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Exo7

Formes différentielles

Fiche de A. Gammella-Mathieu (IUT de Mesures Physiques de Metz - Université de Lorraine)

Exercice 1Déterminer si les formes différentielles suivantes sont exactes et dans ce cas, les intégrer :

1.w1=2xydx+x2dy

2.w2=xydxzdy+xzdz

3.w3=2xex2ydx2ex2ydy

4.w4=yz2dx+(xz2+z)dy+(2xyz+2z+y)dz:

On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant : 8< :x=rcosjcosq y=rcosjsinq z=rsinj 1.

Calculer dx,dy,dz.

2. On considère la forme différentiellew= (x2+y2+2x)dx+2ydy. 1.

Montrer que wn"est pas exacte.

2. T rouverunefonctiony(x)tellequey(x)w=d f. Préciseralorsf. (Onditqueyestunfacteurintégrant.)

On considère le champ vectoriel

~V(x;y) = (1+2xy;x33). Ce champ est-il un champ de gradient ? Quel est le champ vectoriel qui dérive du potentiel

U(x;y;z) =1+x+xy+xyz?

1

Calculer la circulation du champ vectoriel

~V(x;y) = (3x;x+y)le long du cercleCde centreOet de rayon 1, parcouru dans le sens direct.

Calculer le travailWde la force~F(x;y;z) = (yz;zx;xy)le long de l"héliceHparamétrée parx=cost,y=sint

etz=toùtvarie de 0 àp4

On donne le champ vectoriel

~V(x;y;z) = (y2cosx;2ysinx+e2z;2ye2z): 1.

Montrer que ce champ est un champ de gradient.

2. Déterminer le potentiel U(x;y;z)dont dérive ce champ sachant qu"il vaut 1 à l"origine. 3. Quelle est la circulation de ce champ de A(0;1;0)àB(p2 ;3;0)? En utilisant la formule de Green-Riemann, calculerI=RR

Dxydxdyoù

D=f(x;y)2R2jx>0;y>0;x+y61g:

On considère la forme différentielle

w=yx

2+y2dx+xx

2+y2dy:

1. Dans quel domaine cette forme dif férentielleest-elle définie ? 2.

Calculer l"intégrale curviligne

R CwoùCest le cercle de centreOet de rayon 1, parcouru dans le sens direct. 3.

La forme west-elle exacte ?

P. Thuillier, J.C. Belloc,Mathématiques, analyse tome 1, 2ème édition, Masson (1990).

D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent,Toutes les mathématiques MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses (2004).

2

Indication pourl"exer cice9 NOn rappelle la formule de Green-Riemann qui permet de faire le lien entre intégrale double et intégrale

curviligne :

Théorème.SoitDun domaine deR2limité par une courbe ferméeCque l"on suppose coupée par toute

parallèle aux axes en deux points au plus. On considère une forme différentiellew=Pdx+Qdydéfinie surD.

Si les fonctionsPetQsont de classeC1, on a :

Z C +Pdx+Qdy=ZZ D où l"on a notéC+la courbeCque l"on a orientée dans le sens direct.3

Correction del"exer cice1 N1.Pour w1, on poseP(x;y) =2xyetQ(x;y) =x2. Commew1est définie sur l"ouvert étoiléR2et que

En intégrant la première ligne par rapport àx, on trouvef(x;y) =x2y+c(y). En dérivant l"expression

que l"on vient d"obtenir par rapport àyet en identifiant avec la deuxième ligne du système, on trouve

Il s"ensuit quec0(y) =0 et donc quec(y) =c2R. Par suite, la fonctionfcherchée est : f(x;y) =x2y+c oùcest une constante réelle. 2. 3. que 4. Pour w4, posonsP(x;y;z) =yz2,Q(x;y;z) =xz2+z,R(x;y;z) =2xyz+2z+y. On constate que (a) (b) (c)

La formew4est de plus définie sur l"ouvert étoiléR3, elle est donc exacte d"après le théorème de

Poincaré. Cherchons maintenantftelle qued f=w4, ceci revient à résoudre le système : 8>< En intégrant la première équation par rapport àx, on trouve f(x;y;z) =xyz2+y(y;z):

Maintenant, en dérivant l"expression obtenue successivement paryetzet en égalisant avec les deux

dernières équations du système, on obtient un nouveau système qui équivaut à :

Finalement, en intégrant (1) par rapport ày, il vienty(y;z) =zy+c(z). En dérivant cette expression

deypar rapport àzet en égalisant avec (2), on trouvey+c0(z) =2z+y, c"est-à-direc0(z) =2zdonc

c(z) =z2+coùc2R. Ainsi, la fonctionftelle quew4=d fest de la forme f(x;y;z) =xyz2+zy+z2+c oùc2R. 4

Correction del"exer cice2 N1.On vérifie que :

(a)dx=cosjcosqdrrsinjcosqdjrsinqcosjdq (b)dy=cosjsinqdrrsinjsinqdj+rcosqcosjdq (c)dz=sinjdr+rcosjdj:

Par suite, on a :

(c)zdz=rsin2jdr+r2cosjsinjdj: 2. En additionnant, on obtient xdx+ydy+zdz=rdr. On en déduit que : Ainsi pas exacte. 2. Comme west définie surR2, il suffit queywsoit exacte pour quefexiste. Maintenant,ywest exacte Ceci équivaut à 2yy(x) =2yy0(x). Ainsi,y(x) =y0(x)pour toutx. Doncy(x) =kexaveckconstante.

