Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
Si f est différentiable en x alors ses dérivées partielles existent et on D'après la règle de dérivation des fonctions composées nous avons (comme pour ...
2.3 Dérivabilité en plusieurs variables
des axes de reference on parle de dérivée partielle de la fonction par dérivée composée se calcule `a l'aide de la ”chain rule”. Ici on donne la.
Chapitre 6 - Composition de fonctions différentiables - Application
(et finalement sans trop souffrir) les dérivées partielles d'une fonction composée. Exercice 6.1. On suppose que f et g sont des fonctions dérivables de R
Fonctions de deux variables
Comme les fonctions d'une variable celles de deux variables s'écrivent avec ”??”. Pour calculer la premi`ere dérivée partielle
Fonctions de plusieurs variables
fonction partielle x ?? g(x2y3. 0) qui est une fonction d'une seule variable. D'apr`es la formule de dérivation composée en une variable
Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs
Dérivées partielles. 2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire. Dérivation des fonctions composées.
Chapitre 3 - Dérivées partielles différentielle
http://www.math.univ-toulouse.fr/~jroyer/TD/2013-14-L2PS/L2PS-Ch3.pdf
Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Proposition 3.5 (DERIVEE PARTIELLE D'UNE FONCTION COMPOSEE). 45. Page 46. 3.4 Notion de différentiabilité. Calcul différentiel. Preuve : Pas faite en cours.
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
fois passée la (légitime) petite appréhension elle permet de calculer concrètement les dérivées partielles d'une fonction composée.
[PDF] Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
D'après la règle de dérivation des fonctions composées nous avons (comme pour les fonctions de R dans R) : h (x)=(f ? g) (x) = f (g(x)) g (x) La fonction
[PDF] Dérivées partielles différentielle fonctions de classe C
Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée pour une fonction f de plusieurs variables L'objectif est évidemment de donner une définition
[PDF] Comprendre les dérivées partielles et leurs notations
Le but de ce mini-poly est d'introduire la notion de différentiation des fonctions à plusieurs variables Nous allons présenter la théorie dans un ordre unusuel
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Fonction de deux variables ? Soit f une fonction de deux variables définie de R2 dans R ? Les dérivée partielles de f au point (x y) = x ? R2 sont
[PDF] 23 Dérivabilité en plusieurs variables
Si la direction choisi est l'un des axes de reference on parle de dérivée partielle de la fonction par rapport `a l'un de ses variables Définition 2 3 1 [
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Dérivées partielles Pour une fonction de deux variables il y a deux dérivées une ”par rapport `a x” et l'autre ”par rapport `a y” Les formules sont (`a
Propriétés algébrique des fonctions dérivées partielles
Dérivation partielle d'une somme d'un produit d'un quotient de fonctions f et g Nous avons les mêmes règles de dérivation que pour les fonctions d'une
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Ici on dérive une fonction à une variable on aura à la fin du procédé de dérivation seulement une « dérivée partielle » Le procédé est le suivant : On dérive
[PDF] Math206 – Equations aux Dérivées Partielles Feuille dExercices 1
Démontrer que h est C1 et exprimer les dérivées partielles ?h ?u et ?h ?v en fonction des dérivées partielles ?f ?x et ?f ?y Exercice 1 4 —
[PDF] Dérivée partielle - Mahendra Mariadassou
18 nov 2019 · Fonctions composées Quand on écrit on désigne par convention la dérivée partielle par rapport à la variable avec l'idée implicite que
L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite)1 La différentielle d"une fonction à valeurs réelles
Cas des fonctions d"une variable
(i)fest dérivable enX0silimh!0f(X0+h)f(X0)h existe.Sa valeur`est notéef0(X0).
