[PDF] Chapitre III : Description du fluide en mouvement

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Spéciale PSI - Cours "Mécanique desuides"1

Cinématique des

uides

Chapitre III : Description du

uide en mouvement

Contents

1Lemodèledu

uide continu 2

2Champ des vitesses dans un

uide 2

2.1Description de Lagrange................................................ 2

2.2Description d'Euler................................................... 3

2.3Compatibilité de deux descriptions.......................................... 3

2.4Représentation et visualisation des écoulements................................... 3

2.4.1Approche lagrangienne : trajectoire..................................... 3

2.4.2Approche eulérienne : lignes de courants................................... 3

2.4.3Approche expérimentale : ligne d'émission.................................. 4

2.4.4Visualisation des écoulements......................................... 4

2.5Cas particulier des écoulements stationnaires.................................... 4

2.6Exemple : mouvement d'un cylindre dans un'uide initialement au repos.................... 4

2.6.1Position du problème.............................................. 4

2.6.2Etude dans le référentielR

lié au cylindre................................. 4

2.6.3Etude dans le référentielRlié au'uide................................... 6

3Dérivée particulaire d'un champ 7

3.1Dé+nition........................................................ 7

3.2Expression en description eulérienne......................................... 8

3.3Application à l'accélération.............................................. 8

4Densités de courant et débits 9

4.1Débit volumique.................................................... 9

4.2Débit massique..................................................... 9

4.3Sources et puits..................................................... 10

4.4Surface de contrôle et surface particulaire...................................... 10

4.4.1Bilan sur un système ouvert.......................................... 10

4.4.2Bilan sur un système fermé.......................................... 10

5Equation de conservation de la masse 10

5.1Bilan de masse sur un volume de contrôle - équation de continuité - approche eulérienne............ 10

5.2Bilan de masse sur un volume particulaire - équation de continuité - approche lagrangienne.......... 11

5.2.1Dérivée particulaire d'une grandeurG

(t)= V g(r,t)d\bextensive (HP)............... 11

5.2.2Bilan de masse en description lagrangienne................................. 12

6Ecoulements particuliers 12

6.1Evolution d'un volume élémentaire de'uide..................................... 12

6.2Rappels sur l'interprétation physique des opérateurs................................ 13

6.3Cas du régime stationnaire.............................................. 14

6.4Cas d'un'uide incompressible............................................. 14

6.5Cas d'un écoulement incompressible......................................... 15

6.6Ecoulements tourbillonnaires ou non tourbillonnaires................................ 15

6.6.1Dé+nitions................................................... 15

6.6.2Potentiel des vitesses.............................................. 15

6.6.3Exemple de la tornade............................................. 15

7Analogies avec l'électromagnétisme 18

2Mécanique desuides. Chapitre III : Description duuide en mouvement

Cinématique des

uides

Chapitre III : Description du'uide en mouvement

Objectifs :

Description lagrangienne et eulérienne duuide; dérivée particulaire. Introduction des densités de courant, débits; équation de conservation de la masse.

1Le modèle du

uide continu

Rappel:

Un'uide est un milieu matérielcontinu,déformable,quipeuts'écouler.

Modèle du'uide continu :

- on n'étudie pas individuellement chaque particule.

- Les grandeurs physiques dé+nies dans le'uide sont des moyennes sur des éléments de volumed\bmésoscopiques

(typiquement1µm), c'est à dire à la fois petit devant les dimensions macroscopiques et su=samment grand devant

les dimensions microscopiques pour contenir un grand nombre de molécules de'uide.

2Champ des vitesses dans un

uide

2.1Description de Lagrange

Pour décrire le'uide, on le découpe en éléments devolume mésoscopiques, physiquementfermés,

appelés particules'uides. On suit l'évolutionau cours du temps d'une de cesparticulesuides:M i

La description lagrangienne consiste donc à dé+nir lesgrandeurs physiquesen des pointsattachés à la matière: c'est la

description utilisée enmécanique du point.

Cette description est bien adaptée pour l'écriture des dé+nitions et théorèmes de la mécanique.

SoitM i une particule'uide etv i son vecteur vitesse (v i est dé+ni, comme toutes les grandeurs physiques dans le'uide, en

valeur moyenne sur l'élément de volume. Il se confond en fait avec la vitesse de son centre d'inertie). SoitOM

i le vecteur position de la particule'uide. On a alors : v i =dOM i dt=dx i dt i+dy i dt j+dz i dt k=v i (t)

Cette vitesse ne dépend explicitement que du temps(les coordonnées d'espace sont des fonctions du temps). Plus précisé-

mentv i (t)dépend detet de la position à l'origine des temps de la particule'uide:v i (t)=V(r o ,t). Mécanique desuides. Chapitre III : Description duuide en mouvement3

2.2Description d'Euler

Pour décrire le'uide, on le découpe en éléments devolume mésoscopiques'xesdans le référentiel d'étude

donc physiquementouvertssi le'uide bouge.

La description eulérienne consiste donc à dé+nir lesgrandeurs physiquesen despoints'xes du référentiel. La description

eulérienne est bien adaptée pour e?ectuer des analogies avec l'électromagnétisme (établissement d'équations locales).

Dans cette description lavitesseen un pointMdu'uide est unefonction de deux variables indépendantesMett:

v=v(r,t)

2.3Compatibilité de deux descriptions

En description lagrangienne, le vecteur vitessevd'un pointMdu'uide est le vecteur de la particule'uide qui l'entoure.

En description eulérienne, le vecteur vitessevd'un pointMdu'uide à un instanttest le vecteur vitesse de la particule

'uide qui se trouve enMàcetinstantt.

A chaque instant, les lignes de champ des vitesses dans les deux descriptions coïncident. Une même vitesse peut être

analysée de deux façons di?érentes.

2.4Représentation et visualisation des écoulements

2.4.1Approche lagrangienne : trajectoire

Dans la description lagrangienne, on suit l'évolution d'une particule de'uide.

Latrajectoired'une particule'uide est dé+nie comme le chemin suivi par cette particule au cours du temps, c'est-à-dire

l'ensemble des positions successives de cette particule au cours de son mouvement. On peut les visualiser expérimentalement

en photographiant en pose prolongée le déplacement d'un traceur émis pendant un temps très court en un point du'uide

(colorant, particules di?usant la lumière, bulles d'hydrogène, ... ). On les obtient mathématiquement par intégration

temporelle du champ de vitesse lagrangien V(r o ,t) r(t)=r o t t o V(r o ,t )dt trajectoire d'une particuleuide

2.4.2Approche eulérienne : lignes de courants

Leslignes de courants sont les lignes du champ de vecteursv; elles sont dé+nies comme étant les tangentes en chaque point

au vecteur vitessev(x,y,z,t o )à un instant donnét o .Untube de courantest l'ensemble des lignes de courants s'appuyant

sur un contour fermé. On peut visualiser expérimentalement les lignes de courants en faisant une photo en légère pose d'un

ensemble de particules: la direction des segments obtenus donne celle du vecteur vitesse ; leur longueur est proportionnelle

au module de la vitesse.

Mathématiquement, ces lignes sont dé+nies par l'ensemble des pointsM(x,y,z)tels qu'un déplacement élémentairedM(dx,dy,dz)

le long de la ligne soit colinéaire au vecteur vitessev; ceci peut s'exprimer par : dMv=0soitdx v x =dy v y =dz v z lelongd'unelignedecourants

On obtient l'équation des lignes de courants par intégration de ces deux équations di?érentielles.

4Mécanique desuides. Chapitre III : Description duuide en mouvement

2.4.3Approche expérimentale : ligne d'émission

Uneligne d'émissionreprésente l'ensemble des positions successives des particules'uides ayant coïncidé à un instant antérieur

avec un pointM o (x o ,y o ,z o

). Elles sont obtenues expérimentalement par émission continue d'un traceur (colorant par exemple)

au pointM o , et photographie instantanée de l'ensemble des positions du traceur.

2.4.4Visualisation des écoulements

Voir en annexe les techniques utilisées pour visualiser les écoulements.

2.5Cas particulier des écoulements stationnaires

Un écoulement stationnaire est tel que tous les champs dé+nis dans le'uide sont indépendants du temps,

et en particulier le champ des vitesses.

Dans une telle situation le champ des vitesses eulérien ne dépend pas explicitement du temps :v(r,t)=v(r)

Dans ce cas, les lignes de courants, les trajectoires et les lignes d'émission coïncident.

En e?et, les di?érentes particules " marquées» émises d'un même point au cours du temps ont les mêmes trajectoires :

celles-ci représentent donc en même temps les lignes d'émission.

Par ailleurs, le vecteur vitesse local (indépendant du temps) est tangent en chaque point aux trajectoires qui représentent

donc également les lignes de courants.

Au contraire, dans le cas d'un écoulement non stationnaire (par exemple dans le cas d'un obstacle qui se déplace dans un

récipient où le'uide est au repos loin de l'obstacle), ces di?érentes lignes sont en général distinctes, et la correspondance

entre elles est di=cile à étudier. On s'intéresse alors en général aux lignes de courants à l'intérieur du'uide.

Remarque

Selon le référentiel dans lequel on se place l'écoulement peut être statonnaire ou non stationnaire : cas du cylindre

en translation avec une vitesseV o constante dans le'uide initialement au repos :

dans le référentiel lié au cylindre, le champ de vitesse ne dépend pas explicitement du temps : les lignes de

courants sont confondues avec les trajectoires;

dans le référentiel lié au'uide initialement au repos, le champ de vitesse dépend explicitement du temps : les

lignes de courants ne sont plus confondues avec les trajectoires.

2.6Exemple : mouvement d'un cylindre dans un

uide initialement au repos

2.6.1Position du problème

Un cylindre de rayonase déplace à la vitesseV 0 constante, perpendiculaire à ses génératrices, dans un'uide initialement au repos.

SoitRle référentiel lié au'uide initialement au repos, repéré par le système d'axe orthonormé,+xeR(O;e

x ,e y ,e z )avec V 0 =V 0 e x (V 0 >0)et(Oz)parallèle aux génératrices du cylindre. SoitR le référentiel lié au cylindre, repéré par le système de coordonnées polairesR (O ;e r ,e ,e z )ayant pour origine l'axe du cylindre passant par le pointO .At=0, on supposera queOetO sont confondus. On admet que le champ des vitesses dans le référentielR est donné par : v (r,,t)= V 0 (1a 2 /r 2 )cose r V 0 (1 +a 2 /r 2 )sine

2.6.2Etude dans le référentielR

lié au cylindre

2.6.2.1 Lignes de courants dans le référentielR

lié au cylindre

Les lignes de courants à un instantt=t

0 sont les lignes de champ dev (r,,t 0 ). Leur équation di?érentielle est : dr v r (r,,t 0 )=rdv (r,,t 0 dr V 0 (1a 2 /r 2 )cos=rdV 0 (1 +a 2 /r 2 )sin (1 +a 2 /r 2 ra 2 /rdr=cossind ra 2 /r=A/sin L'allure des lignes de courants peut être obtenue par voie informatique : Mécanique desuides. Chapitre III : Description duuide en mouvement5 >wi th(pl ots): >s: =seq(i mpl i ci tpl ot ((r-1/r)*si n(t heta)=i /10, r=1. . 5, t heta=0. . 2*Pi , coords=pol ar, numpoi nts=1000, col or=COLOR(HUE, (i +20)/40)), i =-20. . 20): >cyl i ndre: =pl ot ([1, t heta, thet a=0. . 2*Pi ], coords=pol ar, scal i ng=CONSTRAINED, col or=bl ack, thi ckness=3): >di spl ay(s, cyl i ndre);

2.6.2.2 Trajectoire dans le référentielR

lié au cylindre

Dans le référentielR

lié au cylindre la vitesse d'une particule'uide est v (r,,t)= V 0 (1a 2 /r 2 )cose r V 0 (1 +a 2 /r 2 )sine V 0 a 2 r 2 sin 2 cos 2 +V 0 \b e x 2V 0 a 2 r 2 sincos\b e y sin=y /retcos=x /ravecr 2 =x 2 +y 2 v (x ,y ,t)= V 0 a 2 x 2 +y 2 y 2 x 2 x 2 +y 2 +V 0 \b e x 2V 0 a 2 x 2 +y 2 x y x 2 +y 2 e y

Pour obtenir le système d'équations di?érentielles donnant la trajectoire il su=t d'écrire :

v (x ,y ,t)=dx dt e x +dy dt e y dx dt=V 0 a 2 x 2 +y 2 y 2 x 2 x 2 +y 2 +V 0 dy dt=2V 0 a 2 x 2 +y 2 x y x 2 +y 2 Une résolution numérique donne les tracés ci-dessous : >wi th(DEtool s): >eq1: =di f f (x(t), t )=1+(y(t )^2-x(t )^2)/(x(t )^2+y(t )^2)^2; >eq2: =di f f (y(t), t )=-2*(y(t)*x(t ))/(x(t )^2+y(t )^2)^2; >ci : =seq(seq([x(0)=j , y(0)=i /2+0. 1], i =0. . 10), j =-5. . -1): >g: =DEpl ot([eq1, eq2], [x(t), y(t)], t=0. . 5, [ci ], stepsi ze=. 1, l i necol or=t, method=rkf 45, vi ew=[-6. . 2, -1. . 6], arrows=NONE):

>cyl i ndre: =pl ot([1, theta, theta=0. . 2*Pi ], coords=pol ar, scal i ng=CONSTRAINED, col or=bl ack, thi ckness=3):

>pl ots[di spl ay](g, cyl i ndre);

6Mécanique desuides. Chapitre III : Description duuide en mouvement

2.6.2.3 Conclusion

Dans le référentielR

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