[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)





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FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. Conséquences : a) x = ea est équivalent à a = lnx avec x > 0 b) ln1= 0 ; lne = 1 ; ln. 1 e. = ?1.



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ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln(. ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? ln(a) e0 = 1 ex+y = exey ex?y = ex/ey e?x = 1/ 



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ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln(. ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? ln(a) e0 = 1 ex+y = exey ex?y = ex/ey e?x = 1/ 



T ES Fonction exponentielle

ln 1 = 0 ln e = 1 ln e3 = 3 ln en = n ñ 1 = exp(0) ñ e = exp(1) ñ e3 = exp(3) ñ en = exp(n). Pour tout réel x on pose : exp(x) = ex.



Exponentielle et logarithme

?1. ?2. ?3. ?4. ?5. 0 y = ln(x) e définie sur ]0; +? [ à valeurs dans R ln(1) = 0 ln(e)=1. (ln(x))? = 1 x. (ln(u))? =.



4 Fonctions logarithme

puissance : ln(an) = nln(a);. • racine carrée : ln (. ?a) = 1. 2 ln(a). Propriété 2. ln(x) = 1 admet une unique solution no- tée e dans ]0; +?[. 1.



LOGARITHME NEPERIEN

ln 1 = 0. • ln e = 1. Remarque : La fonction exponentielle transformant une somme en produit on peut penser que la fonction logarithme népérien qui est sa 



Correction Test 7 ? ln(e 2?e) + ln (1 e) = ln(e2) + ln(?e) ? ln(e

2lne+. 1. 2ln(e) ? ln(e) = 3. 2 car ln(e) = 1. (p1) : ln(ab) = ln(a) + ln(b); (p2) : ln (. 1.



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

1 e x ? e. ( )+ lne soit : y = 1 e x . 6) Courbe représentative. On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien : 



S Antilles – Guyane septembre 2018

On obtient : e×1 ? e×?un ? e×e soit e ? un+1 ? e2 or 1 ? e donc 1 ? un+1 ? e2 . vn+1=ln(un+1)?2=ln(e×?un )?2=ln(e)+ln(?un)?2=1+. 1.



[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1) - maths et tiques

La fonction logarithme népérien notée ln est la fonction : ln : 0;+?????? ! x " lnx Exemple : L'équation ex = 5 admet une unique solution Il s'agit de 



[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+????? et (lnx)' = 1 x Démonstration : La fonction ln est continue sur 0;+?????  



[PDF] formulairepdf

Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln( ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? 



[PDF] LOGARITHME NEPERIEN - Pierre Lux

ln 1 = 0 • ln e = 1 Remarque : La fonction exponentielle transformant une somme en produit on peut penser que la fonction logarithme népérien qui est sa 



[PDF] FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1 Définition de la fonction « ln

Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0 l'unique solution a de l'équation ex = m On note cette solution a = ln(m)



[PDF] La fonction logarithme népérien - Lycée dAdultes

3 déc 2014 · Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0; +?[ et (ln x)? = 1 x 3 2 Limite en 0 et en l'infini Théorème 6 : On a les limites 



[PDF] FONCTION LOGARITHME

b) Pour tous réels x > – 1 2 g(x) = ln(x + 3) – ln(2x + 1) Examinons la limite en + : on obtient une forme indéterminée du type « – » Pour 



[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES

Exercice n°1 1) Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants : ln8 A = 1 ln 16



[PDF] EXERCICES ET ACTIVITés sur les fonction logarithme népérien

1 a où a > 0 et en déduire une autre écriture de ln( 1 10 déterminer à 10?3 près à la calculatrice un nombre e tel que lne = 1 1 2 à retenir

  • Pourquoi ln e )= 1 ?

    Ce nombre est défini à la fin du XVII e si?le, dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel. Autrement dit, il est caractérisé par la relation ln(e) = 1 ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle, d'où la notation exp(x) = ex.

  • Comment passer de e à ln ?

    La courbe de la fonction exponentielle est la symétrique de celle de la fonction logarithme népérien par rapport à la droite d'équation y = x. Car pour passer de ln à exp, il suffit simplement d'intervertir abscisse et ordonnée Pou note, la droite d'équation y = x est aussi appelée première bissectrice du plan.

  • Quand Est-ce que ln 1 ?

