DÉRIVATION (Partie 2)
Remarque : Dans un repère orthogonal la courbe de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 3) Étude de la dérivabilité en 0
Dérivation
La fonction f est dérivable en a si et seulement si le quotient f(x) ? f(a) La fonction valeur absolue est-elle dérivable en 0 ?
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov 2014 La fonction valeur absolue x ??
Dérivation
Exemple 2. f : x ??
Nombre dérivé et fonction dérivée Fiche
Lorsqu'une fonction f est dérivable en un réel a d'un intervalle ouvert I le nombre dérivé Étudions la dérivabilité de la fonction valeur absolue en 0.
Chapitre 11 : Dérivation
21 ene 2014 La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0 mais y admet à gauche une demi-tangente d'équation y = ?x
Fonctions continues
La fonction valeur absolue est continue en 0 mais elle n'est pas dérivable en 0. B Théorème des valeurs intermédiaires. 1- Cas général. Soit f une fonction
La dérivabilité en un point implique la continuité en un point
La dérivabilité en un point implique la continuité en un point f est dérivable en a ...
DÉRIVATION
n'existe pas car dépend du signe de h. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0. En observant la courbe représentative de la fonction valeur
Dérivabilité
La réciproque est totalement fausse comme le montre l'exemple classique de la fonction valeur absolue : fonction continue en 0 mais non dérivable en 0.
[PDF] Dérivation des fonctions
f (x) = x et x0 = 0 la fonction f est continue mais pas dérivable en x0 Soit f la fonction « valeur absolue » : f (x) = x On a f (x)?f (0)
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes
7 nov 2014 · La fonction valeur absolue x ?? x est continue mais pas dérivable en 0 1 6 Continuité et équation Théorème 3 : Théorème des valeurs
[PDF] Partie 1 : Dérivées des fonctions usuelles - maths et tiques
Définitions : On dit que la fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout réel de Dans ce cas la fonction qui à tout
La fonction valeur absolue - Tout pour les Maths
On appelle fonction valeur absolue la fonction définie sur R et qui a tout x associe sa valeur La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0
Étude de la fonction valeur absolue et de sa dérivation - Maxicours
Si x > 0 ?x? = x et la dérivée de x ? x est x ? 1 Pour que la fonction valeur absolue soit dérivable en 0 il doit exister un réel unique L tel que
[PDF] Dérivation
La fonction f est dérivable en a si et seulement si le quotient f(x) ? f(a) La fonction valeur absolue est-elle dérivable en 0 ?
Fonction valeur absolue - Jybaudotfr
La notion de valeur absolue est simple à comprendre et on l'aborde Dérivée : la fonction valeur absolue est dérivable partout sauf pour x=0 x = 0
[PDF] DÉRIVABILITÉ - Christophe Bertault
Si f est dérivable en a alors f est continue en a Attention ! La réciproque est totalement fausse pensez à la fonction valeur absolue en 0 C'est contre-
[PDF] Dérivation
La fonction racine carré non dérivable en 0 • La fonction valeur absolue non dérivable en 0 (mais dérivable à gauche et à droite en 0) • La fonction partie
[PDF] Dérivation
Fonctions dérivables Certaines fonctions sont dérivables et d'autres pas Par exemple la fonction valeur absolue n'est pas dérivable
Est-ce que la fonction valeur absolue est dérivable en 0 ?
La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0. Pour tout x réel, , c'est-à-dire pour x ? 0 et pour x ? 0.Comment montrer qu'une fonction est dérivable en 0 ?
Si f est définie dans un voisinage de x0 x0 x0 : f est dérivable en x0 ssi f est dérivable à gauche et à droite en x0 et fg (x0)=fd (x0). On a alors f (x0) = fg (x0) = fd (x0).Pourquoi la fonction valeur absolue Est-elle continue en 0 ?
La fonction valeur absolue est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si a et b sont deux réels de I et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un réel x compris entre a et b tel que f(x) = k.- Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
![[PDF] Dérivation [PDF] Dérivation](https://pdfprof.com/Listes/17/57788-17derivation.pdf.pdf.jpg)
Dérivation
Table des matières
I Définitions et Interprétation Graphique1
II Fonction dérivée4
IIICalcul de dérivées5
IV Dérivées Successives8
V Quelques Démonstrations8
I Définitions et Interprétation Graphique
Dans cette section, on considère une fonctionfdéfinie sur un intervalleDfdeR, et sa représentation
graphiqueCf.Commençons par la définition centrale de ce chapitre, que nous tenterons ensuite d"éclaircir.
