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Géométrie plane : Longueur et aire

I Théorème de Thalès et sa réciproque

Les 2 configurations suivantes sont des situations de Thalès:

Théorème de Thalès:

Soit le triangle ABC, si

- M ? (AB) et N ?(AC) - (BC)//(MN) on peut alors appliquer le théorème de Thalès: AM

AB = AN

AC = MN

Exemple 1: Soit un triangle ABC. (DE) et (BC) Exemple 2 : Les droites (MN) et (BC) sont

sont parallèles. AD = 2 cm, AB = 5 cm, AC = 7 cm parallèles. Calculer BC et AM.

et DE = 4 cm. Calculer AE et BC. Réciproque du théorème de Thalès : Soit un triangle ABC, si - A, B, M et A , C, N sont alignés dans le même ordre - AM

AB = ANAC

alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) et (MN) sont parallèles. Exemple 1 : (MN) et (BC) sont-elles parallèles? Exemple 2 : AK=7, AL= 5, AC=7, AB=10. (KL) et (BC) sont-elles parallèles? Institut municipal : JM Labatte longueur et aire p. 2

II Droite des milieux

Les propriétés de la droite des milieux sont l'application directe du théorème de Thalès dans un triangle.

Propriétés: Dans un triangle,

- la droite passant par les milieux de 2 côtés est parallèle au troisième côté.

- la droite passant par le milieu d'un côté, parallèle à un deuxième côté, coupe le troisième côté en

son milieu. - Le segment reliant les milieux de 2 côtés mesure la moitié du troisième côté.

Exemple 1: Tracer un parallélogramme ABCD et placer le symétrique E du point D par rapport à A.

Les droites (CE) et (AB) se coupent en F. Prouver que F est le milieu de [EC] et de [AB].

Exemple 2 : On donne DC = 3,2 cm ; à l'aide des indications portées sur le dessin, calculer EF et CH.

III Théorème de Pythagore

Configuration

Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des petits côtés. Si ABC est rectangle en A, alors BC²=AC²+AB²

Exemple 1 : Calculer la longueur manquante

Institut municipal : JM Labatte longueur et aire p. 3

Exemple 2 : Calculer la diagonale d'un carré et la hauteur d'un triangle équilatéral en fonction du côté c.

Exemple 3 : Soit un demi-cercle (C) de diamètre [AB] tel que AB = 12. Soit O le milieu de [AB] et H le

milieu de [AO].La perpendiculaire en H à (AB) coupe (C) en M.

1. Faire une figure.

2. Quelle est la nature du triangle AMB ? En déduire la longueur exacte de M.

3. Calculer sin

AEABM. En déduire une mesure de l'angle AEABM. Etablir ce résultat d'une autre façon.

4. La médiatrice de [AB] coupe (MB) en N. Calculer les valeurs exactes de NB et ON.

Réciproque du théorème de Pythagore : Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la

somme des carrés des petits côtés, alors le triangle est rectangle. Exemple: Les triangles ci-dessous sont-ils rectangles ?

IV Trigonométrie

Propriété : Dans un triangle ABC rectangle en A, on a : cos ÇA = côté.adjacent hypoténuse = AC AB sin ÇA = côté.opposé hypoténuse = BC AB tan ÇA = côté.oppposécôté.adjacent = BCAC Soit SOHCAHTOA

Exemple 1 : A l'aide d'un triangle rectangle isocèle et d'un triangle équilatéral, compléter le tableau :

angle en ° 30° 45° 60° cos sin tan

Exemple 2 : Calculer les longueurs MN et MP

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V Périmètre et Aire

Périmètre : On appelle périmètre d'une surface la longueur de son contour. Aire : On appelle aire d'une surface l'étendue de cette surface.

Formulaire : feuille jointe

Unité de longueur et d'aire :

longueur Aire conversion : pouce =2,58 cm pied =30.48cm mile = 1,609 km mile marin =noeud= 1,852 km un are = 10 m × 10 m = 100 m² un hectare = 100 m × 100 m = 10 000 m²

Exemple 1 : ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon r. Calculer

l'aire de l'hexagone ABCDEF en fonction de r.

Exemple 2 :Un terrain a la forme d'un trapèze isocèle PQRS. On sait que PQ = 80 m, RS = 140 m, PS =

50 m et QR = 50 m. Quelle est le périmètre en m et l'aire du terrain exprimée en ares ?

Exemple 3 : Cette figure est construite à partir d'un carré ABCD de a cm de côté et de quatre quarts de cercle de rayon a

2 . K, N, R et M sont les

milieux respectifs des segments [AB], [AD], [DC]et [BC].

Calculer l'aire de la surface grisée.

Exemple 4 : Un champ, dont les quatre côtés ont la même longueur, a une superficie de 1,2 hectare. Sa

plus petite diagonale a pour longueur 100 mètres. Quelle est la mesure en mètres de chacun de ses côtés ?

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