[PDF] Calcul différentiel selon ej au point M0

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20

Calcul différentiel

1. Le point de vue affine

On considère ici des fonctions définies sur un espace vectoriel norméEde dimension finie (ou sur une partie deE), à valeurs dans un espace vectoriel norméFde dimension finie lui aussi. Une fonctionf:E→Fest ditenumériquelorsque son espace d"arrivéeFest égal à Nous utiliserons la structure affine de ces deux espaces vecto- riels, c"est-à-dire que leurs éléments seront considérés comme despoints. Les vecteurs, qui servent alors à passer d"un point à un autre par une translation, seront notés en lettres grasses.

Éléments de topologie

2.Latopologieest une partie de la géométrie qui néglige

les formes (cercles, triangles, carrés...) et considère seulement les relations de position : la notion centrale devoisinagesert à définir la convergence des suites et la continuité des fonctions. La topologie d"un espace vectoriel de dimension finieEest défi- nie par une norme.

2.1On dit que la famille(un)n?

?de vecteurs deEest une suite convergentelorsqu"il existe un vecteur??E, ditlimite, tel que la suite réelle(?un-??)n? ?tende vers 0.

2.2Voisinage d"un point

Une partieVdeEest unvoisinagedu pointM0si, et seulement si, elle contient tous les points de la forme

M=M0+h

où la norme du vecteurhest assez proche de 0, c"est-à-dire ?r>0,? ?h??r,M0+h?V.

2.3La fonctionfestcontinueenM0lorsque l"expression

réelle?f(M0+h)-f(M0)?tend vers 0 lorsque le réel?h?tend vers 0.

3. Ouvert

Une partieUdeEest unouvertsi, et seulement si, c"est un voisinage de chacun de ses points : pour tout pointM0?U, il exister>0 tel que ?h?E,?h??r=?(M0+h)?U. Lorsqu"une fonctionfest définie sur un ouvert, on peut étu- dier localement cette fonction autour de chaque point de son ensemble de définition.

4. Équivalence des normes

Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes : si une propriété topologique (la convergence d"une suite, la continuité d"une fonction, le fait qu"une partie soit ouverte...) est établie pour une norme particulière, alorselle est vraie pourtoutesles normes.

4.1Dans

?2, la distance euclidienne de

M= (x0+hx,y0+hy)àM0= (x0,y0)

est égale à r=? h2x+h2y et la fonctionf: ?2→ ?est continue au pointM0si, et seule- ment si,f(M)tend versf(M0)lorsquertend vers 0.

4.2Lanorme produitdu vecteurx= (x1,...,xp)?

?2est définie par ?x?∞=max1?k?p|xk|.1. La partieU? ?pest un ouvert si, et seulement si, pour chaque point M

0= (x01,...,x0p)?U,

il existeα>0 tel que [x01-α,x01+α]× ··· ×[x0p-α,x0p+α]?U.

2. Une suite(un)n?

?de vecteurs de?pconverge vers le vecteur?? ?psi, et seulement si, il y a convergence coordonnée par coordonnée : u n----→n→+∞??? ?1?k?p,ukn----→n→+∞?k.

3. Une fonctionfà valeurs dans

?p: f=?x?→f(x) =?f1(x),...,fp(x)?? est continue au pointx0si, et seulement si, chacune de ses com- posantes est continue au pointx0: f(x)---→x→x0f(x0)?? ?1?k?p,fk(x)---→x→x0fk(x0).

5. Ordres de grandeur au voisinage deM0Pour toutα>0, on note

f(M0+h) =O(?h?α)ouf(M0+h) =O(?h?α) pour signifier respectivement que le rapport f(M0+h)??F ?h?αE tend vers 0 ou reste borné lorsque le vecteur déplacementhtend vers0E. Pourα=1, on allège les notations en écrivantO(h)etO(h)au lieu deO(?h?)etO(?h?)respectivement.

6. Applications linéaires

CommeEest un espace vectoriel de dimension finie, toute ap- plication linéaire définie surEest continue, quelle que soit la norme surE, quel que soit l"espace vectoriel d"arrivéeF.