On peut choisirk=1. Ainsi

yw=ex(x2+y2+2x)dx+ex(2y)dy: En intégrant la deuxième équation par rapport ày, on trouve f(x;y) =exy2+c(x):

En dérivant cette expression par rapport àxet en égalisant avec la première équation du système, on

obtient e xy2+c0(x) =ex(x2+y2+2x) c"est-à-dire c

0(x) =ex(x2+2x):

Il en résulte quec(x) =x2ex+cet donc que

f(x;y) =ex(x2+y2)+c aveccdansR. 5

Correction del"exer cice4 NAu champ

~V(x;y)est associée la forme w= (1+2xy)dx+(x33)dy:

Cette forme n"est pas exacte puisque

Il s"agit donc du champ vectoriel de composantes :

grad(U) = (1+y+yz;x+xz;xy):Correction del"exer cice6 NSoitw=3xdx+(x+y)dyla forme différentielle naturellement associée à~V(x;y)et considéronsx=costet

y=sintcomme paramétrage du cercle de centreOet de rayon 1 (avect2[0;2p]). Il s"ensuit que la circulationR

C~V:~dln"est autre que :

Z C ~V:~dl=Z C w=Z 2p

0(3cost(sint)+(cost+sint)cost)dt:

Comme cos

2t=cos(2t)+12

, on obtient : Z C ~V:~dl=Z 2p

0(2sintcost+cos(2t)+12

)dt= [cos2(t)+14 sin(2t)+t2 ]2p0=p: Remarquonsque sila formewavaitété exacte, on auraitobtenuR C~V:~dl=0 comme réponse, puisque l"intégrale

curviligne d"une forme exacte sur une courbe fermée est nulle.Correction del"exer cice7 NNotonsw=yzdx+zxdy+xydzla forme différentielle associée à~F(x;y;z). Par définition deW, on aW=R

H~F:~dl=R

Hw:D"après le paramétrage donné pourH, on a W=Z p4

0yzdx+zxdy+xydz

Z p4

0((sint)t(sint)+tcos2t+costsint)dt

Z p4

0(tcos(2t)+costsint)dt:

On a utilisé ici la formule trigonométrique : cos(2t) =cos2tsin2t:En faisant une intégration par parties, on

constate queZ p4

0tcos(2t)dt= [tsin(2t)2

]p4 0Z p4

0sin(2t)2

dt:

On en déduit que

W= [tsin(2t)2

]p4 0+14 [cos(2t)]p4 0+12 [sin2(t)]p4 0=p8 14 +14 =p8 6 Remarquons quew=yzdx+zxdy+xydzest exacte. De plus, on vérifie aisément quew=d(xyz). On peut alors retrouver le résultat précédent en faisant :

W=f(B)f(A)

où l"on a poséf(x;y;z) =xyz,

B= (cos(p4

);sin(p4 );p4 ) = (p2 2 ;p2 2 ;p4 et

A= (cos(0);sin(0);0) = (1;0;0):Correction del"exer cice8 N1.On noteP(x;y;z)=y2cosx,Q(x;y;z)=2ysinx+e2zetR(x;y;z)=2ye2z. Laformew=Pdx+Qdy+Rdz,

naturellement associée au champ ~V(x;y;z), est exacte puisqu"elle est définie surR3et (a) (b) (c)

Le champ

~V(x;y;z)est donc un champ de gradient. 2. Cherchons Utel quew=dU. Cela nous conduit à résoudre le système : 8>< En intégrant la première équation par rapport àx, on trouve :

U(x;y;z) =y2sinx+y(y;z):

Maintenant, en utilisant les deux dernières équations, on est amené à résoudre le système suivant :

Par suite, on vérifie quey(y;z) =e2zy+c(z)avecc0(z) =0. Doncc(z) =caveccconstante réelle et finalement :

U(x;y;z) =y2sinx+e2zy+c

avecc2R. Par ailleurs, on veut queU(0;0;0) =1 ce qui donnec=1. 3.

La circulation du champ de A(0;1;0)àB(p2

;3;0)est Z _

AB~V:~dl=Z

_

ABw=U(B)U(A) =U(p2

;3;0)U(0;1;0) =11:

Remarquons que lorsquewest exacte, pour calculer l"intégrale curviligne dewsur un chemin, il suffit

de connaître l"origine et l"extrémité du chemin. Autrement dit, l"intégrale curviligne d"une forme exacte

sur_ABne dépend que deAet deB, et non du chemin choisi pour aller deAàB. 7

Correction del"exer cice9 NOn rapporte le plan à un repère orthonormé direct d"origineO. D"après la formule de Green-Riemann, en

I=ZZ D xydxdy=Z T x2ydy où l"on a notéTle triangleOABorienté dans le sens direct avecO(0;0),A(1;0)etB(1;1). Ainsi I=ZZ D xydxdy=Z _

OAx2ydy+Z

_

ABx2ydy+Z

_

BOx2ydy:

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