[PDF] ACTIVITÉS DINITIATION À LA DÉMONSTRATION (fiches destinées





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5ème SOUTIEN – SYMETRIE CENTRALE ET DEMONSTRATIONS

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Mise en page 1

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Cours – Initiation au raisonnement déductif. 1. 1. Les règles du débat mathématique. En mathématiques pour savoir si un énoncé est vrai ou faux



ACTIVITÉS DINITIATION À LA DÉMONSTRATION (fiches destinées

ACTIVITÉS D'INITIATION. À LA DÉMONSTRATION (extrait du livre de 5e «TRIANGLE») ... l'oral à l'occasion d'exercices de démonstration faits ou corrigés.



Raisonnement et démonstration - Education

• il faut passer d’un raisonnement inductif à un raisonnement déductif pour établir la preuve ; • il faut ensuite mettre en forme ce raisonnement déductif pour en faire une démonstration c’est-à-dire une preuve communicable b) Démarche d’investigation et raisonnement



Initiation à la démonstration en exemples

Initiation à la démonstration en exemples Énoncé : En utilisant les codages portés sur la figure ci-contre : 1 Expliquer pourquoi la droite (d) est la médiatrice du segment [AB] 2 Démontre que les longueurs CA et CB sont égales Solution : 1 On sait grâce aux codages de la figure que que



Activité : Initiation à la démonstration

ACTIVITE : INITIATION À LA DÉMONSTRATION Exercice 1 ABC est un triangle rectangle en A Par le milieu M du segment [AB] on trace la droite (d) parallèle à la droite (AC) On se propose de démontrer que (d) et (AB) sont perpendiculaires a) Fais la figure b) Complète le tableau suivant : Je sais Propriété Donc (ce que j’ai trouvé)



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ACTIVITÉS DINITIATION À LA DÉMONSTRATION (fiches destinées ? ACTIVITÉ 1: ÉVALUATION INITIALE

1.On te rappelle ci-dessous quelques règles importantes du débat

mathématique. Lis les bien attentivement.

ACTIVITÉS D"INITIATION

À LA DÉMONSTRATION

(fiches destinées aux élèves) par lIREM de Strasbourg

7Activités mathématiques et scientifiques, n° 62

Collège

En mathématiques:

• Un énoncé est vrai ou faux.

Exemple d"un énoncé faux: tous les multiples de 2 se termi- nent par 2. Exemple d"un énoncé vrai: tous les multiples de 2 se terminent par un chiffre pair. • Des exemples qui vérifient l"énoncé ne suffisent pas à prouver que l"énoncé est vrai. • Par contre un seul exemple qui ne vérifie pas l"énoncé suffit à prouver que l"énoncé est faux. Cet exemple est appelé un contre-exemple. Exemple: 18 est un multiple de 2 et ne se termine pas par 2 donc l"énoncé "tous les multiples de 2 se terminent par 2» est faux. • Une constatation ou des mesures sur un dessin ne suffisent pas pour prouver qu"un énoncé de géométrie est vrai. (extrait du livre de 5 e "TRIANGLE»)

2.Voici une liste d"énoncés. Essaie de trouver ceux qui sont vrais en les

prouvant. Pour ceux qui sont faux, tu dessineras un contre-exemple.

Pour prouver les énoncés, tu peux utiliser:

- qu"un parallélogramme est un quadrilatère qui a tous ses côtés oppo- sés parallèles. - qu"un parallélogramme admet un centre de symétrie qui est le point d"intersection de ses diagonales. 8 ? PRÉSENTATION DE L"ACTIVITÉ 1

• LE DÉROULEMENT

40 minutes environ ont été consacrées en tout à cette activité.

Les règles du débat mathématique qui figuraient sur la feuille, illustrées parfois par un exemple avaient déjà été évoquées à l"oral à l"occasion d"exercices de démonstration faits ou corrigés en classe. Le moment était bien choisi de les rappeler avant de passer à la suite. Aussi pour m"assurer de leur compréhension, j"ai posé aux élèves quelques questions.

• L

A SITUATION DANS LA PROGRESSION

Elle s"est située après l"étude des angles et des médiatrices dans les triangles, de la symétrie centrale et des angles alternes- internes et correspondants. Ces notions ont déjà fourni de nom- breuses occasions de produire des raisonnements et d"écrire des petites démonstrations.

• L

ES OBJECTIFS

- Découvrir les propriétés du parallélogramme. - Prouver les énoncés vrais avec leur niveau de connaissances.

Collège

Dans tous les parallélogrammes

les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Les côtés opposés ont la même

longueur deux à deux.

Il y a au moins deux côtés opposés

parallèles et de même longueur.

Les quatre côtés ont la même

longueur.

Les angles opposés sont égaux

deux à deux.

Les quatre angles sont droits.

Les deux diagonales ont le même

milieu.

Les deux diagonales sont

perpendiculaires.

