÉAIRES ......... 203

6.4 GRANDEURS INVERSEMENT PROPORTIONNELLES.............. 204

6.5 RAPPEL DE 8

e : EXEMPLES DE GRANDEURS PROPORTIONNELLES . . . . . 205

6.5.1 LETAUXD"INTÉRÊT ............................ 205

6.5.2 LAPENTED"UNEROUTE.......................... 205

6.5.3 L"ÉCHELLE D"UNE CARTE OU D"UN PLAN ............... 205

6.5.4 LA LONGUEUR D"UN ARC DE CERCLE, L"AIRE D"UN SECTEUR . . . 206

Exercices écrits 208

Exercices de développements 216

7 Les inéquations du 1

er degré à une inconnue 219

Théorie219

7.1 INTRODUCTION . . ................................. 219

7.2 LESSIGNESD"INÉGALITÉ ............................. 219

7.3 LES INÉQUATIONS du 1

DEGRÉ À UNE INCONNUE.............. 220

7.4 LES PROPRIÉTÉS DES INÉGALITÉS . . ...................... 221

7.5 LA RÉSOLUTION D"UNE INÉQUATION DU 1

DEGRÉ À UNE INCONNUE . . 222

7.6 DEUXINÉQUATIONSPARTICULIÈRES ...................... 223

7.7 LES SYSTÈMES D"INÉQUATIONS À UNE INCONNUE.............. 223

6TABLE DES MATIÈRES

7.8 LES DEMI-DROITES ET LES INTERVALLES . . . . . ............... 224

Exercices écrits 227

Exercices de développements 236

8 Le théorème de Pythagore 237

Théorie237

8.1 INTRODUCTION . . ................................. 237

8.2 L"ÉNONCÉ DU THÉORÈME DE PYTHAGORE| . . . ............... 238

8.3 FORMULATION GÉOMÉTRIQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE . . . . . . 238

8.4 EXEMPLESNUMÉRIQUES ............................. 239

8.5 UNEDÉMONSTRATIONDUTHÉORÈMEDEPYTHAGORE........... 240

8.6 LARÉCIPROQUEDUTHÉORÈMEDEPYTHAGORE............... 241

Exercices écrits 242

Exercices de développements 248

9Lesvolumes251

Théorie251

9.1 LESUNITÉSDEMESURE .............................. 251

9.2 FORMULAIRE..................................... 253

9.2.1 LONGUEURS ET AIRES . .......................... 253

9.2.2 VOLUMES................................... 254

9.3 LAPYRAMIDEETLECÔNE ............................ 255

9.3.1 PYRAMIDERÉGULIÈREETCÔNEDROIT ................ 255

9.3.2 VOLUMEDELAPYRAMIDEETVOLUMEDUCÔNE.......... 256

9.4 LASPHÈRE ...................................... 257

Exercices écrits 259

Exercices de développements 264

10 Les applications du plan dans lui-même 267

Théorie267

10.1LESROTATIONS.................................... 267

10.1.1UNEXEMPLE................................. 267

10.1.2GÉNÉRALISATION.............................. 268

10.1.3 PROPRIÉTÉS DES ROTATIONS . ...................... 268

10.2LESHOMOTHÉTIES ................................. 269

10.2.1UNEXEMPLE................................. 269

10.2.2GÉNÉRALISATION.............................. 270

10.2.3 HOMOTHÉTIE: AGRANDISSEMENT OU RÉDUCTION . ........ 270

10.2.4 PROPRIÉTÉS DES HOMOTHÉTIES..................... 271

10.3 TABLEAU RÉCAPITULATIF DES APPLICATIONS DU PLAN DANS LUI-MÊME 273

Exercices écrits 274

TABLE DES MATIÈRES7

11 Le théorème de Thalès 285

Théorie285

11.1LESANGLES(Rappel) ................................ 285

11.2LETHÉORÈMEDETHALÈS............................. 287

11.2.1 LE THÉORÈME DE THALÈS DANS LE TRIANGLE . . . . ........ 287

11.2.2UNECONSÉQUENCEDUTHÉORÈMEDETHALÈS........... 288

11.2.3 LE THÉORÈME DE THALÈS: UNE AUTRE FORMULATION . . . . . . 289

11.3TRIANGLESSEMBLABLES............................. 290

11.3.1SOMMETSCORRESPONDANTS ...................... 290

11.3.2ANGLESCORRESPONDANTS ....................... 290

11.3.3CÔTÉSCORRESPONDANTS ........................ 291

11.3.4TRIANGLESSEMBLABLES......................... 291

11.4 RÉSOLUTION D"UN PROBLÈME À L"AIDE DE TRIANGLES SEMBLABLES . 293

Exercices écrits 295

Exercices de développement 309

12 Le cercle313

Théorie313

12.1QUELQUESDÉFINITIONS.............................. 313

12.2 LE THÉORÈME DE L"ANGLE INSCRIT . ...................... 315

12.3 CONSÉQUENCE DU THÉORÈME DE L"ANGLE INSCRIT . . . . ........ 317

12.4 LE THÉORÈME DE L"ANGLE DROIT . . ...................... 318

Exercices écrits 319

8TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Les ensembles de nombres

Théorie

1.1 Les ensembles de nombres

1.1.1 L"ENSEMBLEN

Comme dans le manuel de 8

e , nous utiliserons les notations: N={0;1;2;3;4;5;...}(Nest appelé l"ensemble des entiers naturels, ou encore l"en- semble des nombres naturels) N ={1;2;3;4;5;...}(Nest appelé l"ensemble des entiers positifs, ou encore l"en-quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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