Définition 1
Soitaun réel dansDf.
La fonctionfestdérivable enasi et seulement si le quotient f(x)-f(a) x-a admet une limite finie quandxtend versa. Dans ce cas, lenombre dérivé defena(ou simplementla dérivée defena) est le réel f ?(a) := limx→af(x)-f(a) x-a.Remarque 1
Dans la Définition 1, il revient au même de demander, pour qu"une fonctionfsoit dérivable ena, que
f(a+h)-f(a) haie une limite finie quandhtend vers0.Donnons une paire d"exemples numériques :
1DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020
Exemple 1
La fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2+ 2012est-elle dérivable en0? On a f(x)-f(0) x-0=(x2+2012)-(02+2012)x=x2x=x, qui tend vers0lorsquextend vers0. Doncfest dérivable en0, et sa dérivée en0est : f ?(0) = limx→0f(x)-f(0) x-0= limx→0x= 0. Plus généralement, pour tout réela?R, on af(x)-f(a) x-a=(x2+2012)-(a2+2012)x-a=x2-a2x-a=x+a, qui admet bien unelimite finie lorsquextend versa. Doncfest dérivable en tout pointadeR, et sa dérivée enaest :
f ?(a) = limx→af(x)-f(a) x-a= limx→ax+a= 2a.Exemple 2
La fonction valeur absolue est-elle dérivable en0?Poura= 0, on af(x)-f(a)
x-a=|x|x. On doit distinguer les limites à droite et à gauche : on alimx→0x>0|x|x= 1, etlimx→0x<0|x|x=-1
Donc |x|xn"admet pas de limite lorsquextend vers0: la fonction valeur absolue n"est donc pas dérivable en0.
Essayons maintenant de comprendre cette notion géométriquement. Commençons par donner une interprétation graphique du quotientf(x)-f(a) x-aqui intervient dans cettedéfinition. SoitAle point de coordonnées(a;f(a))sur la courbeCf, et soitMun point deCf, différent
deA. Les coordonnées deMsont de la forme(x,f(x)), pour un réelx?Df(x?=a). Voir la figure degauche ci-dessous. Comme nous l"avons vu dans le chapitre "Droites et Système", le coefficient directeur
de la droite(MA)est donné par : f(x)-f(a) x-a. On dit que cette quantité est letaux d"accroissementde la fonctionfena. f(a) aA M xf(x) f(a) aA Maintenant, lorsquextend vers la valeura, la droiteMAse rapproche de la tangente àCfenA. Latangente àCfenaest, en quelque sorte, une droite qui " touche » la courbeCfau plus près au point
A: cette droite passe par le pointA, et effleure la courbe en ce point (la courbe et sa tangente forment
alors un angle nul). Voir la figure de droite ci-dessus. Ainsi, on peut interpréter graphiquement le nombre
dérivé defenaainsi : f ?(a)est le coefficient directeur de la tangente àCfena , lorsque ce coefficient directeur existe.Plus généralement, on a
-2-DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020
Propriété 1
Soitfune fonction dérivable ena. Une équation de la tangente àCfenA(a,f(a))est y=f?(a).(x-a) +f(a).Démonstration:Puisquef?(a)est le coefficient directeur de la tangente àCfena, cette droite admet
une équation de la formey=f?(a).x+b, où le réelbest à déterminer. Puisque cette droite passe par le
pointA(a;f(a)), on a : yA=f?(a).xA+b?f(a) =f?(a).a+b?b=f(a)-f?(a).a.
En remplaçant dans l"equation de la tangente, on obtient donc : y=f?(a).x+ (f(a)-f?(a).a)?y=f?(a).(x-a) +f(a).Exemple 3
Soitfla fonction définie surR+parf(x) =⎷
x-1, et soitCfsa courbe représentative. Déterminons siCfadmet une tangente enx= 1, et l"équation de cette tangente le cas échéant. On a f(x)-f(1) x-1=(⎷ x-1)-(⎷1-1) x-1=⎷ x-1 x-1=1⎷x+1, Orlimx→11⎷x+1=12, doncfest dérivable en1, et sa dérivée en1 estf?(1) =12. La courbeCfadmet donc une tangente enx= 1.
L"équation de cette tangente est donc donnée pary=12(x-1) +f(1) =12(x-1).
