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LA DÉRIVÉE
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La dérivée d'une fonction f est une nouvelle fonction ? f définie par : Exercice 15 1: Calculer la dérivée des fonctions suivantes: a) f (x) = 3x
Comment expliquer la dérivée d'une fonction ?
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.Quelle est la formule de la dérivée ?
Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ? par f(x) = ax2 +bx + c . On appelle fonction dérivée de f, notée f ', la fonction définie sur ? par f '(x) = 2ax +b.Comment calculer la dérivée de F X ?
Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).
Chapitre 4Dérivées et fonctions de référence4.1 Fonction dérivéeSoitfune fonction définie sur un intervalleI.
Définition 1On dit quefest dérivable surIlorsquefadmet pout toutxdeIun nombre dérivé,f?(x).
ndent On appelle fonction dérivée defla fonction, notéef?, qui à toutxdeI, associe le nombre dérivéf?(x)
defenx.4.2 Dérivées des fonctions de référence
On admet les résultats suivants :
fdéfinie et dérivable sur :f(x) =f?(x) = R k0 x1 x22x x33x2 xnnxn-1 R? 1 x-1x2 1 xn-nxn+1 ]0,+∞[⎷x12⎷x
Exemples :
Soitfla fonction définie surRparf(x) =x4, est dérivable surRet on af?(x) = 4x4-1= 4x3. Soitgla fonction définie sur]0;+∞[parg(x) =1 x2=x-2, est dérivable sur]0;+∞[et on af?(x) =-2x-2-1=-2x3. 1Dérivées et fonctions de référence
4.3 Opérations sur les fonction dérivables
Soituetvdeux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI.4.3.1 Addition et multiplication
Les fonctionsu+v,ku(k?R) etu×vsont dérivables surIet on a :(u+v)?=u?+v?;
(ku)?=ku?;
(uv)?=u?v+uv?.
Exemples :
Soitfla fonction définie surRparf(x) =x3+ 5x2alors on af?(x) = 3x2+ 10x. Soitgla fonction définie sur[0;+∞[parf(x) =x2⎷ x,fest dérivable sur[0;+∞[et on ag?(x) = 2x⎷x+x212⎷x.4.3.2 Division et inverse :
Siuest une fonction définie et dérivable sur un intervalleI, et sivest une fonction définie et dérivable sur un
intervalleItelle que pour touta?I , v(a)?= 0, alors les fonctions1 vetuvsont des fonctions dérivables surI et on a :?1
v? =-v?v2; ?u v? ?=u?v-uv?v2.4.4 Applications :
4.4.1 Dérivée et sens de variation :
Soitfune fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvertI. On admet les résultats suivants.
Théorème 1
Sif?est strictement positive surI(sauf peut-être en un nombre fini de réels deI) , alorsfest strictement
croissante surI.Sif?est strictement négative surI(sauf peut-être en un nombre fini de réels deI), alorsfest scritement
décroissante surI.Exemple :
Soitfla fonction définie surR\{-2}parf(x) =2x-1 x+ 2. Étudier les variations def.La fonctionfest un quotient, on a :
u(x) = 2x-1v(x) =x+ 2 u ?(x) = 2v?(x) = 1 d"oùf?(x) =2(x+ 2)-(2x-1) (x+ 2)2=5(x+ 2)2. Comme5et(x+ 2)2sont positifs, on en déduit quef?(x)>0. x-∞-2+∞ f ?(x)+ + f 2Dérivées et fonctions de référence
4.4.2 Extremum local d"une fonction :
Théorème 2Soitx0un réel de l"intervalleI. Sif?(x0) = 0et sif?change de signe enx0, alorsfadmet un extremum local enx0. Sif?est négative " avant »x0et positive " après », il s"agit d"un minimun local. Sif?est positive " avant »x0et négative " après », il s"agit d"un maximum local.Exemple :
Soitfla fonction définie surRparf(x) =-x2+ 6x.
Déterminer le maximum defsurR.
La fonctionfest une somme on af?(x) =-2x+ 6.
La fonctionf?s"annule, en changeant de signe, enx0= 3elle est d"abord positive puis négative. La fonctionfadmet donc un maximum pourx0= 3qui vautf(3) = 9. OS -→ıC f 3 3quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] formule de taylor fonction ? plusieurs variables
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