Thème 8: Fonctions du 2ème degré optimisation PDF

f) SEG rectangle isocèle en S assure SIMJ losange et rectangle donc carré. (SF) Outils mathématiques : les aires en particulier : aire du triangle = 1. 2.

Aire maximale dans un triangle

Mathématiques : • Connaissances mobilisées des années antérieures : aire d En posant BM = x l'aire f(x) du rectangle ANMP est une fonction du second degré.

La résolution de problèmes mathématiques au collège

Comparer l'aire du rectangle ABCD et celle du carré AEFG. Cette question s de mathématiques du second degré] Antony Val de Bièvre

CONCOURS DE RECRUTEMENT DE PROFESSEURS DES ECOLES

28 sept. 2012 b) En déduire l'aire maximale recherchée. c) Le rectangle d'aire maximale est-il un carré ? Page 4. Mathématiques et sciences expérimentales ...

Triangle inscrit dans un carré Aire maximale dun triangle

Construire un second cercle (c1) de centre O passant par O2. 3. Nommer A et B les deux points d'intersection de ces cercles. Page 6

Mathématiques : du lycée aux CPGE scientifiques

carré d'aire a. On part d'un rectangle d'aire a dont on note x un ... Exercice 216 ( 3 Volume maximal d'un parallélépipède rectangle d'aire latérale fixée ).

LA FICELLE

d) Quelle semble être la nature du rectangle dont l'aire est maximum ? Page 2. Yvan Ainsi le rectangle dont l'aire semble maximum est un carré de côté 25 cm.

La boite sans couvercle

Cette situation mathématiques peut se présenter sous différentes formes. forme(s) d'un patron d'un parallélépipède rectangle (sans couvercle). • formule du ...

Seconde générale - Fonction carrée - Exercices - Devoirs

Déterminer la valeur de x pour que l'aire du rectangle ABCD soit maximale. En déduire l'aire maximale du rectangle ABCD. 3. a. Calculer l'aire du rectangle pour

Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction

1) A est la somme de l'aire du carré ABCD et de l'aire du demi-disque de diamètre Le triangle ABC étant rectangle en B on calcule AC par le théorème de.

Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction

Les carrés sont rangés dans le même ordre que les nombres de départ Ce faisant l'élève constate que l'aire est maximale pour le rectangle R6. Le cas du.

NOTION DE FONCTION

p151 n°17 à 21 x. 5 – x. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 4) On cherche la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle

ESD 2014E –04 : Fonctions

CAPES Mathématiques. G. Julia 2014 On dispose d'un terrain carré de 20 mètres ... de ce rectangle est du second degré Cette aire est maximale lorsque.

ESD 2015 –01 : Problèmes conduisant à létude dun polynôme du

3 jan. 2015 L'expression ( ) xf de l'élève de seconde montre bien comment elle a été obtenue (aire du rectangle diminuée des aires des deux parterres de ...

199 défis (mathématiques) à manipuler !

un trapèze isocèle ;. • un triangle rectangle ;. • un quadrilatère non parallélogramme ;. • un rectangle (non carré). IREM de Lyon

801 énigmes. . . de Âne à Zèbre

but du jeu est d'amener l'âne représenté par le grand carré grisé

Python au lycée - tome 1

modules. Par exemple le module math contient les fonctions mathématiques. Tu y trouves par exemple la fonction racine carrée sqrt() (square root).

Thème 8: Fonctions du 2ème degré optimisation

Quelle est l'aire maximale de la croix ainsi constituée ? (Ne pas premier est un rectangle ABCD et le second un carré MNPD où. M est au milieu de CD.

LATEX pour le prof de maths !

11 jan. 2021 Le maximum à chacun et le minimum à tous. ... 3.10.1 Des symboles dans un environnement mathématique . ... 13.5.1 Aire sous la courbe .