Quand est-ce qu"une fonction n"estpasdérivable en un point? La figure ci-dessous présente trois situations
où cela peut se produire : af(a)Cas 1Cas 2af(a)
Cas 3 af(a) Cas 1 : La fonctionfn"est pas continue enx=a. Dans ce cas, la courbeCfn"admet pas de tangente en ce point.Cas 2 :limx→af(x)-f(a)
x-a=±∞. Dans ce cas, la courbeCfadmet une tangente verticale en ce point.Cas 3 :limx→ax>af(x)-f(a)
x-a?= limx→ax Le Cas 1 montre qu"une fonction qui n"est pas continue en un point n"est pas non plus dérivable en ce En revanche, la réciproque est fausse : une fonctionfcontinue enan"est pas nécessairement dérivable ena. Par exemple, la fonction valeur absolue est bien continue surR. Mais elle n"est pas dérivable en0: fest dérivable en chaque réelxdeI. Lafonction dérivée def, notéef?, est alors la fonction qui à pointadeR, et sa dérivée enaest :f?(a) = 2a. Autrement dit, la fonction dérivée defest la fonctionf?définie sur Ainsi, associée à la fonctionf, nous avons cette nouvelle fonctionf?, qui mesure 'l"inclinaison de la courbe représentative def" en chaque point. Comprendre la fonction dérivéef?nous permettra donc de mieux En effet, sif?(a)≥0poura?I, cela signifie que la tangente au graphe defen ce point a un coefficient De plus, la fonction dérivée permet de déterminer les extremas de la fonctionf. En effet, d"après la Defi- nition 1, on a donc que, si une fonction est dérivable enaet quef?(a) = 0, alors la courbe représentative defadmet en ce point une tangente horizontale. La figure ci-dessous illustre deux telles situations : Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI. Soitaun réel dansI, et qui n"est pas une borne de Dans la seconde partie de l"énoncé, il faut quef?change de signe enapour avoir un extremum local en La dérivée de fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2+ 2012est donnée parf?(x) = 2x(cf exemple pécédent). On en ?La fonctionfest strictement décroissante sur]-∞;0[et strictement croissante sur]0;+∞[(puisquef?(x)<0sur ?La fonctionfadmet un extremum (ici, un minimum) enx= 0(puisquef?s"annule et change de signe en ce point).En effet, la courbe représentative defest une parabole, comme vu dans le chapitre sur les fonctionsde référence. Dans les quelques exemples vus jusqu"à présent, nous sommespassés par la Définition 1 pour les calculs de dérivées. Nous allons voir dans cette section que nous pouvons en général faire ces calculs à partir de Les fonctions de références usuelles données dans le tableau suivant sont dérivables sur l"intervalle On note que les seconde et troisième lignes (dérivées dexetx2) sont deux cas particuliers de la ligne suivante (dérivée dexnoùn≥1). De même, la formule de la dérivée de1/xn"est qu"un cas particulier En combinant le résultat précédent avec la propriété suivante, nous serons en mesure de calculer les Soituetvdeux fonctions définies et dérivable sur un même intervalleI. Soitαun réel quelconque. Dans les deux dernières ligne,I\ {x?I;v(x) = 0}désigne simplement l"ensemble de définition de la Par ailleurs, on note que la fonctionα.v(seconde ligne) est un cas particulier de fonction du typeu.v, où uest la fonction constanteu(x) =α. De même, la fonction1/v(quatrième ligne) est un cas particulier Les fonctions polynômes et fractions rationelles sont dérivables sur leur ensemble de définition. Par exemple : ?La fonction polynômef(x) = 4x6-3x5+ 2x+ 5est dérivable surR, et sa dérivée est donnée parf?(x) = De plus, la composée de deux fonctions dérivable est dérivable sur son ensemble de définition. Soitvune fonction dérivable sur un intervalleJ. Soituune fonction dérivable sur un intervalleItel La fonctiong(x) = (3x2+ 1)8est définie et dérivable surR. Elle est de la formef=u◦vavecu(x) =x8et Enfin, concluons cette section par un résultat sur les fonctions réciproques (notion introduite à la fin du Nous ne donnons ci-dessous que deux exemples. Le premier permet de retrouver la formule de la dérivée de la racine carrée vue précédemment, tandis que la seconde permet de trouver la dérivée de la racine La fonction carréef(x) =x2est définie et strictement croissante sur tout intervalleIdeR+. Elle est dérivable surR+, fonction racine carrée est donc dérivable sur tout intervallene contenant pas0(carf?