Terminale ES - Fonction logarithme népérien
I) La fonction logarithme népérien d'un réel strictement Les fonctions exponentielles et logarithme népérien sont des fonctions réciproques. Dans.
Terminale ES
La fonction logarithme népérien notée ln
Synthèse de cours (Terminale ES) ? La fonction logarithme népérien
logarithme népérien où la tangente passe par l'origine (son équation est x y e. = ). Equation ln x = m. Pour tout réel m on note « m e » (que l'
Fonction logarithme népérien – Exercices
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Terminale ES. Logarithme La fonction logarithme népérien notée ln
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES
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Exercices : fonction Logarithme Népérien
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On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à un réel x strictement positif fait correspondre ln ( x ) ln : ] 0 ; + ? [ ? IR x ? ln
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PanaMaths [1-4] Décembre 2007
Synthèse de cours (Terminale ES)
La fonction logarithme népérien
Définition et premières propriétés
Définition
La fonction logarithme népérien
, notée " ln » est la primitive définie sur0, et s'annulant
pour 1x de la fonction 1x x Premières propriétés (directement liées à la définition) La fonction logarithme népérien est définie sur 0, ; ln1 0 ; ln est dérivable sur0, et pour tout réel x de
0,, on a :
1ln' x xLa fonction ln est strictement croissante sur
0,. Il en découle :
o Pour tout réel x de0,1, on a : ln 0x ;
o Pour tout réel x de 1, , on a : ln 0x ; o Pour tous réels x et y de0,, on a : ln lnxy équivaut à :xy ;
o Pour tous réels x et y de0,, on a : ln lnxy équivaut à : xy.
Propriété fondamentale : logarithme népérien d'un produitLogarithme népérien d'un produit
Pour tous réels
x et y de 0, : ln ln lnxyxy Conséquences de la propriété fondamentalePour tout réel x de
0,, on a :
1ln ln
xxPour tous réels x et y de
0,, on a : ln ln lnxxyy ;
PanaMaths [2-4] Décembre 2007
Pour tout réel x de
0, et tout entier relatif n, on a :
ln ln n xnx ;Pour tout réel x de
0,, on a :
1ln ln2
xx.Etude de la fonction logarithme népérien
Continuité
ln est continue sur son ensemble de définition car elle y est dérivable (par définition).Limites aux bornes de l'ensemble de définition
0 0 limln lim ln x x x x x f fTableau de variation
x 0 1 1ln'x x0 lnx
Courbe représentative
Courbe représentative de la fonction logarithme népérien -4-3-2-1012301234567891011
PanaMaths [3-4] Décembre 2007
Tangente
L'équation de la tangente à la courbe représentative du graphe du logarithme népérien en un
point 00 ;lnMxx (avec 00x) est :
00 0 0
0 ln' ln ln 1xyxxx x xx .Finalement :
0 0 ln 1xyxxL'équation ln x = m
Définition
Il existe un unique réel strictement positif, noté " e » et appelé " base du logarithme népérien », tel que : ln 1e.Remarques :
Une valeur approchée de e à
3 10 près est : 2,718 ;Le point ;1
e Me est le seul point de la courbe représentative du graphe du logarithme népérien où la tangente passe par l'origine (son équation est x ye).Equation ln x = m
Pour tout réel m, on note "
m e » (que l'on lit " e exposant m » ou " exponentielle m » - voir le cours sur la fonction exponentielle) l'unique solution de l'équation ln x = m. Pour tout réel x, on a donc l'égalité suivante : ln x exLimites fondamentales
0 lnlim 0 lim ln 0 x x x x xxPanaMaths [4-4] Décembre 2007
Composée du logarithme népérien et d'une fonction strictement positiveDérivée de lnof
On considère un intervalle I et une fonction f telle que pour tout réel x de I on a 0fx.On a alors :
'lnfxof x fxSoit :
''lnf of fPrimitive de
'f fOn considère un intervalle I et une fonction f dérivable sur I et telle que pour tout réel x de I
on a 0fx.On a alors :
lnf est une primitive de 'f f sur Iquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] fonction rationnelle domaine de définition
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