FONCTIONS DU 2

ÈME

DEGRÉ, OPTIMISATION 15

2C - JtJ 2022

Thème 8: Fonctions du 2

ème

degré, optimisation

8.1 Fonctions du 2

ème

degré

Définitions :

• On appelle fonction du 2

ème

degré, toute fonction f du type : f : x ax 2 + bx + c (où a, b et c sont des nombres réels) • Le coefficient a doit être non nul. • Le terme constant c s'appelle l'ordonnée à l'origine.

Exemple :

La fonction f : x 3x

2 + 5x - 2 est une fonction du 2

ème

degré.

Remarques :

• On remplacera volontiers le codage f : x ax 2 + bx + c par : f(x)=ax 2 +bx+c ou encore y=ax 2 +bx+c • La représentation graphique d'une telle fonction est une parabole.

Modèle 1 :

représentation graphique d'une fct du 2

ème

degré : Pour x [-3 ; 3], représenter graphiquement la fonction f définie par : f (x) = 2x 2 + 2x - 4

Tableau de valeurs Représentation graphique

x 2x 2 + 2x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Remarque :

• Pour le moment, le tableau de valeurs est un passage obligé avant de tracer la parabole. Il faut être particulièrement attentif aux risques d'erreurs de signes.

16 THÈME 8

2C - JtJ 2022 Exercice 8.1: Représenter graphiquement les fonctions suivantes (x [-3 ; 3]) : a) f (x) = x 2 - 4 b) f (x) = x 2 + x c) f (x) = 3x 2 - 3x + 6 d) f (x) = 1 2 x 2 12x1

Modèle 2 :

représentation graphique d'une fct du 2

ème

degré : Pour x [-3 ; 3], représenter graphiquement la fonction f définie par : f (x) = -2x 2 + 4x

Tableau de valeurs Représentation graphique

x -2x 2 + 4x -3 -2 -1 0 1 2 3

Remarques :

• Vous devrez être particulièrement attentifs à l'ordre des opérations dans l'expression : -x 2 Exercice 8.2: Parmi les réponses proposées, souligner la bonne: a) si x = 3 alors f (x) = -x 2 vaut : 9 3 -9 b) si x = 2 alors f (x) = -2x 2 vaut : -4 8 -8 c) si x = -1 alors f (x) = -x 2 vaut : -1 0 1 d) si x = -2 alors f (x) = -x 2 + x vaut : -6 8 2 e) si x = -5 alors f (x) = -x 2 + 5x vaut : 0 50 -50 f) si x = 5 alors f (x) = -x 2 + 5x vaut : 0 50 -50 g) si x = -2 alors f (x) = -3x 2 + 2x vaut : -16 32 8 h) si x = -3 alors f (x) = -2x 2 - 4x vaut : 48 30 -6

FONCTIONS DU 2

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DEGRÉ, OPTIMISATION 17

2C - JtJ 2022 Exercice 8.3: Représenter graphiquement les fonctions f suivantes (x [-3 ; 3]) : a) f (x) = -x 2 - 1 b) f (x) = -2x 2 + 3x c) f (x) = -3x 2 + 3x + 6 d) f (x) = 1 4x 2 +14x12

Remarques :

Dans les exercices 8.1 et 8.3 vous avez dû constater un lien entre le coefficient a des x 2 et l'orientation de la parabole. • Si a > 0, la parabole est • Si a < 0, la parabole est Exercice 8.4: En comparant les ordonnées à l'origine c et le signe de a, retrouver parmi les 4 graphiques celui correspondant aux fonctions f définies par : a) f (x) = x 2 - x + 2 b) f (x) = 1 4x 2 +x2 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3

18 THÈME 8

2C - JtJ 2022

8.2 Points d'intersection entre le graphe et les axes de coordonnées.

Intersection sur Ox :

Intersection sur Oy :

La première coordonnée des points d'intersection du graphe de f et l'axe Ox s'obtient en calculant les zéros de la fonction f. C'est-à-dire en résolvant l'équation f(x)=0. La deuxième coordonnée du point d'intersection du graphe de f et l'axe Oy s'obtient en calculant l'ordonnée à l'origine de la fonction f.