(0) = 0), et sa dérivée est donnée La fonction cubeg(x) =x3est définie et strictement croissante sur tout intervalleIdeR. Elle est dérivable surR, La fonction racine cubique est donc dérivable sur tout intervallene contenant pas0(carg?(0) = 0), et sa dérivée est Soitfune fonction dérivable sur l"intervalleIdeR. Supposons que la fonction dérivée soit elle-même dérivable surI. Nous pouvons alors définirf??= (f?)?:I→R. Cette fonction s"appelledérivée seconde def. On la note aussif(2). De manière plus générale, sifest dérivablenfois surI, ladérivéen-ièmede N"oubliez pas les parenthèses dansf(n). En effet,fndésigne usuellement la puissancen-ième def. Par Une fonction polynôme est dérivablenfois surR, pour tout entiern≥1: en effet, toute fonction polynôme est dérivable surR, et la dérivée d"une fonction polynôme est à nouveau une fonction polynôme! Soitg(x) =x3. Alors,gest dérivable à tout ordre surR(c"est à dire qu"elle est dérivablenfois, pour tout entier Dans cette section on donne les preuves de quelques unes des propriétés vues précédemment. Dérivée deu+v: le taux d"accroissement deu+ventrexetaest égal à la somme des taux d"accroissements De proche en proche, on peut ainsi démontrer que la dérivée dex?→xnestnxn-1. Une preuve plus x→a(xn-1+xn-2a+xn-3a2+...+x2an-3+xan-2+an-1) = limx→a(an-1+an-2a+an-3a2+...+a2an-3+a.an-2+an-1) =n.a Soitg(x) =f-1(x). On remarque quef(g(x)) =x. Donc, en utilisant la dérivée des fonctions composées :DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020
Propriété 2
Si une fonction estfdérivable ena, alorsfest continue ena. 2plus bas).
II Fonction dérivée
Définition 2
Soitfune fonction définie sur un intervalleI. On dit quefestdérivable surIsi et seulement si Exemple 4
Revenons sur l"Exemple
1. Nous y avons vu que la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2+2012est dérivable en tout
Rparf?(x) = 2x.
Propriété 3
Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI. ?Sif?>0(respectivementf?<0), alorsfest strictement croissante surI(respectivement stricte- ment décroissante surI). DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020
On a en géneral :
Propriété 4
Exemple 5
III Calcul de dérivées
Fonctionf(x)dérivable sur Dérivéef?(x)
k(fonction constante)R0 xR1 x 2R2x x n(n≥1)Rnxn-1 -5- DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020
Fonctionf(x)dérivable sur Dérivéef?(x)
1 xR?-1x2 1 xn(n≥1)R?-nxn+1 x]0;+∞[12⎷x cosxR-sinx sinxRcosx Remarque 2
Fonctionf(x)dérivable sur Dérivéef?(x)
u+v I u?+v? α.v I α.v
u.v I u ?v+v?u 1 vI\ {x?I;v(x) = 0}-v?v2 u vI\ {x?I;v(x) = 0}u?v-v?uv2 Remarque 3
Exemple 6
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4.(6x5)-3.(5x4) + 2.(1) + (0)(où les parenthèses donnent les dérivées des fonctions de référencex6,x5,xet5).
Doncf?(x) = 24x5-15x4+ 2.
?La fonctiong(x) =x2+ 5x+ 4 3x-2est de la formeu/vavecu(x) =x2+5x+4etv(x) = 3x-2. Or on au?(x) = 2x+5
etv?(x) = 3. La fonctiongest donc dérivable surR\ {2/3}, et sa dérivée est donnée par g ?(x) =(2x+ 5)(3x-2)-(x2+ 5x+ 4)3 (3x-2)2=3x2-4x-16(3x-2)2 Exemple 7
La fonctionh(x) =x⎷
xest de la formeu.vavecu(x) =xetv(x) =⎷x. La fonctionhest donc dérivable sur]0;+∞[, et sa dérivée est donnée par h ?(x) = 1.⎷ Exemple 8
La fonction tangente est définie partanx=sinx
cosx, et est donc de la formeu/vavecu(x) = sinxetv(x) = cosx. Elle est donc dérivable surR\?π 2+kπ;k?Z?, et sa dérivée est donnée par
(cosx)(cosx)-(-sinx)(sinx) cos2x=1cos2x. (caru?(x) = cosxetv?(x) =-sinx, et carcos2x+ sin2x= 1). On note au passage que
1 cos2x=cos2x+ sin2xcos2x= 1 +sin2xcos2x= 1 + tan2x. Remarque 4
Une version synthétique de cette formule est :(u◦v)?= (u?◦v)·v?. Exemple 9
Exemple 10
La fonctionf(x) =⎷
3x2+ 1est définie et dérivable surR(car3x2+ 1>0pour tout réelx). Elle est de la forme
f=u◦vavecu(x) =⎷ xetv(x) = 3x2+ 1. La dérivée defest donc donnée par f ?(x) =u?(v(x)).v?(x) =1 2?v(x).v?(x) =12?3x2+ 1).6x=3x⎷3x2+ 1.
