[PDF] Feuille dexercices: Fonctions réelles

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Mamouni, CPGE RabatMPSI-MathsFeuille d"exercices

Fonctions r´eellesmamouni.myismail@gmail.com

www.chez.com/myismail

CPGE My Youssef, Rabat

??Pr´epas G.S High Tech, Rabat

Feuille d"exercices:Fonctions r´eelles

26 mars 2009

Blague du jour :

Bientˆot (dans 4ans au moins) vous serez ingenieur, peut ˆetre inge´enieur informaticien. V´erifier sur la liste ci-dessous si vous avez le profil, les types d"ing´enieurs en informatique sont: •L"ing´enieur DISQUE DUR : il se rappelle tout, POUR TOU-

JOURS.

•L"ing´enieur CD-ROM : il va toujours plus vite avec le temps. •L"ing´enieur RAM : il oublie tout de vous, d`es le moment o`u vous lui tournez le dos. •L"ing´enieur WINDOWS : Tout le monde sait qu"il ne peut pas faire une chose correctement, mais personne ne peut s"en passer de ses services. •L"ing´enieur ECONOMISEUR D"ECRAN : Il est bon `a rien, mais au moins, il est marrant !

Math´ematicien du jourHolder

Otto Ludwig H¨older (1859-1937) est un math´ematicien allemand. On le connaˆıt no-

tamment pour : l"in´egalit´e de H¨older; le th´eor`eme de Jordan-H¨older; le th´eor`eme de

H¨older; la moyenne de H¨older; la condition de H¨older.

Continuit´e et d´erivabilit´e globales

Exercice 1. Soientf,g: [a,b]-→Rcontinues, telles que?x?[a,b],?y? [a,b]tel quef(x) =g(y). Montrer qu"il existex?[a,b]tel quef(x) =g(x). Exercice 2. Soitf:]0,+∞[-→Rcroissante telle queg: ]0,+∞[-→R x?-→f(x) xest d´ecroissante. Montrer quefest continue. Exercice 3. Soitf:R-→Rcroissante telle que?x?R, f◦f(x) =x. Montrer que : ?x?R, f(x) =x.

Exercice 4. On pose :f(x) =x2?

2 + sin?1x2??

six?= 0 = 0six?= 0 Montrer quefadmet un minimum strict en 0 maisfn"est croissante sur aucun intervalle de la forme[0,a].

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Exercice 5. On pose :f(x) =x

1 +xsin?1x?

= 0six= 0 Montrer quefest d´erivable sur[0,1], strictement croissante mais que l"´equation f ?(x) = 0admet une infinit´e de solutions. Exercice 6. Soitf: [a,b]→Rde classeC1telle quef?(x)?= 0,?x?[a,b]. Montrer que strictement monotone. Exercice 7. Soitf: [a,b]-→Rd´erivable telle quef(a) =f(b) = 0, etf?(a)>0,f?(b)>0. Exercice 8. Soitf: [0,1]-→[0,1]d´erivable telle quef◦f=f. Montrer quefest constante ou bienf=id[0,1].

Exercice 9. Th´eor`eme de Rolle `a l"infini.

Soitfune application d´erivable deRdansRqui admet la mˆeme limite en-∞et en +∞montrer que l"´equationf?(x) = 0admet au moins une solution

Exercice 10. Continuit´e uniforme.

1) Soitf: [0,+∞[-→Rune fonction continue ayant une limite finie en+∞.

a) Montrer quefest born´ee. b) Montrer quefadmet un maximum ou un minimum absolu, mais pas n´ec´essairement les deux. c) Montrer quefest uniform´ement continue.

2) SoitIun intervalle born´e etf:I-→Runiform´ement continue. Montrer que

f(I)est un intervalle born´e.

3) Soitf:R-→Runiform´ement continue. Montrer qu"il existea,b?Rtels que :

Indication : Prendreε= 1et majorer|f(x)-f(0)|.

4) Soientf:D-→Runiform´ement continue born´ee etg:R-→Rcontinue. Montrer

queg◦fest uniform´ement continue.

5) Soitf:R-→Runiform´ement continue telle quelim+∞f(n) = +∞. Montrer que

lim +∞f(x) = +∞.

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Exercice 11.´Etude d"une suite implicite.

Soita?]0,1[,(n?N?on se propose d"´etudier les solutions des ´equationsfn(x) = 0o`u f n(x) = 2xn-xn-1-a.