C'est-à-dire en calculant f(0).

Modèle 3 :

recherche des zéros sur un graphique : Déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées : a) f(x)=1 2x 2 +12x+3 b) f(x)=x 2 4 c) f(x)=x 2

3x d) f(x)=x

2 +x1 x y (0;f(0)) (x 1 ;0) (x 2 ;0) x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3

FONCTIONS DU 2

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2C - JtJ 2022 Exercice 8.5: À l'aide des graphiques et des tableaux de valeurs, déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées a) de l'exercice 8.1 b) de l'exercice 8.3 Exercice 8.6: À l'aide d'un graphique (format A 4 ), déterminer les zéros de la fonction f définie pour x [-3 ; 5] par f(x)=4x 2 7x25.

Remarques :

• Ce dernier exercice montre bien les limites de la recherche des zéros d'une fonction du 2

ème

degré à l'aide d'un graphique.

Nous devons donc utiliser une autre démarche.

• En fait, les zéros exacts de la fonction de l'exercice 8.6 sont en x=7±449 8 • Rechercher les zéros d'une fonction revient à résoudre une équation du type f (x) = 0. Les 2 outils que nous avons à notre disposition sont la factorisation et la fameuse formule.

Modèle 4 :

intersection avec les axes de coordonnées On considère la fonction f définie par: f(x)=2x 2 +7x5 Déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées : Exercice 8.7: Pour chaque fonction f définie ci-dessous, déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées : a) f(x)=x 2

4 b) f(x)=x

2 3x10 c) f(x)=2x 2 +5x3 d) f(x)=5x 2 +6x1 e) f(x)=3x 2 +2x f) f(x)=x 2 +x+1

20 THÈME 8

2C - JtJ 2022

8.3 Sommet de la parabole, extremum de la fonction quadratique

Introduction :

Sur les graphiques du début du chapitre, nous avons observé qu'une parabole est "tournée en U" si le coefficient a > 0. Dans ce cas, elle admet un minimum en un point que l'on appelle sommet. Dans le cas contraire, ce sommet correspondra alors à un maximum. Vous avez également observé qu'une parabole admet un axe (vertical) de symétrie qui doit alors passer par ce sommet.

Comment en calculer ses coordonnées ?

Modèle 5 :

coordonnées du sommet

On considère la fonction f définie par:

f(x)=1 4x 2 1 2x+2 représentée ci-contre. a) Déterminer les zéros de f. b) En déduire la première coordonnée du sommet S. c) Compléter les coordonnées de Squotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] Thème 8: Fonctions du 2ème degré optimisation

FONCTIONS DU 2

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Thème 8: Fonctions du 2

ème

8.1 Fonctions du 2

ème

Définitions :

ème

Exemple :

La fonction f : x 3x

ème

Remarques :

Modèle 1 :

ème

Tableau de valeurs Représentation graphique

Remarque :

16 THÈME 8

Modèle 2 :

ème

Tableau de valeurs Représentation graphique

Remarques :

FONCTIONS DU 2

ÈME

DEGRÉ, OPTIMISATION 17

Remarques :

18 THÈME 8

8.2 Points d'intersection entre le graphe et les axes de coordonnées.

Intersection sur Ox :

Intersection sur Oy :

C'est-à-dire en calculant f(0).

Modèle 3 :

3x d) f(x)=x

FONCTIONS DU 2

ÈME

DEGRÉ, OPTIMISATION 19

Remarques :

ème

Nous devons donc utiliser une autre démarche.

Modèle 4 :

4 b) f(x)=x

20 THÈME 8

8.3 Sommet de la parabole, extremum de la fonction quadratique

Introduction :

Comment en calculer ses coordonnées ?

Modèle 5 :

On considère la fonction f définie par: