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Math122Calcul des primitives.TABLE DES MATIÈRESCalcul des primitives. Intégrales des fonctions élémentaires et Talor avec reste intégral.

Table des matières

1 "Rappels»2

2 trigonométrie5

2.1 sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 tangente et fcts. réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Primitives7

3.1 Définitions des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Propriétes des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Taylor avec reste primitive 11

4.1 Dérivées d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Notations

SoitI,J,...des intervalles réels1)[contenant plus d"un point].1)de l"un des neuf types :]a,b[,]a,b],[a,b[,[a,b],

]- ∞,b[,]- ∞,b],]a,+∞[,[a,+∞[, ]- ∞,+∞[=R, oùa,b?Rsont deux réels aveca < b. L"interieur◦Ide l"intervalleIest alorsRdans le dernier cas, ]a,b[dans les quatre premiers,]- ∞,b[dans les deux suivants et]a,+∞[dans les deux avant derniers. 1

Math122Calcul des primitives.1 "Rappels

2)» de calcul différentiel.2)Une liste de propriétés de la dérivation des fonctions dérivables

qui sont utilisées pour le calcul des primitives. Ici on prendra ces propriétés comme des "Axiomes», les définitions dedérivable, fonctions dérivée,...et les preuves,

partiellement vues en terminale, seront données en Mat121.À une fonction dérivablef:I→Ron associe sa (fonction) dérivéef?:I→R.

1.0.1 Proposition(Propriétés algébriques de la dérivation).

(i) (a) Une fonction constantefc:I→R t?→cest dérivable etf?c= 0 :I→Rt?→0. (b) L"inclusioni=iI:I→Rt?→test dérivable eti?= 1(=f1) :I→Rt?→1. Soitf,g:I→Rdérivables etλ,μ?Ralors :

(ii) La combinaison linéaireλf+μg:I→Rest dérivable et :(Linéarité de la dérivation)

(λf+μg)?=λf?+μg?:I→R,t?→λf?(t) +μg?(t) (iii) Le produitf·g:I→R,t?→f(t)g(t)est dérivable et :(Formule de Leibniz)

Si les deux fonctionsfetgne s"annullent pas

en divisant par le produitfgLeibniz donne la : formule d"addition de la dérivée logarithmique : ?fg? ?fg =f?f +g?g qui permet des calculs plus simples, comme : fg ?=f?f -g?g (f·g)?=f?·g+f·g?:I→R,t?→f?(t)g(t) +f(t)g?(t) (iv) Si pour toutt?I, g(t)?= 0alors le quotientI→R t?→f(t)g(t)est dérivable et : fg ?=f?g-fg?g

2:I→R,t?→f?(t)g(t)-f(t)g?(t)g

2(t)

1.0.2 Remarques.1. (a) L"ensembleD(I) ={f:I→R|fest dérivable}des fonctions réelles

sur l"intervalleIqui sont dérivables est un sous-espace vectoriel deF(I) ={f:I→R}, l"espace vectoriel de toutes les fonctions réelles surIet (b) l"application dérivéeD:D(I)→ F(I) f?→f?est linéaire.

2. En admettant la première partie du dernier point de la proposition 4.1.3 (que le quotient est

dérivable), la formule pour la dérivée du quotient découle de la formule de Leibniz :

1.0.3 Exercice.SoitIun intervalle réel etf,g,h:I→Rdérivables telles quegh=f.

En utilisant la formule de Leibnitz, vérifiergh?=f?-g?h, en déduire, si?t?I, g(t)?= 0, que?t?I,h?(t) =f?(t)g(t)-f(t)g?(t)g(t)2.

2

Math122Calcul des primitives.1.0.4 Proposition(dérivée des fonctions composées et réciproques).

Soit?:J→Ietf:I→Rdérivables alors

(i) La fonction composéef◦?:J→Rt?→, f(?(t))est dérivable et :(dérivée des fonctions composées)

("chain rule" dans les livres en anglais) ?f◦?? (ii) Si?est bijective et pour toutt?J, ??(t)?= 0alors?-1:I→Jest dérivable et pour toutt?Jon a :(dérivée des fonctions réciproques)??-1??(?(t)) =1? ?(t)

1.0.5 Remarques.1. Dans le second point de 1.0.4 la condition??(t)?= 0est nécessaire

et la formule de pour la dérivée de?-1découle de la dérivabilité de?-1: On aIdJ=?-1◦?donc, en admettant la dérivabilité de?-1, on a par point de 1.0.4 : pour toutt?J1 = Id? J(t) =??-1??(?(t))·??(t)donc??(t)?= 0et??-1??(?(t)) =1? ?(t)

2. Une preuve géométrique second point de 1.0.4 : Rappelons que :

Graphe de la fonction réciproqueabcd

x (x) x (x)' -1 (1,? )(x)'(? ,1)(x) ?(a) i. Sifest une fonction dérivable définie enx, le vecteur(1,f?(x))est tangent au graphe de la fonctionfen son point(x,f(x))d"abscissex. ii. Réciproquement si le graphe d"une fonctionfa en son point(x,f(x))d"abscissexun vecteur tangent(s,t)non vertical (s?= 0) alorsfest dérivable enxetf?(x) =ts iii. Si une courbe planeΓa en un pointx?R2du plan un vecteur tangentv= (s,t)et D:R2→R2,M?→A(M)+Nest une application affine du plan de partie linéaireA alors la courbeD(Γ)admet le vecteurA(v)comme vecteur tangent au pointD(M). (b) Si?:J→Iest bijective alors le graphe de sa fonction réciproque?-1:I→Jest le symétrique{(y,?-1(y))|y?I}={(?(x),x)|x?J}du graphe{(x,?(x))|x?J}de?.

Ainsi le vecteur(??(x),1), symétrique par rapport à la première diagonale du vecteur(1,??(x))

tangent en(x,?(x))au graphe de?, est tangent en(?(x),x)à celui de?-1. Si de plus??(x)?= 0est non nul, on a(??(x),1) =??(x)(1,1? ?(x))d"où le résultat par 2(a)ii 3 Math122Calcul des primitives.Graphes des fonctions Exponentielle et Logarithme-4 -2 0 2 4 -113579 -1 1 3 5 7 9 -4 -20241.0.6 Exemples.1. La fonction Exponentielle exp :R→]0,+∞[ est dérivable, bijective etexp ?= expdonc sa réciproque, la fonction Logarithme : Log

Déf== exp-1:]0,+∞[→R

est dérivable et pour toutt?Ron aLog?(exp(t)) =1exp(t). Ainsi

3)pour toutx?Ron aLog

?(x) =1x3) car pour toutx >0il y a unt?Rtel quex= exp(t)

1.0.7 Remarque.L"exemple précédent suppose la "définition de terminale4)de la fonction exponentielle4)qui ne serait unedéfinitionqu"après que l"on aitprouvéque

cette équation différentielle a une unique solution, ce qui n"est

(pour l"existence du moins) pas fait en terminale!t?→etcomme unique solution de l"équation différentiellee?=evérifiante?(0) = 1.

Commef:]0,+∞[→R,f(t) =1t

est continue le cours d"intégration assurera quefa une unique primitiveF= Log :]0,+∞[→Rtelle queF(1) = 0, que l"on prouve être bijective.

1.0.8 Exercice.En définissant exponentielleexp :R→Rcomme la bijection réciproque deLog, prouver que l"exponentielle est dérivable et vérifieexp?= exp.

2. Soitα?Retpα:]0,+∞[→R,pα(t)=exp(αLog(t))=eαLog(t)(=tα), lapuissance d"ordre5)αcomposée5)Dans le cas oùα=1n

, l"inverse d"un entier positif :x1n =n⎷x, mais la notationx1n

est plus pratique quen⎷x.de l"homothétiet?→αLog(t)et de l"exponentiellet?→et, est dérivable et pour toutt?]0,+∞[alors6):

6) p?α(t) = exp?(αlog(t))·αLog?(t) = exp?(αLog(t))·α·1t =eαLog(t)·α·e-Log(t)=αe(α-1) Log(t)=αtα-1p

?α(t) =αtα-11.0.9 Exercice.Pourα=-1, déduire la formule précédente de 4.1.3, puis prouver la pourα=n?Zentier relatif par récurrence sur|n|et la formule de Leibniz .

1.0.10 Théorème(caractérisation des fonctions monotones dérivables).7)Soitf:I→Rdérivable7)CorollaireSif,g:I→Rsont dérivables et pour toutt?I

En particulierfest constante si et seulement si sa dérivée est la fonction nulle.

1.0.11 Exercice.Déduire de la partie de 1.0.10 caractérisant les fonctions croissantes dérivables [l"énoncé sans les respectivement] la caractérisation des fonctions

dérivables décroissantes [l"énoncé de 1.0.10 avec les respectivement] et le corollaire en marge.

4 Math122Calcul des primitives.2 Fonctions circulaires et leurs fonctions réciproques.

2.1 Les fonctions sinussinet cosinuscos.

Le cercle trigonométriquetg(t)tg(t)

sin(t) cos(t) ALes fonctionscos,sin :R→Rsont "définies» par : M(t) = (cos(t),sin(t))est le point à distancetdu pointA= (1,0)sur lecercle trigonométrique, le cercle unité{(x,y)?R2|x2+y2= 1}orienté dans le sens trigonométrique. On a donc :cos

2+sin2= 12.1.1 Remarque(Raison des guillemets " » autour de définies).

Sauf pour les segments de droite, la longueur d"une courbe n"a pas été définie. Dans le cas présent (le cercle unité) où la courbe a des paramérisations

8)u?→M(u) = (x(u),y(u))par des

8) ici, six >0, y?→(?1-y2,y), siy >0, x?→(x,⎷1-x2)

six <0, y?→(-?1-y2,y), siy <0, x?→(x,-⎷1-x2)fonctionsx,ydérivables à dérivéesx?,y?continues la fonctionu?→??

x?(u)?2+?y?(u)?2associant au paramètreula

longueur du vecteur tangent enude la paramétrisation est continue. Quand on saura qu"une fonction continue admet

une primitive on pourra définir la longueur algébrique entre les pointsM(u1)etM(u2)de paramètreu1etu2par :

u2 u 1?? x?(u)?2+?y?(u)?2du

Le cercle unité étant de longueur2π, les fonctionscosetsinsont2πpériodiques9)telles que :9)pour toutt?Ron acos(t+2π) = cos(t)etsin(t+2π) = sin(t)

Graphes des fonctions sinus(en bleu)et cosinus(en vert) -4 0 4 8 12 -1.5 -1.0-0.50.00.51.01.5sin -1(0) =?nπ???n?Z?cos-1(0) =?2n+ 12 =nπ+π2 ??n?Z? et dérivables de dérivées :sin ?= cos,cos?=-sin2.1.2 Exercice.Soits:R→R,s(t) =π2 -t.

1. Expliquer géométriquement la relationcos = sin◦s

2. Déterminers◦s. En déduire

(a) la relationsin = cos◦s, puis (b) de ce quesinest dérivable avecsin?=cos, quecosest dérivable aveccos?=-sinet (c) desin-1(0) ={nπ;n?Z}que l"on acos-1(0) =?2n+12

π=nπ+π2

??n?Z? 5

Math122Calcul des primitives.2.2 tangente et fcts. réciproques2.2 Tangentetg, arctangenteArctg, arcsinusArcsinet arccosinusArccos.

Graphe des fonctions tangentetget arctangenteArctg-4 0 4 8 12 -1.5 -1.0-0.50.00.51.01.5La fonctiontangente:tg :R\cos-1(0)→R,tg(t) =sin(t)cos(t) est dérivable et pour toutt?R\cos-1(0)on a : tg

?(t) =sin?(t)cos(t)-sin(t)cos?(t)cos(t)2=cos(t)cos(t)-sin(t)(-sin(t))cos(t)2=cos(t)2+ sin2(t)cos(t)2donc :

Graphe de tangentetg|et arctangenteArctg-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -3 -2-10123-3 -2 -1 0 1 2 3 -2.0 -1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0tg ?= 1 + tg2=1cos

2La fonction tangente induit une bijectiontg|:]-π2

,π2 [→R. Donc la bijection réciproqueArctg :R→]-π2 ,π2 [est dérivable de dérivée :Arctg ?:R→]-π2 ,π2 [,Arctg?(x) =11 +x2?x= tg(t)?De même les fonctions sinus et cosinus induisent des bijections Graphe de sinussin|et arcsinusArcsin-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -1.5 -1.0-0.50.00.51.01.5-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 -2.0

-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0Graphe de cosinuscos|et arccosinusArccos0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

-1.5 -1.0-0.50.00.51.01.5 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 -101234: sin |: [-π2 ,-π2 ]→[-1,1],cos|: [0,π]→[-1,1]

dérivables, de dérivées :sin?= cos,cos?=-sinne s"anullant pas sur les intervalles ouverts corres-

pondants]-π2 ,-π2 [et]0,-π[. Leurs bijections réciproquesArcsin : [-1,1]→[-π2 ,-π2 ]etArccos : [-1,1]→[0,π]sont donc dérivables sur l"intervalle ouvert]-1,1[et pour toutu,v?]-1,1[on a :Arcsin

?(u) =1⎷1-u2,Arccos?(v) =-1⎷1-v2?u= sin(t), v= cos(t)?2.2.1 Exercice.1. Vérifier sis,t?]-1,1[les relations

(a)sin(Arccos(s)) =⎷1-s2 (b)cos(Arcsin((t)) =⎷1-t2

2. Déterminer les applicationsArccos◦sin : [-π2

,π2 ]→[-1,1]etArcsin◦cos : [0,π]→[-1,1]. 6 Math122Calcul des primitives.3 Primitives et leur calcul.

3.1 Primitives et intégrales d"une fonction.

3.1.1 Définition et Proposition.Une fonctionf:I→Radmet uneprimitiveF:I→R

(festprimitivable) siFest continue, dérivable sur l"intérieur10)◦Ide l"intervalleIetf=F?.10)Rappelons que siIest un intervalle à plus d"un point, il est

d"un des neuf types : ]a,b[,]a,b],[a,b[,[a,b], ]- ∞,b[,]- ∞,b],]a,+∞[,[a,+∞[, ]- ∞,+∞[=R, oùa,b?Rsont deux réels aveca < b. L"interieur◦Ide l"intervalleIest alorsRdans le dernier cas, ]a,b[dans les quatre premiers,]- ∞,b[dans les deux suivants

et]a,+∞[dans les deux avant derniersEn ce casF1est une autre primitive defsi et seulement siF1-Fest constante.

3.1.2 Définition.SoitFune primitive def:I→Retx,y?Ideux points de l"intervalleI.

L"intégrale (au sens des primitives) dexàydefest : y xfsyn==? y xf(t)dtDéf: =F(y)-F(x)Déf= :?F? y x

3.1.3 Remarques.1. CommeFest dérivable sur l"intérieur◦Ide l"intervalleI, sa continuité est

automatique dans◦I. Ce n"est donc une hypothèse qu"aux extrémités éventuelles{a,b} ∩I.

y x y x

g(b) Mais dans la définition de l"intégrale, contrairement aux rappels ci-dessus pour les extré-

mitésa,bdes intervalles oùa < b, on ne suppose aucun ordre entrexety, ainsi : x yf=-? y xfdonc? x yf= 0

3. "Lire à l"envers» les tables de dérivation

12)suffit, dans des cas simples à calculer ces intégrales.12)et d"appliquer la linéarité

3.1.4 Exemples.(a)?

y xcos =?sin? y x;? y xsin =?-cos? y x (b) Sin?Nalors? y xxn=?xn+1n+ 1? y xEn particulier? y xut2+vt+wdt=?ut33 +vt22 +wt? y x

Si de plusxy >0etα?R\ {-1}alors :

(c) y x1t dt=?Log(|t|)? y x= Log(|yx |) = Log(yx (d) Siα?R\ {-1}alors :? y xxα=?xα+1α+ 1? y x 7 Math122Calcul des primitives.3.2 Propriétes des primitives3.2 Propriétés des primitives.

3.2.1 Proposition(Changement de variable).Soit?:J→Icontinue, dérivable sur◦I

etf:I→Rune fonction13)admettant une primitiveF. Alorsg= (f◦?)·??:J→Rt?→?(t)·??(t)13)de sourceI, le but de?

admetF◦?comme primitive, ainsi pour toutx,y?Jon a : y xf(?(t))·??(t)dt=? ?(y) ?(x)f(s)ds

Démonstration:?

y xf(?(t))·??(t)dt=?F◦?? y x=F(?(y))-F(?(x)) =?F? ?(y) ?(x)

