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Corrections : F. SarkisExo7

Théorème des fonctions implicites

Exercice 1

Soitf:R3!R2définie parf(x;y;z) = (x2y2+z21;xyz1). Soit(x0;y0;z0)2R3tel quef(x0;y0;z0) = (0;0). Montrez qu"il existe un intervalleIcontenantx0et une applicationj:I!R2tels quej(x0) = (y0;z0) etf(x;j(x)) =0 pour toutx2I. SoitF:R2!Rl"applicationF(x;y) =x2+y21. Démontrer que, pourxsuffisamment proche de 0, il existe

On considère le système d"équations:

x2+y22z2=0 x

2+2y2+z2=4

Montrer que, pourxproche de l"origine, il existe des fonctions positivesy(x)etz(x)telles que(x;y(x);z(x))

ConsidéronsF(x;y)=yn+an1(x)yn1+:::+a1(x)y+a0(x)un polynôme à coefficients variables. On suppose

1.

Les fonctions x!aj(x)sontC1,j=0;1;:::;n1.

2. pour un certain x02R, le polynômey!F(x0;y)a un zéro simpley02R.

Démontrer que, dans ces conditions,F(x;y)possède, pourxvoisin dex0, un zéroy(x)qui lui est proche dey0

Donner l"allure deC=f(x;y)2R2;x4+y3y2+xy=0gau voisinage des points(0;0)et(1;1).

Montrer que l"équationex+ey+x+y2=0 définit, au voisinage de l"origine, une fonction implicitejdex

Correction del"exer cice1 NSoit(x0;y0;z0)2R3tel quef(x0;y0;z0)=(0;0)(par exemple(1;1;1)).festC1car coordonnées polynomiales.

MatD2f(x0;y0;z0) =

=2y02z0 x

0z0x0y0

det(MatD2f(x0;y0;z0)) =2x0(y20+z20)6=0 carx0y0z0=1 doncx06=0;y06=0;z06=0. D"après le théorème

des fonctions implicites, il existeIintervalle contenantx0etj:I!R2tel quef(x;j(x)) =0 pour toutx2I

etj(x0) = (y0;z0).Correction del"exer cice5 NPosonsf(x;y) =x4+y3x2y2+xy,f(0;0) =0 etf(1;1) =0.Rest un espace de Banach etfest de

classeC1car polynomiale.

du théorème des fonctions implicites. Il existeIcontenant 0,Jcontenant 0 etg:I!J,C1tel queg(0) =0 et

f(x;g(x)) =0;8x2I. On a x

4+(g(x))3x2(g(x))2+xg(x) =0

En dérivant on obtient:

4x3+3g2(x)g0(x)2x2g(x)g0(x)+1g0(x) =0

d"oùg0(0) =1. On dérive encore:

12x2+6g(x)g0(x)2+3g2(x)g00(x)22g0(x)22g(x)g00(x)g00(x) =0

d"où g

00(0) =4:

implicites. Dans ce cas, on prend la dérivée par rapport à la premìère variable. et donc etg:I!Jde classeC1tels queg(1) =1 etf(g(x);x) =0;8y2I. On a g(y)4g2(y)+g(y)+y3y2y=0

En dérivant

4g3g02gg0+g0+3y22y1=0

d"où 4g0(1)g0(1) =0 et doncg0(1) =0.

12g2(g0)2+4g3g002gg002(g0)2+g00+6y2=0

d"oùg00(1) =4=3.2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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