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Propriété 8 (Dérivée des fonctions réciproques) Soitfune fonction dérivable et strictement monotone d"un intervalleIvers l"intervalleJ=f(I). Si f ?(x)?= 0pour toutx?I, alors la fonction réciproquef-1est dérivable surJet f-1??(x) =1 (f?◦f-1)(x). Exemple 11
Exemple 12
IV Dérivées Successives
Remarque 5
Exemple 13
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V Quelques Démonstrations
Dérivée deu.v:
(u.v)(x)-(u.v)(a) x-a=u(x)v(x)-u(a)v(a)x-a u(x)v(x)-u(a)v(x) +u(a)v(x)-u(a)v(a) x-a (u(x)-u(a))v(x) +u(a)(v(x)-v(a) x-a =v(x)(u(x)-u(a)) x-a+u(a)(v(x)-v(a)x-a Maintenant, on fait tendrexvera.vétant dérivable ena, lim x→a(v(x)-v(a) x-a=v?(a), De plus,vest alors continue ena, et doncv(x)tend versv(a). Enfin,uétant dérivable ena, lim x→a(u(x)-u(a) x-a=u?(a). Ainsi, par somme et produit de limites, on obtient : lim x→a(u.v)(x)-(u.v)(a) x-a=v(a)u?(a) +u(a)v?(a). Dérivée de
u v. On peut procéder dans le même esprit que précédemment, en calculant la limite du taux de variation. On peut également faire comme suit. On posef(x) =u(x) v(x). On au(x) =f(x)v(x). D"après la formule de la dérivée d"un produit, on a donc : u ?(x) =f?(x)v(x) +f(x)v?(x) d"où : f ?(x) =u?(x)-f(x)v?(x) v(x) Ou encore :
f ?(x) =u?(x)-u(x) v(x)v?(x) v(x)=u?(x)v(x)-u(x)v?(x)v2(x). -9- DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020
Dérivées usuelles (Propriété5)
Traitons le cas de la fonction cubef(x) =x3. Remarquons quef(x) =g(x)h(x)avecg(x) =xet h(x) =x2. En utilisant la formule de la dérivée d"un produit de fonctions (Propriété 6), on obtient :
f ?(x) =g?(x)h(x) +g(x)h?(x) = 1.x2+x.(2x) = 3x2. On peut alors utiliser la même idée pour la fonctionl:x?→x4=x.x3: f ?(x) = 1.x3+x.(3x2) = 4x3. Cas de la fonctionf(x) =xn(n≥1) :
Soita?R. On va utiliser ici l"identité
x n-an= (x-a)(xn-1+xn-2a+xn-3a2+...+x2an-3+xan-2+an-1), que l"on peut par exemple vérifier en développant le terme de droite. On a donc lim x→af(x)-f(a) x-a= limx→ax n-anx-a= limx→a(xn-1+xn-2a+xn-3a2+...+x2an-3+xan-2+an-1) Or chacun des termes de la somme de droite tend versan-1lorsquextend versa. Puisqu"il y a exactement ntermes dans cette somme, on déduit que lim Cas de la fonction inversef(x) = 1/x:
Soita?R?. On af(x)-f(a) = 1/x-1/a= (a-x)/xa. Donc
lim x→af(x)-f(a) x-a= limx→a1/x-1/ax-a= limx→a(a-x)/xax-a= limx→a-1xa=-1a2. La fonctionf(x) = 1/xest donc dérivable surR?, de dérivée la fonctionf?(x) =-1/x2. Dérivée d"une fonction composée (Propriété 7) Soitf(x) =u◦v(x) =u(v(x)). Pour simplifier, on suppose quev(x)-v(a)ne s"annule pas pourxassez proche dea. f(x)-f(a) x-a=u((v(x))-u(v(a))x-a u((v(x))-u(v(a)) v(x)-v(a)v(x)-v(a)x-a vétant dérivable ena, lim x→av(x)-v(a) x-a=v?(a), De plus,vest alors continue ena, et doncv(x)tend versv(a). Donc : lim x→au((v(x))-u(v(a)) v(x)-v(a)=u?(v(a)) et ainsi, lim x→af(x)-f(a) x-a=u?(v(a))v?(a). -10- DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020
Dérivée d"une fonction réciproque (Propriété8) Donc :
g ?(x) =1 f?(g(x)). -11-quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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