(ii) On p eut,de manière équiv alente,écrire limh!0f(X0+h)f(X0)`hh = 0. On remarque queh!L(h) =`hest une application linéaire deRdansR, que l"on appelledifférentielledefenX0et que l"on notedf(X0). (iii) Si fest dérivable enX0, alors pourhpetit :f(X0+h)est "voisin" def(X0)+f0(X0)h. Donch!f(X0) +f0(X0)hest une application affine qui "approche très bien " f(X0+h).Définition
1.1. fest différentiable enxs"il existe une application linéaireL:Rn!R
telle que : f(x+h) =f(x) +L(h) +khk(h); aveclimh!0(h) = 0. L"applicationLestla différentielle defenxet se notedf(x) ouf0(x).Remarque
Cette définition signifie que l"application affinef(x)+df(x)hest tangente à l"application h7!f(x+h)en 0. Lorsque qu"on remplacef(x+h)parf(x) +df(x)het quehest petit, alors on fait une erreur négligeable par rapport àh.Cela revient à dire
lim khk!0f(x+h)f(x)L(h)khk= 0 La différentielle, lorsqu"elle existe, est unique.Proposition
1.2. Sifest différentiable enx, alors ses dérivées partielles existent et on
a : df(x)h=@ f@ x1(x)h1+:::+@ f@ x
n(x)hn =rfhRemarque
La matrice de l"application linéairedf(x)dans la base canonique est le gradientrf(x). 1L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
Proposition
1.3. Sifest différentiable enxalorsfest continue enx.
Remarque
L"existence des dérivées partielles defn"implique pas la différentiabilité.Mais :
Théorème
1.4. Sifadmet des dérivées partielles et si elles sont continues alorsfest
différentiable.On dit quefest de classeC1.
1.1 Règle de différentiation
Proposition
1.5. Sifetgsont différentiables on a :
(i)d(f+g)(x) =df(x) +dg(x) (ii)d(f)(x) =df(x) (iii)d(fg)(x) =f(x)dg(x) +g(x)df(x) (iv)dfg (x) =g(x)df(x)f(x)dg(x)g2(x)(à condition queg(x)6= 0)
1.2 Remarques
Sif:U!RoùUest un ouvert deRn, alors :
(i) Si festC1surUalorsfest différentiable surUet les dérivées@ f@ x iexistent surU.Les réciproques ne sont pas vraies!!
(ii) Si fest différentiable enx02Ualors l"application affineA(h) =f(x0) +df(x0)h a pour graphe l"espace tangent au graphe defenx0.1.3 Dérivées partielles successives
Les dérivées partielles
@f@x i(x1;:::;xn)sont des fonctions dex1;:::;xn, et il arrive souvent qu"elles sont eux-même dérivables.Définition
1.6. On écrit, lorsqu"elle existe,@2f@x
i@xj=@@x i @f@x j et on dit qu"il s"agit d"unedérivée partielle secondedef.Exemple
f:R2!R;(x;y)7!x3y4. Alors@2f@x@y (x;y) = 12x2y3=@2f@y@x (x;y). 2L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
Théorème
1.7. (Schwarz)
Si les déirvées partielles
@f@x i;@2f@x i@xjexistent et sont continues dans une boule autour de(a1:::an)alors : 2f@x i@xj(a) =@2f@x j@xi(a)2 La différentielle d"une fonction à valeurs vectorielles
Définition
2.1. FdeRndansRmestdifférentiableenx2Rns"il existe uneappli-
cation linéaireLdeRndansRmtelle que : lim khk!0F(x+h)F(x)Lhkhk= 0:Lest ladifférentielledeFenxet se note :dF(x).
Théorème
2.2. Fest différentiable enxsi et seulement si ses composants sont différen-
tiables et on a : dF(x)h= (rf1(x)h; ::: ;rfm(x)h):Définition
2.3. La matrice
2 6 4@f 1@x1(x)@f1@x
n(x) @f m@x1(x)@fm@x
n(x)3 7 5 est la matrice dedF(x)et est appeléematrice jacobiennedeFenxet se note :J(F)(x).Théorème
2.4. SiFa des composantes de classeC1alors elles sont différentiables etF
est également différentiable.Exercice
(i) T rouverla matrice jaco biennede Fen(1;1)de :F(x; y) = (x2+y2; exy). (ii) T rouverla différen tiellede F(x; y ; z) = (x; y ; z). (iii) T rouverla diff érentiellede F(r; ) = (rcos; rsin).2.1 Propriétés de la différentielle