Les deux diagonales ont la même

longueur. - Utiliser et trouver le contre-exemple qui met en défaut un énoncé. La recherche d"un contre-exemple fait appel à la logique du langage et des représentations cognitives suffisantes et correspond à rechercher un exemple qui vérifie les hypo- thèses de l"énoncé et qui ne vérifie pas la conclusion. - Anticiper la suite en approfondissant la réflexion (penser aux autres figures vérifiant certains énoncés) et préparer l"acti- vité 2. Il s"agissait de dire, dans chaque cas, si l"énoncé est vrai ou faux et justifier sa réponse: prouver l"énoncé vrai et trouver un contre-exemple pour l"énoncé faux. Le travail a été individuel sauf pour les deux premiers énoncés qui ont été faits ensemble, ceci pour être sûr qu"il soit bien effec- tué. Les élèves prennent conscience de l"importance du contre- exemple en mathématiques.

• L

E BILAN DE L"ACTIVITÉ

- Il a manqué un peu de temps aux élèves pour finir ce qui explique le taux assez élevé de non-réponses pour le dernier

énoncé.

- Dans le cas de l"énoncé faux, les 2/3 des élèves ont trouvé un contre-exemple juste. La définition et le rôle du contre-exemple semblent avoir été compris. - Par contre, peu d"élèves ont réussi à justifier correctement les énoncés vrais. À ce stade-là, la justification reste un exercice difficile pour les élèves qui se limitent à de simples constatations sur les figures. - Des mots de vocabulaire font l"objet de confusions par cer- tains élèves (surtout "angles opposés» et "côtés opposés»). - Aucune correction collective n"a été effectuée.

Camille est un exemple bien typique:

Elle a trouvé tous les contre-exemples mais elle suit encore son intuition pour justifier. Voilà ses réponses pour certains énoncés.

À l"énoncé:

- "Dans tous les parallélogrammes, les angles opposés sont

égaux deux à deux.»,

elle répond: - "Vrai: Les angles opposés sont égaux 2 à 2 car les côtés opposés sont de la même longueur».

9Activités mathématiques et scientifiques, n° 62

10

À l"énoncé:

- "Dans tous les parallélogrammes, les deux diagonales ont la même longueur.», elle répond: - "Vrai: les côtés opposés ont la même longueur alors les 2 diagonales sont de longueur égale». Camille n"utilise pas les bonnes hypothèses et ne valide pas ses déductions à l"aide d"une loi (propriété ou définition). On se rend compte qu"elle ne sait pas encore raisonner sur une figure et faire fonctionner les propriétés.

À l"énoncé:

- "Dans tous les parallélogrammes, les diagonales ont le même milieu», elle répond: - "Vrai: Le milieu des 2 diagonales est aussi le centre de symétrie de la figure» Elle n"est pas partie de la définition connue du point dont elle souhaite montrer qu"il est le milieu. C"est un type d"erreur ren- contré dans d"autres démonstrations, comme celles par exemple des triangles rectangles utilisant le théorème du triangle inscrit dans un cercle et dans lesquelles c"est le diamètre du cercle que les élèves prennent pour une hypoténuse alors qu"ils n"ont pas encore prouvé l"angle droit du triangle en question. Ce qui se traduit sur les copies par des phrases explicatives du type "Comme le triangle est inscrit dans un cercle et qu"il a pour hypoténuse un dia- mètre de ce cercle alors il est rectangle».

• L

ES TABLEAUX DES RÉPONSES

Collège

Dans tous les

parallélogrammes

Types de réponses

Leur nombre ... Il y a au moins deux côtés opposés parallèles et de même longueur.

Réponse "VRAI» et bien justifiée

Réponse "VRAI» mais mal justifiée

Réponse "VRAI» mais pas de justification

Réponse "FAUX»

Absence de réponse

5 14 5 1 2 ... Les quatre côtés ont la même longueur.Réponse "FAUX» et contre-exemple juste

Réponse "FAUX» mais mauvais contre-

exemple

Réponse "FAUX» mais pas de contre-

exemple

Réponse "VRAI»

Absence de réponse19

2 4 1 1 ? ACTIVITÉ 2

Lis attentivement les énoncés encadrés.

Ensuite barre ceux qui te semblent faux et dessine soigneusement un contre-exemple en dessous. Si un quadrilatère a deux côtés parallèles, alors c"est un parallélogramme. Si un quadrilatère a tous ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors cest un parallélogramme.

11Activités mathématiques et scientifiques, n° 62

- Les angles opposés sont

égaux deux à

deux.Réponse "VRAI» et bien justifiée

Réponse "VRAI» mais mal justifiée

Réponse "VRAI» mais pas de justification

Confusion entre les mots "angles» et

"côtés»

Absence de réponse

1 5 9 4 8 ... Les quatre angles sont droits.Réponse "FAUX» et contre-exemple juste

Réponse "FAUX» mais pas de contre-

exemple

Absence de réponse21

2 4 ... Les deux diagonales ont le même milieu

Réponse "VRAI» et bien justifiée

Réponse "VRAI» mais mal justifiée

Réponse "VRAI» mais pas de justification

Absence de réponse

6 4 13 4 ... Les deux diagonales sont perpendiculaires.Réponse "FAUX» et contre-exemple juste

Réponse "FAUX» mais pas de contre-

exemple

Réponse "VRAI»

Confusion entre les mots "diagonales» et

"côtés»

Absence de réponse20

1 1 1 4 ... Les deux diagonales ont la même longueur.Réponse "FAUX» et contre-exemple juste

Réponse "FAUX» mais pas de contre-

exemple

Réponse "VRAI»

Absence de réponse8

4 3 12 12 ? PRÉSENTATION DE L"ACTIVITÉ 2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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