82 exercices de mathématiques pour 2nde
4 oct. 2015 V.1 Reconnaître la courbe représentative d'une fonction . ... XI.6 Chez les profs de math . ... 5 L'aire du disque de rayon 3 est : 9?.
Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction
pour trouver l'aire du secteur de disque en fonction de la longueur de l'arc nombres de calendriers sont des multiples de 15; dans le second ...
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a
Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction
fonction carré sur l'intervalle [15 ; 95]) SECOND VOLET (8 POINTS) ... b) L'aire de la partie du disque
Programme denseignement optionnel de mathématiques
- Approximation de ? et aire d'un disque. Contenus associés. - Limites de suites. - Intégrale d'une fonction continue et positive. -
Cours de mathématiques pour la classe de Seconde
0 Ensembles de nombres et intervalles de R 5 Fonctions carré inverse
Cours de mathématiques - Exo7
Une fonction en informatique est similaire à une fonction mathématique c'est un objet qui Un petit calcul prouve que l'aire de la portion de disque est.
Programmer en lycée avec Python
Le return termine la fonction : les éventuelles instructions suivantes ne sont pour définir un intervalle lincluant ... de l'aire d'un quart de disque.
[Seconde STHR] - Activités mathématiques dans le contexte de l
Exprimer l'aire de la surface intérieure de la casserole en fonction de rayon de la casserole (réfléchir à l'intervalle d'étude choisi pour ).
Mathématiques
comme aire du domaine : {. } )( 0et. ;)( xfy. JxyxM. ?. ?. ? où f désigne la fonction de densité de la loi et J un intervalle inclus dans I .
VincentDujardin- FlorentGirod1
Année scolaire 2014 / 2015
1. Externat Notre Dame -Grenoble
Table des matières0 Ensembles de nombres et intervalles deR31) Principaux ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4
2) L"axe des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3) Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4) Union d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5) Intersection d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7
1 Algèbre8
1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse (rappels) . . . . . . . . 9
2) Transformations d"expressions (rappels) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 10
3) Trois méthodes pour démontrer une égalité . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12
4) Égalités équivalentes (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13
2 Équations et inéquations : bases algébriques et approche graphique 14
1) (In)équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2) Résolutions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18
3 Modéliser par des fonctions20
1) Modéliser par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21
2) Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
3) Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
4) Image, antécédent(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
4 Sens de variations - Fonctions affines28
1) Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2) Extremum d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
3) Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Fonctions carré, inverse, de degré 2, homographique 34
1) La fonction carré :2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2) Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
3) Fonctions polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39
4) Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 40
6 Inéquations, étude de signes, sens de variations 41
1) Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2) Sens de variation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44
17 Trigonométrie46
1) Enroulement de la droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47
2) Sinus et cosinus d"un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 50
8 Analyse de données - Statistiques descriptives 52
1) Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 53
2) Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3) Indicateurs de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 55
4) Indicateurs de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 56
5) La démarche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56
9 Probabilités57
1) Modélisation d"une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 58
2) Probabilité d"un évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60
3) Opération sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61
10 Fluctuation d"échantillonnage62
1) Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
2) Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 63
3) Estimation d"une proportion à partir d"un échantillon . .. . . . . . . . . . . 66
11 Géométrie dans l"espace67
1) Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2) Représentation de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 69
3) Droites et plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 70
12 Vecteurs, repérage72
1) Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2) Repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13 Équations de droites84
1) Équation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2) Droites parallèles ou sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 88
2Chapitre 0Ensembles de nombres et intervalles deR
Bulletin Officiel (B.O)
Notations mathématiques
Les élèves doivent connaître les notions d"éléments d"un ensemble, d"un sous-ensemble, d"ap-
partenance et d"inclusion, d"intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant :,,,ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, surdes exemples, à utiliser correctement les connecteurs logiques " et », " ou » et à distinguer
leur sens des sens courants de " et », " ou » dans le langage usuel.Objectifs du chapitre:
itemréférencesauto évaluation connaître les ensembles de nombres (et leurs notations) utiliser les symboles,,, traduire l"appartenance à un intervalle deR utiliser les connecteurs logiques " et », " ou » 31) Principaux ensembles de nombres1 - 1) Les ensembles
NotationListeDescription
Rtous les nombres que vous connaisseznombresréelsN0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers naturels
Z;?3 ;?2 ;?1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers relatifsOn définit aussi les sous-ensembles suivants :
-R: tous les nombres réels sauf 0; -R+: tous les nombres réels positifs; -R: tous les nombres réels négatifs.1 - 2) Appartenance et inclusion
Certains nombres
appartiennentà un ensemble donné; on note cette appartenance avec le symbolePar exemple,?5Z.