1) Montrer que?n

n+ 1? n≥1est croissante. 2) ´Etudierfnsur]0,1[, en d´eduire que l"´equationsfn(x) = 0admet une unique solution dans]0,1[que l"on noteraxn.

3) Dire pourquoi

1 4) ´Etudier le signe defn(xn+1)en deduire que(xn)est croissante puis qu"elle converge vers une limite finiel.

5) Montrer quel= 1.

6) En d´eduire quelim+∞xnn=a.

7) Montrer que?n?N?on a :xnn≥a.

nbn-1. a

10) En d´eduire que :xn≂+∞n⎷

a.

Exercice 12. Injectivit´e locale.

Soitf:R-→Rd´erivable eta?Rtel quef?(a)?= 0.

1) Montrer qu"il existe un voisinageVdeatel que?x?V\ {a}, f(x)?=f(a).

2) Sif?est continue au pointa, montrer qu"il existe un voisinageVdeatel que

f |Vsoit injective. Exercice 13. le TVI, l"injection et la continuit´e. Soitf:R-→R. On dit quefv´erifie la propri´et´e des valeurs interm´ediaires si ?a,b?Raveca < b,?ycompris entref(a)etf(b),?x?[a,b] tel quef(x) =y.

1) Montrer que sifv´erifie la propri´et´e des valeurs interm´ediaires et est injective,

alors elle est continue.

2) Trouver une fonction discontinue ayant la propri´et´e des valeurs interm´ediaires.

Exercice 14. Propri´et´e des valeurs interm´ediaires pourf?.

Soitf: [a,b]-→Rd´erivable.

1) On suppose que :?x?[a,b], f?(x)?= 0.

Montrer quef?est de signe constant.

2) Dans le cas g´en´eral, montrer quef?([a,b])est un intervalle.

Exercice 15. Th´eor`eme des accroissement finis g´en´eralises. Soientf,g: [a,b]-→Rcontinues d´erivables sur]a,b[telles que :

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www.chez.com/myismail Exercice 16.´Etude des extremums et z´eros d"une suite de fonctions.

Pourx?Retn≥2on posefn(x) =xn+x+ 1.

1) Etudier le signe def?2nsurR.

2) En d´eduire quef2natteint son minimum surRen

a n=-2n-1? 1 2n.

3) On posef2n(an) =mn, montrer que :-1< an<0etmn>0.

4) En d´eduire les limites deanetmn.

5) Pour tout r´eelx >0tel quex?=1

2, on pose :f(x) =-2x-1?

1 2x.

Trouver une fonctiongtelle quef?(x) =f(x)g(x)

(2x-1)2. 6) ´Etudier le signe degen d´eduire quefest d´ecroissante.

7) En d´eduire que(an)est monotone.

8) ´Etudierf2n+1, en d´eduire que l"´equationf2n+1(x) = 0admet une seule solution dansRque l"on noterabn, v´erifier que-1< bn<-1 2.

9) Calculerf2n+1(bn+1), en d´eduire que(bn)est d´ecroissante puis qu"elle converge.

10) Montrer quelim+∞bn=-1, en d´eduire quelim+∞b2n+1n= 0.

Exercice 17. D´erivabilit´e uniforme.

Soitf: [a,b]-→Rde classeC1.

D´emontrer que :?ε >0,?δ >0tel que?x,y?[a,b],

0<|x-y|< δ=?????f(x)-f(y)

x-y-f?(x)????

Exercice 18.´Etude d"une suite r´ecurrente.

On posex0=3

2xn+1=xn(2-ln(xn)),?n?N

1) Montrer que(xn)est bien definie.

2) Montrer que(xn)est croissante.

3) En d´eduire que(xn)est convergente, preciser sa limite.

4) Montrer que :

?(x,y)?[2,e]2:???? ln(y)-ln(x)-y-x x????

4|xn-e|2.

6) En deduire les 5 chiffres apr´es la virgule dee.

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Exercice 19.´Etude d"une suite implicite.

1) Montrer que pour toutn≥2, l"´equation :x+x2+···+xn= 1admet une solution

unique dans]0,1[que l"on noteraxn. Indication : On pourra penser `a utiliser le TVI sur[0,1]pour la fonctionfn(x) = x+x2+···+xn-1.

2) Montrer que(xn)est monotone puis convergente.

3) Calculerx2. Montrer quelim+∞xnn= 0, en d´eduirelim+∞xn.

