[PDF] Sur la règle de dérivation en chaîne

View - Download Sur la règle de dérivation en chaîne

Previous PDF

Next PDF

Sur la règle de dérivation en chaîne

Le résultat théorique

Soientf:Rn→Retg:Rp→Rndeux fonctions différentiables. Écrivonsh=f◦ g.D"après la règle de dérivation des fonctions composées nous avons (comme pour les fonctions deRdansR) : h ?(x) = (f◦g)?(x) =f?(g(x)).g?(x). La fonctionf◦gest une fonction deRpdansR. Sa dérivée est donc un vecteur ligne àp colonnes, la transposée de son gradient : h ?(x) =?∂h∂x

1∂h∂x

2...∂h∂x

p?. La fonctiongest une fonction deRpdansRn. Sa dérivée est la matricen×pcomposée des vecteurs transposés des gradients des coordonnées deg. Sig(x) = (g1(x),g2(x),...,g2(x)) (on devrait écrire ce vecteur en colonne si on voulait se conformer en toute rigueur aux choix du cours) la dérivée degs"écrit : g ?(x) =( (((∂g

1∂x

1∂g

1∂x

2···∂g1∂x

p∂g

2∂x

1∂g

2∂x

2···∂g2∂x

p............ ∂g n∂x

1∂g

n∂x

2···∂gn∂x

p) Pour simplifier la présentation appelonsg= (g1,g2,...,gn)un point deRn. C"est un abus de notation,gne désigne pas ici la fonctiongmais un vecteur, un point dansRn. La dérivée defen un pointgest donnée par la transposée de son gradient : f ?(g) = (∂f∂g

1∂f∂g

2...∂f∂g

n). L"égalité matricielleh?(x) = (f◦g)?(x) =f?(g(x)).g?(x)signifie donc : ∂h∂x

1∂h∂x

2...∂h∂x

p?= (∂f∂g

1∂f∂g

2...∂f∂g

n)( (((∂g

1∂x

1∂g

1∂x

2···∂g1∂x

p∂g

2∂x

1∂g

2∂x

2···∂g2∂x

p............ ∂g n∂x

1∂g

n∂x

2···∂gn∂x

p)

Autrement dit pour touti= 1,...,pon a

∂h∂x i=n? k=1∂f∂g k∂g k∂x i.1 Attention ! Quandgkapparaît au dénominateur cela signifie seulement que l"on prend la

dérivée defpar rapport à sakième variable. Quand il apparaît au numérateurgkdésigne

lakième coordonnée deg: c"est alors une fonction.

Un exemple

Prenonsf:R3→Retg:R2→R3deux fonctions différentiables définies par f(x,y,z) = 2xy-3(x+z), g(x,y) = (x+y4,y-3x2,2x2-3y). On demande de calculer les dérivées partielles de la fonction de deux variablesh=f◦g.

Pour se ramener au théorème général et ne pas s"embrouiller, il est préférable de changer

les noms des variables dans l"expression def: f(g1,g2,g3) = 2g1g2-3(g1+g3). La formule de dérivation en chaîne donne alors ∂h∂x =∂f∂g

1∂(x+y4)∂x

+∂f∂g

2∂(y-3x2)∂x

+∂f∂g

3∂(2x2-3y)∂x

∂h∂y =∂f∂g

1∂(x+y4)∂y

+∂f∂g

2∂(y-3x2)∂y

+∂f∂g

3∂(2x2-3y)∂y

Pour ∂h∂x , on obtient : ∂h∂x = (2g2-3).1 + 2g1.(-6x) + (-3).4x Exprimée en fonction dexetycette dérivée s"écrit : ∂h∂x = 2y-6x2-3-12x(x+y4)-12x=-12xy4-18x2+ 2y-12x-3. Je vous laisse le calcul de la deuxième dérivée partielle dehen exercice. Remarque. On peut aussi écrire les choses sous la forme : ∂h∂x =∂f∂x ∂(x+y4)∂x +∂f∂y ∂(y-3x2)∂x +∂f∂z ∂(2x2-3y)∂x

mais c"est un peu risqué. Il ne faut surtout pas oublier de prendre les valeurs des dérivées

partielles defau point(x+y4,y-3x2,2x2-3y).2quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] règle de la chaine dérivée partielle

[PDF] développement limité a l'ordre 2 d'une fonction ? 2 variables

[PDF] fonction exponentielle négative

[PDF] cours exponentielle terminale es pdf

[PDF] fonction exponentielle terminale es bac

[PDF] loi exponentielle négative

[PDF] fonction logarithme népérien terminale es

[PDF] fonction rationnelle ensemble de définition

[PDF] fonction rationnelle domaine de définition

[PDF] dérivée de ln lnx

[PDF] primitive de x

[PDF] primitive de x^2

[PDF] dérivées successives exercices corrigés

[PDF] dérivée successive

[PDF] dérivées n-ièmes usuelles