6.1Pour toute application linéaire??L(E,F), il existe un

réelK>0 tel que ?x?E,??(x)?F?K?x?E.

En particulier,

?(h) =O(h)et??

O(h)?=O(h)

lorsquehtend vers0E.

6.2Si?(h) =O(h)au voisinage de0E, alors?est l"applica-

tion nulle.

7. Applications bilinéaires

Soitψ:E1×E2→F, une application bilinéaire, oùE1etE2sont deux espaces vectoriels de dimension finie.7.1Quel que soitx2?E2, l"application

Φ(x2) =[x1?→ψ(x1,x2)]

est une application linéaire deE1dansFet l"applicationΦest linéaire deE2dans L(E1,F).

7.2Il existe une constanteK>0 telle que

?x1?E1,?x2?E2,??ψ(x1,x2)???K?x1? ?x2?.

20•Calcul différentiel

I

Fonctions différentiables

8.Contrairement à

?, un espace vectorielEde dimension supérieure à 2 n"est pas naturellement ordonné. Par conséquent, l"étude desvariationsd"une fonctionfdéfinie surEn"a pas de sens. On se borne donc dans un premier temps à comparer localement une telle fonctionfaux fonctions les plus simples qui soient, c"est-à-dire aux fonctions affines. Les fonctions ditesdifféren- tiablessont les fonctions pour lesquelles cette comparaison est possible.

I.1 Application linéaire tangente

9. Différentiabilité en un point

9.1SiI?

?est un intervalle et sif:I→Eest dérivable ent0?I, alors il existe une application linéaire?: ?→Etelle quef(t0+h) =f(t0) +?(h) +O(h)lorsquehtend vers 0.

9.2✍La fonction f:U→F estdifférentiable enM0?U lors-

qu"il existe??L(E,F)telle que f(M0+h) =f(M0) +?(h) +O(h) lorsquehtend vers0.

9.3Il existe au plus une application linéaire??L(E,F)telle

quef(M0+h) =f(M0) +?(h) +O(h).

9.4✍Si f est différentiable au point M0?U, l"unique application

??L(E,F)telle que f(M0+h) =f(M0) +?(h) +O(h)pourh voisin de0est appeléedifférentielle defenM0, ouapplication linéaire tangenteà f en M0, et notéedf(M0).

9.5➙Si l"application f est différentiable en M0, alors elle admet un

développement limité à l"ordre1: f(M0+h) =f(M0) +df(M0)(h) +O(h) pourhvoisin de0.

10.L"image d"une droite par une application affine est elle

aussi une droite. Une applicationf: ?2→ ?2qui n"est pas affine transforme en général une droite en une courbe. A3 A2 A1 f(A3) f(A2) f(A1) f?-→

10.1Étant donnés deux vecteursuetv, on peut définir deux

pointsBetCen posant

B=A+uetC=A+v.

Le développement limité [9.5] defnous assure alors que B ?=f(A)+df(A)(u)≈f(B) et que C ?=f(A)+df(A)(v)≈f(C) pourvu que les normes deuetvsoient assez petites pour que les pointsBetCsoient assez proches deA. A1B1C 1 u vf(C1) f(A1) f(B1) f(A1) B ?1C ?1 A2B2C 2 u vf(C2) f(A2) f(B2) f(A2) B ?2C ?2 A3B3C 3 u vf(C3) f(A3)f(B3) f(A3)B ?3C ?3

10.2On voit sur ces figures que la déformation d"un petit

voisinage deApar une application différentiablefest assez proche de la déformation de ce voisinage par l"application li- néaire df(A), conformément à [9.5].

10.3On voit aussi que l"image de la base(u,v)par les dif-

férentes applications linéaires tangentes n"est pas toujours la même : en général, l"application linéaire tangente df(A)varie en fonction du pointA.→[15]

11. Exemples

11.1SiUest un intervalle ouvert deE=

?, alors la fonctionf est différentiable enM0?Usi, et seulement si, elle est dérivable enM0et f?(M0) =df(M0)(1).