Proposition
2.5. SiFdeRndansRmest linéaire, alorsdF(x) =F.
Proposition
2.6. SiFest différentiable enxalorsFest continue enx.
3L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
2.2 Différentielles des fonctions composées
SiFest une fonction deRndansRm, siGest une fonction deRmdansRq, alorsGF est une fonction deRndansRq.Théorème
2.7. SiFest différentiable enx, et siGest différentiable enF(x), alors
GFest différentiable enxet on a :
d(GF)(x) =dG(F(x))dF(x):Exercice
DériverGFlorsque
F(x; y) = (x2+y2; exy)
G(u; v) = (xy ;sinx; x2y)
2.3 Sur la règle de dérivation en chaîne
Le résultat théorique
Soientf:Rn!Retg:Rp!Rndeux fonctions différentiables. Écrivonsh=f g:D"après la règle de dérivation des fonctions composées nous avons (comme pour les fonctions deRdansR) : h0(x) = (fg)0(x) =f0(g(x)):g0(x):
La fonctionfgest une fonction deRpdansR. Sa dérivée est donc un vecteur ligne àp colonnes, la transposée de son gradient : h0(x) =
@h@x 1@h@x2:::@h@x
p La fonctiongest une fonction deRpdansRn. Sa dérivée est la matricenpcomposée des vecteurs transposés des gradients des coordonnées deg. Sig(x) = (g1(x);g2(x);:::;g2(x)) (on devrait écrire ce vecteur en colonne si on voulait se conformer en toute rigueur aux choix du cours) la dérivée degs"écrit : g0(x) =0
BBBB@@g
1@x 1@g 1@x2@g1@x
p@g2@x 1@g 2@x2@g2@x
p............ @g n@x 1@g n@x2@gn@x
p1 C CCCA: Pour simplifier la présentation appelonsg= (g1;g2;:::;gn)un point deRn. C"est un abus de notation,gne désigne pas ici la fonctiongmais un vecteur, un point dansRn. La dérivée defen un pointgest donnée par la transposée de son gradient : f0(g) =@f@g
1@f@g2:::@f@g
n 4L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
L"égalité matricielleh0(x) = (fg)0(x) =f0(g(x)):g0(x)signifie donc : @h@x 1@h@x2:::@h@x
p =@f@g 1@f@g2:::@f@g
n0 BBBB@@g
1@x 1@g 1@x2@g1@x
p@g2@x 1@g 2@x2@g2@x
p............ @g n@x 1@g n@x2@gn@x
p1 C CCCA:Autrement dit pour touti= 1;:::;pon a
@h@x i=nX k=1@f@g k@g k@x i: Attention! Quandgkapparaît au dénominateur cela signifie seulement que l"on prend ladérivée defpar rapport à sakième variable. Quand il apparaît au numérateurgkdésigne
lakième coordonnée deg: c"est alors une fonction.Un exemple
Prenonsf:R3!Retg:R2!R3deux fonctions différentiables définies par f(x;y;z) = 2xy3(x+z); g(x;y) = (x+y4;y3x2;2x23y): On demande de calculer les dérivées partielles de la fonction de deux variablesh=fg.Pour se ramener au théorème général et ne pas s"embrouiller, il est préférable de changer
les noms des variables dans l"expression def: f(g1;g2;g3) = 2g1g23(g1+g3): La formule de dérivation en chaîne donne alors @h@x =@f@g1@(x+y4)@x
+@f@g2@(y3x2)@x
+@f@g3@(2x23y)@x
@h@y =@f@g1@(x+y4)@y
+@f@g2@(y3x2)@y
+@f@g3@(2x23y)@y
Pour @h@x , on obtient : @h@x = (2g23):1 + 2g1:(6x) + (3):4x Exprimée en fonction dexetycette dérivée s"écrit : @h@x = 2y6x2312x(x+y4)12x=12xy418x2+ 2y12x3: Je vous laisse le calcul de la deuxième dérivée partielle dehen exercice. Remarque. On peut aussi écrire les choses sous la forme : @h@x =@f@x @(x+y4)@x +@f@y @(y3x2)@x +@f@z @(2x23y)@xmais c"est un peu risqué. Il ne faut surtout pas oublier de prendre les valeurs des dérivées
partielles defau point(x+y4;y3x2;2x23y). 5quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] dérivée totale
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