    En effet ln(1)=0. Comme ln est strictement croissante et tend vers ? il existe un réel a tel que x > a ? ln(x) > 2, Il suffit donc d'appliquer le théorème de la valeur intermédiaire à la fonction ln qui est continue sur l'intervalle [1,a]. e s'appelle la constante d'Euler.
  • Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0; +?[ et (ln x)? = 1 x . Démonstration : Pour montrer la limite en +?, on revient à la définition : Pour tout M > 0, si ln x > M alors, comme la fonction exp est croissante, x > eM. Il existe donc un réel A = eM tel que si x > A alors ln x > M.3 déc. 2014
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1) En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la fina lité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permetta nt de simplifier le s calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ; 1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper. Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises. L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition (voir paragraphe II). Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui, mais il faut comprendre qu'à cette é poque, les calculatrices n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur

, à valeurs dans

0;+∞

. Pour tout réel a de

0;+∞

l'équation e x =a admet une unique solution dans

. Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation

e x =a . On la note lna . La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ln:0;+∞ x"lnx

Exemple : L'équation

e x =5 admet une unique solution. Il s'agit de x=ln5 . A l'aide de la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée : x≈1,61

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 Remarque : Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation

y=x . Conséquences : a) x=e a est équivalent à a=lnx avec x > 0 b) ln1=0 lne=1 ln 1 e =-1 c) Pour tout x, lne x =x d) Pour tout x strictement positif, e lnx =x

Démonstrations : a) Par définition b) - Car

e 0 =1 - Car e 1 =e - Car e -1 1 e c) Si on pose y=e x , alors x=lny=lne x d) Si on pose y=lnx , alors x=e y =e lnx

Exemples :

e ln2 =2 et lne 4 =4 Propriété : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : a) lnx=lny⇔x=y b) lnxDémonstration : a) x=y⇔e lnx =e lny ⇔lnx=lny b) xYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation Vidéo https://youtu.be/lCT-8ijhZiE Vidéo https://youtu.be/_fpPphstjYw Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes : a)

lnx=2 , I=0;+∞ b) e x+1 =5 I=! c)

3lnx-4=8

, I=0;+∞ d) ln6x-1 ≥2 , I= 1 6 e) e x +5>4e x I=! a) lnx=2 ⇔lnx=lne 2 ⇔x=e 2

La solution est

e 2 . b) e x+1 =5 ⇔e x+1 =e ln5 ⇔x+1=ln5 ⇔x=ln5-1

La solution est

ln5-1 . c)

3lnx-4=8

⇔3lnx=12 ⇔lnx=4 ⇔lnx=lne 4 ⇔x=e 4

La solution est

e 4 . d) ln6x-1 ≥2 ⇔ln6x-1 ≥lne 2 ⇔6x-1≥e 2 ⇔x≥ e 2 +1 6

L'ensemble solution est donc

e 2 +1 6 . e) e x +5>4e x ⇔e x -4e x >-5 ⇔-3e x >-5 ⇔e x 5 3 ⇔e x L'ensemble solution est donc -∞;ln 5 3

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 II. Propriétés de la fonction logarithme népérien 1) Relation fonctionnelle Théorème : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a :

lnx×y =lnx+lny

Démonstration :

e ln(x×y) =x×y=e lnx ×e lny =e lnx+lny Donc lnx×y =lnx+lny

Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi, celui qui aurait à effectuer 36 x 62, appliquerait cette formule, soit : log(36 x 62) = log(36) + log(62) ≈ 1,5563 + 1,7924 (voir table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : log(36 x 62) ≈ 3,3487 En cherchant dans la table, le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36 x 62 = 2232. 2) Formules Corollaires : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : a)

ln 1 x =-lnx b) ln x y =lnx-lny c) lnx= 1 2 lnx d) lnx n =nlnx avec n entier relatif Démonstrations : a) ln 1 x +lnx=ln 1 x ×x =ln1=0 b) ln x y =lnx× 1 y =lnx+ln 1 y =lnx-lny

2lnx=lnx+lnx=lnx×x

=lnx d) e nlnx =e lnx n =x n =e lnx n Donc nlnx=lnx n

Exemples : a)

ln 1 2 =-ln2 b) ln 3 4 =ln3-ln4 c) ln5= 1 2 ln5 d) ln64=ln8 2 =2ln8 Méthode : Simplifier une expression Vidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4

A=ln3-5

+ln3+5

B=3ln2+ln5-2ln3

C=lne 2 -ln 2 e

A=ln3-5

+ln3+5 =ln3-5 3+5 =ln9-5 =ln4

B=3ln2+ln5-2ln3

=ln2 3 +ln5-ln3 2 =lnquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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