I Fonctions différentiables

11.2L"applicationf=?M?→tr(M2)?est différentiable en

tout pointM0?Mn( ?)et ?H?Mn( ?), df(M0)(H) =2tr(M0H).

12. Différentiabilité et continuité

12.1Sifest différentiable enM0, alors

f(M0+h)-f(M0) =O(h).

12.2➙Si f est différentiable en M0, alors f est continue en M0.

I.2 Différentielle

13. Différentiabilité globale

13.1✍La fonction f:U→F estdifférentiable (surU)lorsqu"elle

est différentiable en tout point M 0?U.

13.2✍Si f:U→F est différentiable, ladifférentiellede f est la

fonction df:U→L(E,F) qui, à tout point M

0de l"ouvert U, associe l"application linéaire tan-

gentedf(M0):E→F.

Exemples fondamentaux

14.➙Si f:U→F est constante, alors f est différentiable sur U et

en tout point de U, l"application linéaire tangente à f est l"application nulle : ?M0?U, df(M0) =ω=[x?→0F].

15.➙Toute application linéaire f?L(E,F)est différentiable sur E

et en tout point de E, l"application linéaire tangente à f estégale à f : ?M0?E, df(M0) =f.

16.➙Une application bilinéaire f:V1×V2→F est différentiable

sur E=V1×V2et df(M0) =? (h1,h2)?→f(h1,M20) +f(M10,h2)? pour tout M

0= (M10,M20)?E.

Opérations sur les fonctions différentiables

17.➙Une combinaison linéaire de fonctions différentiables en M0est différentiable en M0et

d(λf+g)(M0) =λd(f)(M0) +dg(M0).

18.➙Si f est différentiable en M0et si g:F→G est linéaire, alors

g◦f est différentiable en M0et d(g◦f)(M0) =g◦?df(M0)?.

19.➙Une fonction à valeurs dans un espace produit

f=?M?→?f1(M),...,fn(M)??:U→F=F1× ··· ×Fn est différentiable en M

0si, et seulement si, toutes ses composantes fksont différentiables en M0et

df(M0)(h) =?df1(M0)(h),..., dfn(M0)(h)?.

20.➙Si f:U→F est différentiable en M0?U, si g:V→G

est différentiable en P

0=f(M0)?V et si f?(U)?V, alors(g◦f)

est différentiable en M 0et d(g◦f)(M0) =dg(P0)◦df(M0).

21.➙Si f et g sont deux applications différentiables en M0?U à

valeurs dans ?, alors le produit fg est différentiable en M0et

d(fg)(M0) =g(M0)·df(M0) +f(M0)·dg(M0).I.3 Dérivée selon un vecteur22.Pour étudier une fonction de plusieurs variables au voi-

sinage d"un pointM0, il peut être utile de se ramener à l"étude de fonctions d"une seule variable réelle au voisinage de 0.

22.1SoitM0?U. Pour toutv?E, l"application

v=[t?→f(M0+t·v)] est définie sur un voisinage de 0 et sifest différentiable enM0, alors f(M0+t·v) =f(M0) +t·df(M0)(v) +O(t). M0Uv

22.2✍L"application f admet unedérivée selon le vecteur v?E au

point M

0?U lorsque l"application

v=[t?→f(M0+t·v)] est dérivable en t=0. On note alors D vf(M0) = (?v)?(0) la dérivée de f selonvau point M0.

22.3Siv=0E, alorsDvf(M0) =0F.

22.4
?,Dα·vf(M0) =α·Dvf(M0).

22.5➙Si f est différentiable en M0, alors f admet une dérivée au

point M

0selon tout vecteurv?E et

D vf(M0) =df(M0)(v).

23. Exemples

23.1La fonction définie parf(0,0) =0 et par

?(x,y)?= (0,0),f(x,y) =xy3 ?x4+y4 admet une dérivée enM0= (0,0)selon tout vecteurv? ?2.