Certains ensembles sont
inclusdans d"autres ensembles; on note cette inclusion avec le symbole Par exemple, si un nombre est entier naturel, alors il est entier relatif; cela se note :NZ2) L"axe des réels
On peut représenter les nombres réels sur une droite graduée: - On définit un repère():est l"origine (abscisse 0),définit l"unité (abscisse 1). ?3?2?1 0 1 2 3 4 5? - Chaque point est repéré par son abscisse. Ici :(3)et(?2). - L"axe des réels n"a pas de borne : il est infini à gauche et à droite. - On notela notion d"infini :?est l"infini à gauche, et+est l"infini à droite. 43) Intervalles deR
etsont deux nombres, avecExemples:
"appartient à l"intervalle fermé[;]» - signifie?? - se note[;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle ouvert];[» - signifie - se note];[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle[; +[» - signifie? - se note]; +[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle]? ;]» - signifie? - se note]? ;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6Remarque et vocabulaire:
-signifie " appartient » etsignifie " n"appartient pas »; -etsont les bornes de l"intervalle;- Lorsque la borneappartientà l"intervalle, elle est dite " fermée » : le crochet est orienté
vers la borne; 5 - Lorsque la bornen"appartient pasà l"intervalle, elle est dite " ouverte » : le crochet " tourne le dos » à la borne. exemples : avec= [?2 ; 6[, on sait que2et6 avec=]0 ; 7[, on sait que0et7 - L"infini n"étant pas un nombre, cette borne est toujours ouverte. - Il y a une infinité de nombres dans un intervalle[;](avec ).4) Union d"ensembles
Avecetdeux ensembles de nombres.
* se dit "appartient àunion» * signifieou(appartient à, à, ou aux deux)Application:
*[?1 ; 3][4 ; 6] signifie queest soit un nombre compris entre -1 et 3, soit un nombre compris entre 4 et 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[5 ; 6signifie queest soit un nombre compris (strictement) entre 0 et 4, soit un nombre égal à 5, soit un nombre égal à 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 6Ou inclusif, ou exclusif" Entrée ou dessert » sur un menu signifie l"un ou l"autre, pas les deux pour le prix indiqué :
le " ou » est exclusif. " Pour Noël, j"aimerais avoir un PC ou un voyage aux USA » : le " ou » est inclusif : on souhaiterait évidemment avoir les deux.En mathématiques, le
ouestinclusif(l"un, l"autre ou les deux) Dans le langage, " Et » et " Ou » peuvent piéger... " Les personnes ayant droit à des réductions à la SNCF sont celles de moins de 25 ans et celles de plus de 65 ans. »On comprend :
" Une personne a une réduction si elle a moins de 25 ans ou plus de 65 ans (elle ne peut pas avoir les deux à la fois). »En mathématiques :
" les solutions sont les nombres compris entre -2 et 0 (inclus) et entre 4 et 5 (inclus) »On peut dire aussi :
"L"ensemble des solutions est[?2 ; 0][ 4; 5]:est solution équivaut à dire qu"il appartientà[?2 ; 0]ou à[4 ; 5].
5) Intersection d"ensembles
Avecetdeux ensembles de nombres.
* se dit "appartient àinter» * signifieet(appartient à la fois àet à)Application:
*[?1 ; 3][2 ; 6] signifie queest à la fois un nombre comprisentre -1 et 3, et compris entre 2 et 6: il est donc compris entre 2 et 3. En fait,[?1 ; 3][2 ; 6] = [2 ; 3] On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[2 ; 6signifie queest à la fois un nombre compris (strictement)entre 0 et 4 , etsoit égal à 2, soit égal à 6: il est égal à 2. En fait,]0 ; 4[2 ; 6=2 On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 7Chapitre 1AlgèbreBulletin Officiel (B.O)
ContenuCapacités AttenduesCommentaires
Expressions algé-
briquesTransformations d"ex-
pressions algébriques en vue de la résolution de problèmes- Associer à un problème une expres- sion algébrique. - Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d"une ex- pression en vue de la résolution du problème donné. - Développer, factoriser des expres- sions polynomiales simples; trans- former des expressions rationnellessimples.Les activités de calcul nécessitent unecertaine maîtrise technique et doiventêtre l"occasion de raisonner.Les élèves apprennent à développer desstratégies s"appuyant sur l"observationde courbes, l"anticipation et l"intelli-gence du calcul. Le cas échéant, celas"accompagne d"une mobilisation éclai-rée et pertinente des logiciels de calculformel.
Objectifs du chapitre:
itemréférencesauto évaluation développer, factoriser des expressions polynomiales simples; transformer des expressions rationnelles simples montrer que deux expressions sontégales ou pas
81) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse
(rappels)1 - 1) quelques synonymes
SigneOpérationSynonyme
+Additionajouter, sommer, ... ?Soustractionenlever, retirer, ...Multiplicationrépéter plusieurs fois, ...
Divisionpartager en parts égales, ...
1 - 2) Somme et différence
Soustraire un nombreéquivaut à ajouter son opposé?.Autrement dit :?équivaut à+ (?)
Exemple:3?2 = 3 + (?2)
Remarque: tous les nombres ayant un opposé, les mathématiciens considèrent souvent les différences comme des sommes.1 - 3) Produit et quotient
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