[PDF] 1 Fonctions dune variable réelle 2 Fonctions de plusieurs variables

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218. Applications des formules de Taylor.

Introduction: Les formules de Taylor donnent une approximation d"une fonction r´eguli`ere par un polynˆome au voisinage d"un point. On peut en tirer des informations locales, mais aussi globales, sur la fonction.

1 Fonctions d"une variable r´eelle

SoitIintervalle ouvert deR, soitf? C(I,Rd).

1.1 Rappel des formules de Taylor

Soita?Itel quefsoitnfois d´erivable ena. On d´efinit le polynˆome de Taylor d"ordrendefena:Tna(f) =n? k=0f (k)(a)k!(X-a)k. Alors : Th ´eor`eme 1(Taylor-Young).?x?I,f(x) =Tna(f)(x) +ox→a((x-a)n). Th ´eor`eme 2(reste int´egral).?x?I, sif? Cn+1([a,x]), on a f(x) =Tna(f)(x) +? x a(x-t)nn!f(n+1)(t)dt. Th ´eor`eme 3(Taylor-Lagrange).?x?I,sif? Cn([a,x],R),n+ 1 fois d´erivables sur ]a,x[, alors il existec?]a,x[ tel quef(x) =Tna(f)(x) +f(n+1)(c)(n+ 1)!(x-a)n+1.

Corollaire 4.Sif? Cn+1([a,x],R), on a

1.2 D´eveloppements limit´es

Proposition 5.Soita?I. Sifestnfois d´erivable ena, alorsfadmet un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenena, donn´e par la formule de Taylor-Young.

Exemple6.Pourn?N, au voisinage de 0 :

e x=n? k=0x kk!+o(xn) cos(x) =n? k=0(-1)kx2k(2k)!+o(x2n+1).

Application7.xex-sin(x)x

2-→x→01.Application8(Th´eor`eme central limite).Soit(Xn)n?Nsuite de variables al´eatoires

iid dansL2. Alors, si on poseSn=n? k=1X k,?n

Var(X1)?

Snn -E[X1]? converge en loi vers une variable de loiN(0,1). Proposition 9.Sifd´erivable enaetf?a un d´eveloppement limit´e d"ordrenen a, alorsfa un d´eveloppement limit´e d"ordren+ 1 enaobtenu en int´egrant terme `a terme, et avecT0a(f) =f(a).

Exemple10.Pourn?N, au voisinage de0, on a

log(1 +x) =n? k=1(-1)k+1xkk +o(xn) arctan(x) =n? k=0(-1)kx2k+12k+ 1+o(x2n+2).

1.3 D´eveloppements en s´erie enti`ere

Proposition 11.Sifest DSE ena, de rayon de convergencer >0, alors pour tout x?]a-r,a+r[, lesnpremiers termes du d´eveloppement def(x) au voisinage dea sont les mˆemes que ceux deTna(f)(x). Proposition 12.On a alors, pour toutx?]a-r,a+r[,f(x)-Tna(f)(x)-→n→+∞0. Contre-exemple13.Sif:R→Rest d´efinie parx?→?exp(-1/x)six >0

0sinon,

alorsfestC∞, mais sa s´erie de Taylor est nulle, doncfpas DSE en 0. Th ´eor`eme 14(Bernstein).Sia >0,f? C∞(]-a,a[,R) telle que pour tousx? ]-a,a[,k?N,f(2k)(x)≥0, alorsfest DSE sur ]-a,a[.

Application15.tanest DSE sur]-π2

,π2

2 Fonctions de plusieurs variables

2.1 Rappel des formules de Taylor

SoitUouvert deRp,f? C(U,Rd),nfois diff´erentiable ena?U. Son polynˆome de Taylor est alors d´efini parTna(f)(h) =f(a) +n? k=1D kf(a)(h)kk!. Th ´eor`eme 16(Taylor-Young).Pour touth? -a+U,f(a+h) =Tna(f)(h) + o h→0(?h?n). Th ´eor`eme 17(Reste int´egral).Sif? Cn+1(U,Rd), si [a,a+h]?U, on a f(a+h) =Tna(f)(h) +? 1

0(1-t)nn!Dnf(a+th)(h)n+1dt.

Th ´eor`eme 18(Taylor-Lagrange).SiK?Uconvexe compact, alors il existeC≥0,

2.2 Premi`eres applications

Th ´eor`eme 19(Hadamard).Soitf? C∞(Rp,R) telle quef(0) = 0. Alors il existe g

1,···,gp? C∞(Rp,R) telles que pour toutx?Rp,f(x) =p?

i=1x igi(x). Si de plus x?Rp,f(x) =? ixjhi,j(x). Th ´eor`eme 20(Morse).SoitUouvert deRncontenant 0, soitf:U→Rde classe C

3. On supposedf(0) = 0 etd2f(0) forme quadratique non d´eg´en´er´ee, de signature

(p,n-p). Alors il existe unC1-diff´eomorphisme?:x?→?(x) = (?1(x),···,?n(x)) entre deux voisinagesU,Vde 0 dansRntel que?(0) = 0 et?x?U, f(x) =f(0) +?1(x)2+···+?p(x)2-?p+1(x)2- ··· -?n(x)2.