Exercice 20.´Etude d"une suite implicite. Pour tout entiernet r´eelxon posefn(x) = x+ 2x2+ 3x3+...+nxn-1.

1) Montrer que l"´equationfn(x) = 0admet une solution unique dans[0,1]que l"on

noteraxn.

2) Calculerfn+1(xn), en d´eduire que(xn)est d´ecroissante puis qu"elle converge.

3) Montrer que pourxdiff´erent de 1 on a :

f n(x) =nxn+2-(n+ 1)xn+1+x (x-1)2-1

4) Calculerx2, puis en d´eduire les limites des suites suivantes(xnn),(nxnn),(xn).

Exercice 21. Distance `a la corde.

Soitf: [a,b]-→Rde classeC2.

1) On suppose quef(a) =f(b) = 0. Soitc?]a,b[. Montrer qu"il existed?]a,b[tel

que : f(c) =-(c-a)(b-c)

2f??(d).

Indication : Consid´ererg(t) =f(t) +λ(t-a)(b-t)o`uλest choisi de sorte que g(c) = 0.

2) Cas g´en´eral : Soitc?]a,b[.

Montrer qu"il existed?]a,b[tel que :

f(c) =b-c b-af(a) +c-ab-af(b)-(c-a)(b-c)2f??(d).

3) En d´eduire la distance de la corde `a la courbe en tout point, puis une majoration

de cette distance.

Exercice 22. Cordes de longueur1n.

Soitf: [0,1]-→Rcontinue telle quef(0) =f(1).

1) Montrer qu"il existex??

0,1 2? tel quef(x) =f? x+12?

2) Pourn?N,n≥2, montrer qu"il existex??

0,1-1 n? tel quef(x) =f? x+1n?

3) Trouver une fonctionftelle que :?x??

0,3 5? ,f(x)?=f? x+25?

4) Montrer qu"il existea >0tel que :

?b?]0,a],?x?[0,1-b]tel quef(x) =f(x+b).

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Exercice 23. Th´ero`eme de Rolle successif.

1) soitn?N?,(a,b)?R2tel quea < betgde classeCnsur[a,b]qui s"annule au

moinsn+ 1fois sur[a,b], montrer alors queg(n)s"annule au moins une fois sur [a,b]. Indication :Penser `a utiliser le th´eor`eme de Rolle plusieurs fois.

2) Soitn?N?a1< a2< .... < andes nombres re´els deux `a deux distincts etfde

classeCnsur[a1,an]qui s"annule sur tous lesai, montrer que : n!n k=1(x-ak). Indication on pourra fixerxet utiliser (1) pour la fonctiong(t) =f(t)-An? k=1(t- a k)avecAnombre r´eel choisi tel que :g(x) = 0. Exercice 24.´Ecart `a un polynˆome interpolateur. Soitf:R-→Rde classeCn,a1,...,annpoints distincts dansR, etPle polynˆome de Lagrange de degr´e inf´erieur `an-1, prenant les mˆemes valeurs quefaux pointsai, on dit qu"il interpollefaux pointsai. On poseQ(x) =1 n!n i=1(x-ai). Montrer que :?b?R,?c?Rtel quef(b) =P(b) +Q(b)f(n)(c) Indication : Consid´ererg(t) =f(t)-P(t)-λQ(t)o`uλest choisi de sorte queg(b) = 0.

Exercice 25. Polynˆomes de Legendre.

On posef(t) = (t2-1)n.

1) Montrer que :?k? {0,...,n-1}, f(k)(1) =f(k)(-1) = 0.

2) Calculerf(n)(1)etf(n)(-1).

3) Montrer quef(n)s"annule au moinsnfois dans l"intervalle]-1,1[.

Exercice 26. R`egle de l"Hospital.

Soientf,g: [a,b]-→Rd´erivables avec :?x?]a,b[, g?(x)?= 0.

1) Montrer qu"il existec?]a,b[tel que :f(b)-f(a)

g(b)-g(a)=f?(c)g?(c). Indication : Appliquer le th´eor`eme de Rolle `af-λg, o`uλest un r´eel bien choisi.

2) En d´eduire que silima

+f ?(x) g?(x)=l, alors lim a+f(x)-f(a) g(x)-g(a)=l(R`egle de l"Hospital).

3) Application : d´eterminerlimx0+cosx-ex

(x+ 1)ex-1.

