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  • Comment calculer la racine cubique d'un nombre complexe ?

    Théorème : Formule de Moivre pour les racines cubiques
    Pour un nombre complexe �� = �� ( �� + �� �� ) c o s s i n , les racines cubiques de �� sont ? ? �� ? ? �� + 2 �� �� 3 ? + �� ? �� + 2 �� �� 3 ? ? c o s s i n avec �� = 0 ; 1 et 2.
  • Trouver une racine cubique
    Une méthode pour trouver la racine cubique d'un nombre est de le décomposer en facteurs premiers. Donc 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 64=2\\times 2\\times 2\\times 2\\times 2\\times 2 64=2?????4, equals, 2, times, 2, times, 2, times, 2, times, 2, times, 2.
Racine nième Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/21 M. Lichtenberg

Racine nième

Corrigés d'exercices

Page 159 : N°80, 82, 84, 86, 88, 89, 91, 92, 94, 97

Page 165 : N°130, 132

Page 162 : N°105

Page 167 : N°138

Page 164 : N°122

N°80 page 159

2212 21222121122163363 363633336

5 25525 5 5 55 55 555 5 5

1111010 11010 1010

2 1024 2 1024 2 2 2 2 2 2 2 2 4

111 1 114141

1 4 41
5

555 5 555555

581 3 81 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

N°82 page 159

1. a) Comme k est positif, k appartient à l'ensemble de définition de la fonction f.

Par ailleurs, on a immédiatement :

330fk k k.

On en déduit :

k est une racine de f sur 0;.

b) D'après le résultat de la question précédente, on peut factoriser la fonction polynôme f

par xk : 33 2
fx x k xk x x Or : 232
xkx x x kx kxk . Par identification, on obtient alors le système : 2 3 110

0kkkkkk

Racine nième

Corrigés d'exercices

Lycée Fénelon Sainte-Marie 2/21 M. Lichtenberg

On a donc finalement :

33 2 2

0, xfx x k xk x kxk

2.

On a d'abord :

22332233 3 33 3 33 3

aba abb ab a ab b En utilisant l'égalité obtenue à la question précédente avec 3 xa et 3 kb, on obtient immédiatement :

22332233 3 33 3 33 3

33
33
aba abb ab a ab b ab ab

Le résultat est ainsi établi.

332233 3

aba abb ab

N°84 page 159

a)

On a :

2

13 1233223.

D'où :

242

1 3 22 3 42 3 44 43 3 47 43 .

4

13 4743

b) D'après ce qui précède et en tenant compte du fait que 13 est strictement positif, on a : 4444

1 3 47 43 4 7 43 2 7 43

Finalement :

4

274313

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Lycée Fénelon Sainte-Marie 3/21 M. Lichtenberg

N°86 page 159

a) 4 44
11

2101722212172212 21

2 2 xxxxxxxx 17 2 S b) 55
5

1011113111111232321113222x

xx xxxxxx 31
32
S c) Comme 2

10x pour tout x réel, on a :

32 2 3 2

12 12 817 7xx x x

7; 7S

N°88 page 159

a)

On résout l'équation dans

et on a alors : 11 1 55 5
21
55
22
1 1555

60 0 0

230
660

3 3 243

3Xx Xx Xx

xx X X X XX XX XX Xx xx X 243S

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Corrigés d'exercices

Lycée Fénelon Sainte-Marie 4/21 M. Lichtenberg b)

On résout l'équation dans

et on a alors : 11 1 33 3
11 33
2

12 7 0 0 0

1

430712012 7Xx Xx Xx

xx X X X XX XXXX

Les deux solutions de l'équation

430XX étant strictement négatives, on en

déduit que le système n'admet pas de solution. On aurait pu conclure encore plus rapidement en notant que pour tout x strictement positif, on a 1 3 0x, 1 3 0x et donc 11 33

12 0xx

S

N°89 page 159

On remarque que l'on a :

212
33
xx et 233
42
yy . On pose alors : 1 3 Xx et 3 4

Yy et il

vient : 11 1 33 3
33 3
1 344 4
3 4 2 3 3 2

22 2 2

2 1 3 3 4 2

80, 0 0, 0 0, 0

88 8
40

40 2 16 64 40

840
0, 0 8

8120Xx Xx Xx

Yy Yy Yy

xyXY XY XY

XY YX YX

xy

XY X X

XX Xx Yy XY YX XX 1 3 3 4 0, 0 8 260Xx
Yy XY YX XX Avec

2X, il vient : 6Y. Puis :

33

28xX et

44 1 11333 3 3

66 6666yY

On obtient ainsi un premier couple solution :

3 ;8;66xy.

Racine nième

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Lycée Fénelon Sainte-Marie 5/21 M. Lichtenberg

Avec 6X, il vient : 2Y. Puis :

33

6 216xX et

44 1 11333 3 3

26 2222yY

On obtient ainsi un deuxième couple solution :

3 ; 216;2 2xy. 33

8;6 6 , 216;2 2S

N°91 page 159

Pour

0x, on a :

1 6 6

00 0 et

1 11

121212

0000 et les deux membres de l'inéquation

sont égaux, elle est donc vérifiée. 0 est solution de l'inéquation.

Pour tout réel x strictement positif, on a :

11 1111

111211 1126612612

1 6 93
4

33 3 412 43

188 88

1

22 2216x

xxxx x x xxx xx

Finalement :

10;16 quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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