2.3 Extrema des fonctions de plusieurs variables

Th ´eor`eme 21.SoitUouvert deRp, soitf? C(U,R), soita?U. - Sifa un extremum local enaet sidf(a) existe, alorsdf(a) = 0. - Sifa un minimum local enaet sid2f(a) existe, alorsd2f(a) est positive. - Sidf(a) = 0 etd2f(a) d´efinie positive, alorsfa un minimum local ena. Application22.SoientUouvert deR2,f? C(U,R),a?Upoint critique deftel quefdeux fois diff´erentiable ena. On note?r s s t? la hessienne defena. Alors : - Sirt-s2>0, alorsfa un extremum local strict ena(minimum sir >0ou t >0). - Sirt-s2<0, alorsfn"a pas d"extremum local ena(point col).

Exemple23.Sif?R2→R

(x,y)?→x2-y2+14 y4,fadmet un point col en(0,0)et

deux minima locaux en(0,-⎷2)et(0,⎷2).3 Applications en g´eom´etrie diff´erentielle

3.1

´Etude locale des courbes

Th ´eor`eme 24.SoientIintervalle deR,γ? C∞(I,R2),t?◦I. On suppose que p= min{k?N?,γ(k)(t)?= 0}etq= min{k?N?,det(γ(p)(t),γ(k)(t))?= 0}existent. Alors l"aspect local deγau voisinage detne d´epend que de la parit´e dep,q. 3.2

´Etude locale des surfaces

Th ´eor`eme 25.SoitUouvert deR2, soitf? C3(U,R), soita?U. On suppose d

2f(a) non d´eg´en´er´ee. SoitSla surface param´etr´ee parz=f(x,y).

- Sid2f(a) d´efinie positive, alorsSest strictement au-dessus de son plan tan- gent au voisinage dea, sauf en (a,f(a)). - Sid2f(a) d´efinie n´egative, alorsSest strictement en-dessous de son plan tangent au voisinage dea, sauf en (a,f(a)). - Sinon,Straverse son plan tangent ena.

4 Applications en analyse num´erique

4.1 M´ethode de Newton

Th ´eor`eme 26(Cas r´eel).Soitf? C1(R,R), soitα?Rtel quef(α) = 0. On se donnex0?I, et on posexk+1=xk-f(xk)f ?(xk). S"il existeδ >0 tel quefsoit de classeC2sur ]α-δ,α+δ[ et sif?ne s"annule pas sur cet intervalle, alors pour tout x

0?]α-δ,α+δ[, la suite converge quadratiquement versα.

Exemple27.Siα >0, la suite d´efinie paru0>0etun+1=12 (un+αu n)converge vers⎷α. Contre-exemple28.La fonctionf(x) = arctan(x)montre qu"il n"y a pas conver- gence globale en g´en´eral. Th ´eor`eme 29.SoitP(x) = (x-a1)m1···(x-ar)mrfonction polynomiale r´eelle, aveca1<···< aret?i,mi≥1. Pour toutx0> ar, la suite de Newton (xk)k?Nconverge en d´ecroissant versar, et : - Simr= 1, alors?ε >0,|xn-ar|=o(εn). - Simr≥2, alors?c >0,|xn-ar| ≂c? 1-1m r? n Proposition 30(Cas vectoriel).Soit Ω ouvert deRn, soitf? C2(Ω,Rn), telle qu"il existeα?Ω avecf(α) = 0. On suppose quefv´erifieJf(α)?GLn(R). Alors il existe δ >0 tel que pour toutx0?B(α,δ), la suite d´efinie parxk+1=xk-Jf(xk)-1f(xk) soit bien d´efinie et converge versαavec un ordre 2.

4.2 R´esolution d"EDP par diff´erences finies

Exemple31.On consid`ere le probl`eme d"´evolution∂u∂t -ν∂2u∂x

2= 0pour(t,x)?

R ?+×]0,1[,u(0,x) =u0(x)pourx?[0,1]. Alors le sch´ema d"Euler explicite, donn´e par un+1 j-unjΔt-νunj+1+ 2unj-unj-1(Δx)2= 0est consistant, d"ordre 1 entet d"ordre2 enx.

D´eveloppements

- Th´eor`eme central limite. - Lemme de Morse. - M´ethode de Newton pour les polynˆomes.

R´ef´erences

[1] X. Gourdon,Les maths en tˆete - Analyse, Ellipses. [2] A. Pommellet,Cours d"Analyse, Ellipses. [3] E. Ramis, C. Deschamps, J. Odoux,Cours de math´ematiques sp´eciales -

Tome 2, Masson.

[4] F. Rouvi`ere,Petit guide de calcul diff´erentiel, Cassini.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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