23.2La fonction définie parf(0,0) =0 et par

?(x,y)?= (0,0),f(x,y) =x2y x4+y2 admet une dérivée enM0= (0,0)selon tout vecteurv? ?2.

23.3L"application définie parf(0,0) =0 et par

?(x,y)?= (0,0),f(x,y) =xy |x|+|y| admet une dérivée enM0selon les vecteurse1ete2de la base canonique.

20•Calcul différentiel

I.4 Dérivées partielles

24.✍SoitB= (e1,...,ep), une base de E.

Si, pour tout1?j?p, une fonction f:U→F admet une dérivée selonejau point M0, on dit qu"elle admet desdérivées partielles de frelatives à la baseB. Les dérivées partielles de f sont notées∂1f, ...,∂pf et définies par jf(M0) =Dejf(M0).

25. Caractérisation des fonctions différentiables

SoitB= (e1,...,ep), une base deE. On notera

h=h1·e1+···+hp·ep, la décomposition de tout vecteurh?Edans cette base.

25.1Sifest différentiable au pointM0, alors elle admet des

dérivées partielles relatives à la baseBau pointM0et D hf(M0) =p j=1h j·∂jf(M0).

Par suite, pourhvoisin de0E,

f(M0+h) =f(M0) +p j=1h j·∂jf(M0) +O(h).

25.2Si les dérivées partielles defsont définies au pointM0et si

f(M0+h)-f(M0)-p j=1h j∂jf(M0) =O(h) lorsquehest voisin de0E, alorsfest différentiable enM0.

26. Exemples

26.1Suite de[23.1] - La fonctionfest différentiable au point

M

0et l"application linéaire tangente df(M0)est l"application

nulle.

26.2Suite de[23.2] - La fonctionfn"est pas différentiable au

point(0,0).

26.3Suite de[23.3] - L"applicationfn"est pas différentiable en

M

0= (0,0). Elle est différentiable enM1= (1,0)avec

f(M1+h) = (e2|h) +O(h) pourhvoisin de0.

26.4L"application[u?→ ?u?∞]de

?2dans ?n"est pas diffé- rentiable enM0= (0,0).

27. Dérivées partielles secondes

Lesdérivées partielles secondessont les dérivées partielles des dérivées partielles (si elles existent). On utilise la notation habi- tuelle pour la composition des applications. Ainsi,∂i∂jfdésigne lai-ème dérivée partielle de la dérivée partielle∂jf.

Matrice jacobienne

28.Soitf:U→F, une fonction différentiable. On choisit

deux basesB= (e1,...,ep)etC= (ε1,...,εn)des espacesEet

Frespectivement.

28.1✍Lamatrice jacobienne (relative aux basesBetC)au

point M

0?U de l"application différentiable f:U→F est défi-

nie par

Jac(f)(M0) =MatB,C?df(M0)?.

28.2Lecture en colonnes

Laj-ème colonne de Jac(f)(M0)est la matrice relative à la base Cde laj-ème dérivée partielle∂jf(M0)?Frelative àB.

28.3Lecture en lignes

Lescomposantesdefrelatives à la baseCsont les applications f

1, ...,fndeUdans

?définies par ?M?U,f(M) =n∑ i=1fi(M)·εi.Commef:U→Fest différentiable, alorsfi:U→ ?est différentiable et d(fi)(M0)?L(E, Lai-ème ligne de la matrice jacobienne defest la matrice jaco- bienne de lai-ème composante defrelative à la baseC.

29.✍Si E=F etB=C, lejacobiende f en M0est le déterminant

de l"application linéaire tangentedf(M0).

Gradient

30. Points critiques

L"application linéaire tangente àf:U→

?en un point quel- conqueM0deUest une forme linéaire surE.

30.1✍Le point M0?U est unpoint critiquede f lorsque la forme

linéaire tangentedf(M0)est identiquement nulle.

30.2➙Soient U, un ouvert de E et f:U→

?, une fonction diffé- rentiable.

Le point M

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