3.2.2 Exemple.Soitu,v,w?Ravecuw?= 0(doncu?= 0?=w) et la fonction14) 14)qui est bien définie car

u

2t2+ 2uvt+v2+w2= (ut+v)2+w2≥w2>0

f:R→R,f(t) =1u

2t2+ 2uvt+v2+w2

Comme?:R→R,?(s) =ux+vw

est dérivable et pour touts?R,??(s) =uw ?= 0et : N"apprennez pas par coeur ces formules, mais refaites le calcul dans chaque cas : f(t) =14t2+ 12t+ 34=14t2+ 12t+ 9 + 25 =15

2+ (2t+ 3)2=15·211+

?2t+ 35

2·25

110

Arctg?(2t+ 35

)·25 =110

Arctg?(?(t))·??(t)

où?(t) =2t+ 35 .f(t) =1(ut+v)2+w2=1w

2+ (ut+v)2=1wu

11+ ?ut+vw

2·uw

=uw

Arctg?(?(t))·??(t)

la fonctionF=1wu

Arctg◦?:R→R,F(t) =uw

Arctg(ut+vw

)est une primitive def.

3.2.3 Exercice.Soitf:]-1,1[→R,f(t)t⎷1-t2.

Remarquerf(t) =12

(1-t2)-12 (-2t)etf(t) = cos(Arccos(t))-1⎷1-t2= sin?(Arccos(t))Arccos?(t).

En déduire, six?]-1,1[, deux calculs de?

x 0 f(t)dtdont vous déduirez une autre solution de 1a de l"exercice 2.2.1 8

Math122Calcul des primitives.3.2 Propriétes des primitives3.2.4 Proposition(intégration par partie).Soitf,g:I→Ravecgdérivable,fadmettant une

primitiveFetFg?admettant une primitive.

Alorsfgadmet une primitive et six,y?Ion a :

y xfg=?Fg? y x-? y xFg? Démonstration: Par la proposition 4.1.3 la fonctionFgest dérivable et?Fg? ?=F?g+Fg?=fg+Fg? doncfg=?Fg? ?-Fg?admet une primitive et :?y xfg=? y x{?Fg? ?-Fg?}=? y x?Fg? y xFg?=?Fg? y x-? y xFg?.

3.2.5 Exemple.

y xt

2(1 +t2)2dt=?

y x-2t(1 +t2)2·?-t2 ?dt=?11 +t2·?-t2 ?y x-? y x11 +t2·?-12 ?dt=12

Arctg(t)-t1 +t2?

y x. donc y x1(1 +t2)2dt=? y x1 +t2-t2(1 +t2)2dt=? y x11 +t2-t2(1 +t2)2dt=?

Arctg(t)?

y x-12

Arctg(t)-t1 +t2?

y x=12

Arctg(t) +t1 +t2?

y x

3.2.6 Exercice.Calculer la dérivée de la fonctionF:R→R,F(t) =12

[Arctg(t) +t1+t2]et retrouver le résultat de l"exemple précédent 3.2.5.

3.2.7 Exercice.Soitx?R. En adaptant la méthode de l"exemple 3.2.5 calculer?

x

01(1 +t2)3dt[il faut deux intégrations par partie].

3.2.8 Exemple.Soitx?]-1,1[etf:]-1,1[→R,f(t) =11-t2=12

[11 +t+11-t] donc : x 0 f=? x 012 [11 +t+11-t]dt=12

Log(1 +t)-Log(1-t)?

x 0=12

Log(1 +t1-t)?

x 0=12

Log(1 +x1-x)

3.2.9 Exemple.Soitx?]-1,+∞[etg:]-1,+∞[→R,g(t) =3t2+ 3t+ 2t

3+t2+t+ 1=t2+ 1 + (2t+ 1)(t+ 1)(t2+ 1)(t+ 1)=1t+ 1+2t+ 1t

2+ 1=1t+ 1+2tt

2+ 1+1t

2+ 1 donc :? x 0 g=? x

01t+ 1+2tt

2+ 1+1t

2+ 1dt=?

Log(t+ 1) + Log(t2+ 1) + Arctg(t)?

x 0=?

Log((t+ 1)(t2+ 1)) + Arctg(t)?

x

0= Log(x3+x2+x+ 1) + Arctg(x)

Le procédé des exemles précédent se généralise à toutes les fractions rationnelles réelles :

9

Math122Calcul des primitives.3.3 Primitives des fractions rationnelles3.3Primitives des fractions rationnelles réelles.

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