Exercice 27. TAF dansC. Soitf:R-→C

t?-→eit.

1) Montrer quefest de classeC1. Calculer sa fonction d´eriv´ee .

2) Montrer quefne v´erifie pas leTAF

Convexit´e

Toutes les fonctions consid´er´ees dans ce qui suit sont de classeC2.

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Exercice 28. Soientx1,x2,...,xn>0.

Montrer que :x1

x2+x2x3+···+xnx1≥n.

Exercice 29. Soitf:R-→Rconvexe.

Montrer que l"on a :

- Soitfcroissante surR. - Soitfd´ecroissante surR. - Soit il existea?Rtel quefest d´ecroissante sur]-∞,a], puis croissante sur[a,+∞[.

Exercice 30..

1) Soitf:R+-→Rconvexe et born´ee. Montrer quefest d´ecroissante.

2) Soitf:R-→Rconvexe et born´ee. Montrer quefest constante.

g(x)etf(1) =g(1).

Montrer que :f=g

Exercice 32. Soitf:R-→Rconvexe telle queCfadmet une asymptote d"´equation y=mx+pen+∞.

Montrer queCfest au dessus de cette asymptote.

Exercice 33. Soitf:R-→Rconvexe d´erivable.

Montrer quef?est continue.

1) Etudier l"existence des limites (dansR? {?ı}) en+ıdef(x),f?(x),f(x)

x.

2) Mˆeme question pour les limites en-ıdef(x),f?(x), etxf?(x).

Exercice 35. Soitf: [a,b]→Rcontinue telle que :?x,y?[a,b], f?x+y2? f(x) +f(y)

2. Montrer quefest convexe.

Exercice 36. Soitf: [a,b]-→[c,d]convexe, bijective, croissante. u n+1=un+vn 2 v n+1=f-1?f(un) +f(vn) 2? Montrer que(un)et(vn)convergent vers une mˆeme limite.

Exercice 37. Soitf:R-→R?+.

Montrer que :lnfest convexe?? ?α >0,fαest convexe.

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Exercice 38..

1) Soitf:R-→Rconvexe d´erivable.

Montrer quep= lim+∞(f(x)-xf?(x))existe.

2) On supposepfini. En utilisant le fait quef(x)-xf?(x)est born´ee au voisinage

de+∞, montrer quef(x) xetf?(x)admettent une mˆeme limitemfinie en+∞.

3) Montrer alors quelim+∞f(x)-mx-p= 0.

Exercice 39.´Etant donn´e une fonctionfconvexe surRet une fonctiongconvexe et croissante surR, montrer queg◦fest convexe. Exercice 40. Soitf: [0,+∞[-→Rdeux fois d´erivable telle quelim+∞f(x) =f(0). Montrer qu"il existec?]0,+∞[tel quef??(c) = 0. Exercice 41. Soitf: [0,+∞[-→[0,+∞[concave.

1) Montrer que la fonctionx?-→f(x)

xest d´ecroissante sur]0,+∞[. Indication : Utiliser la monotonie de la fonction :?:x?→f(x)-f(0) x-0. Indication : Utiliser la d´efinition de la convexit´e avect=x x-y<0.

Exercice 42. Constante d"Euler.

Soitf: [0,+∞[-→Rconcave, d´erivable, croissante.

2) On pose :un=f?(1) +f?(2) +···+f?(n)-f(n)

v n=f?(1) +f?(2) +···+f?(n)-f(n+ 1)

Montrer que ces suites convergent.

3) On prendf(x) = lnx. Soitγ= limx+∞un(constante d"Euler).

Calculerγ`a10-2pr`es.

Exercice 43. Caract´erisation des fonctions convexes ou concaves par le TAF. Soitf:R-→Rd´erivable telle que :?a,b?Rtel quea < b,?!c?]a,b[tel quef(b)- f(a) = (b-a)f?(c).

1) Montrer que pour touta?R, la fonctionb?-→f(b)-f(a)

b-aest monotone sur ]- ∞,a[et sur]a,+∞[.

2) En d´eduire quefest strictement convexe ou strictement concave.

Exercice 44. In´egalit´es en vrac

1) Montrer que :?x?R, ex≥2ex

2.

2) Soitn?N?. Montrer que :?x?R+, xn+1-(n+ 1)x+n≥0.

3) Soitx?]1,+∞[etn?N?. Montrer que :xn-1≥n?

xn+1

2-xn-12?

Fin`a la prochaine

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