Dérivabilité
Au contraire la fonction définie sur R par f(x) = ?
DÉRIVATION (Partie 2)
Donc f n'est pas dérivable en 0. Géométriquement cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0.
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I. On dit que f est dérivable en x0 si la limite lim h?0 f(x0 + h) ? f(x0).
FONCTIONS DE CLASSE C1
x. La fonction f est donc dérivable en 0 et ' 0. 0 f. FONCTIONS DE CLASSE C1. 10. Page 3. 3. La fonction f est de classe 1. C sur 01 et sur 1
DÉRIVATION
Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre h?0 h + 7. ( )= 7. Le coefficient directeur de la tangente est égal à 7.
épreuve de spécialité - session 2021
Application du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [0 ; 1]. 5. On suppose que g est une fonction dérivable sur l'intervalle [?4 ; 4].
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un
Lorsqu'une fonction est dérivable en a f '(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. En particulier
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Continuité et dérivabilité dune fonction
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Exercice 2. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f de R vers R définie par : f(x) = 8>><. >>: ex x si x < 0 cos2(?x)
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DÉFINITION • Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a f est dérivable en a si lim h?0 f(a+h)? f(a)
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Soit f une fonction définie sur un intervalle ou sur une réunion d'intervalles deux à deux disjoints et a ? D f Dire que la fonction f est dérivable en a et
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Une fonction dérivable en admet une tangente en et le nombre dérivé en est la pente de La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0
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Si f g sont des fonctions continues et dérivables définies sur des intervalles I Par exemple la fonction f : x ?? x n'est pas dérivable en zéro
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Pour établir qu'une fonction ƒ est constante sur un intervalle I on peut montrer que ƒ est dérivable sur I et que f'0 (ex 5 3 1) • Pour étudier l'existence
Comment montrer qu'une fonction est dérivable en 0 ?
Si f est définie dans un voisinage de x0 x0 x0 : f est dérivable en x0 ssi f est dérivable à gauche et à droite en x0 et fg (x0)=fd (x0). On a alors f (x0) = fg (x0) = fd (x0).Est-ce que 0 est dérivable ?
On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.Quelle est la dérivée de zéro ?
Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).- Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
![[PDF] Dérivabilité des fonctions](https://pdfprof.com/Listes/17/57644-17dvbilite.pdf.pdf.jpg "[PDF] Dérivabilité des fonctions")
Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité Sur un intervalle
Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition ouvert. Si dans un énoncé, on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire.Exemple
Montrer que f(x) = (x² + 3x) 8+x est dérivable sur ][+¥-;8 . La fonctio est le produit d'un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d'une racine continue sur ][+¥-;8 donc elle est dérivable sur ][+¥-;8 . Attention : vous remarquerez la différence entre l'exemple de la continuité et celui-ci : l'intervalle d'étude est totalement ouvert !En un point
Là encore, il n'y a qu'une chose à faire : connaître la formule et l'utiliser Une fonction est dérivable en a si et seulement si ax afxf ax- )()(lim est un nombre finiExemple
Montrer que la fonction f(x) = xx²est dérivable en 0§ On commence par calculer 0
)0()( x fxf puis on étudie sa limite en 0 : xxx xx x fxf==- 0 )0()( et 0lim 0=®xx
x § Ensuite on regarde si la limite trouvée est un nombre fini : 0 est bien un nombre fini. § On conclut : f est dérivable en 0 et f '(0) = 0Dérivabilité et conséquence graphique
Lorsqu'une fonction est dérivable en a, f '(a) est le coefficient directeur de la tangente à la
courbe de f au point d'abscisse a. En particulier, si f '(a) = 0, la tangente est horizontale. Lorsqu'une fonction n'est pas dérivable en a et que ¥=-®ax
afxf ax )()(lim, la courbe de f admet au point d'abscisse a une tangente verticale . Visualisons pourquoi la tangente est verticale dans ce cas On sait que le coefficient directeur correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la droite . Sur le graphique suivant , on a tracé des droites de coefficient directeur de plus en plus grand , on s'aperçoit que ces droites s'approchent de la verticale , donc un coefficient directeur infini conduit à une droite verticale .La droite rose a pour coefficient : 0,5
La droite rouge : 1
La droite bleue :1,5
La droite verte : 3
Dérivabilité des fonctions
Exemple 1
Soit f(x) = 1²+x . Etudier la dérivabilité de f en 0 ()()()()11²11²11²
11²11²11²
0 )0()( x x xx x xx xx x x x fxf211²lim
0=++ ®x x donc 011²lim0=++®x
x x La fonctio est donc dérivable en 0 et f '(0) = 0 Donc la courbe de f admet au point d'abscisse 0 une tangente horizontaleExemple 2
Soit f(x) = 1+x . Etudier la dérivabilité de f en - 1 1 1 1 1 1 )1()( xx x x fxf et + -®=+01lim 1x x donc +¥=-- +-®)1( )1()(lim 1x fxf xLa fonctio n'est pas dérivable en - 1
La courbe de f admet une tangente verticale au point d'abscisse - 1 .Exemple 3
Soit f(x) = 1-x . Etudier la dérivabilité en 1 11 1 1 )1()(=- x x x fxf si x > 1 et 11 1 1 )1()(-=- x x x fxf si x < 1 .Donc 11
)1()(lim 1-=- -®x fxf x et 11 )1()(lim 1=- +®x fxf x .La fonctio n'est pas dérivable en 1 car les limites à gauche et à droite sont différentes
La courbe admet deux demi-tangentes .
Exercices
Exercice 1
1) Soit la fonctio définie par f(x) = ÷ø
ae xx1sin si x ¹0 et f(0) = 0 . Etudier la dérivabilité de f en 0 .2) Soit la fonction f(x) = x . Etudier la dérivabilité de f en 0
3) Soit la fonction f définie par f(x) = x² si x ³ 0 et f(x) = x - 1 si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .4) Soit la fonctio définie par f(x) = x² si x ³0 et f(x) = x si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .5) Soit la fonctio définie par f(x) = x² si x ³ 0 et f(x) = - x² si x < 0 . Etudier la
dérivabilité de f en 0 .Dérivabilité des fonctions
Exercice 2
Dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses :1) La fonctio définie par f(x) = 1²
1 x x est continue en 12) La fonctio définie par f(x) = 1
1² x x est continue en 1 3) 5 4 4554lim=-
+¥®x x x4) +¥=+
1limx x x5) Si +¥=
¥+ulim et u < v alors +¥=
¥+vlim
6) Si +¥=
¥+ulim et v < u alors +¥=
¥+vlim
7) La fonction g(x) = 1²
cos +x x n'a pas de limite en ¥+8) 0lim®x1²
cos +x x = 19) La courbe de la fonction f(x) = 1²
1²2
x x admet trois asymptotes10) La courbe de la fonction f(x) = 1²2
1² x x admet trois asymptotes11) La dérivée de cos(x²) est - 2 x sin(x²)
12) La dérivée de cos² x est - 2 x sin(x²)
13) La dérivée de 42
1 +x est ()342 1 +x14) La dérivée de tan x est tan² x - 1
15) 01coslim0=-
®x x x16) La dérivée seconde de ( x² - 4 ) ( 2x - 3 ) est 6 ( 2x - 1 )
17) La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe de la fonction f(x) = x3 + x + 1 a pour
équation y = 4x - 1
18) La fonction f(x) = 1-xx est dérivable sur [[+¥;1
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