Chapitre 2 : Cinématique des fluides
A la différence de la description lagrangienne où on identifie les particules façon arbitraire la description eulérienne définit l'écoulement du fluide ...
Diapositive 1
Un changement de référentiel modifie de manière drastique la description d'un mouvement. Page 9. B. Points de vue de Lagrange et d'Euler. Séance 2
Avant propos
1.5 Description eulérienne. 1.5.1 Construction. La description lagrangienne du mouvement nécessite d'introduire une configura- tion de référence du milieu
Transition vers le chaos en convection naturelle confinée
29 oct. 2015 confinée: descriptions lagrangienne et eulérienne ... nombre de Rayleigh basé sur la différence de température est choisi comme paramètre de ...
Chapitre III : Description du fluide en mouvement
En description lagrangienne le vecteur vitesse v d'un point M du fluide est le vecteur de la particule fluide qui l'entoure. • En description eulérienne
Représentations eulériennes et lagrangiennes
Est-ce une représentation eulérienne ou lagrangienne du champ de vitesse ? Donner la description lagrangienne du mouvement en prenant pour configuration ...
BROUILLON
Schéma de comparaison entre approche Lagrangienne et Eulérienne dans la mesure on moyennant toute l'équation et en appliquant les definition ci-dessous.
Cinématique des milieux continus
22 mars 2012 Il n'y a absolument aucune différence conceptuelle entre ces trois ... DÉFINITION : On appelle description de Lagrange du mouvement pour un ...
Dynamique Eulerienne-Lagrangienne et généralisée et
4 juil. 2008 Les coordonnées Euleriennes au temps t sont par définition les variables ... Une différence notable est cependant le nombre de paires des ...
Adaptation de la modélisation hybride eulérienne/lagrangienne
30 oct. 2018 Plus de détails sur les relations entre modèles lagrangien et eulérien à différents ordres sont fournis dans le chapitre 3.
[PDF] MMC2pdf - Guilhem Mollon
On appelle ces points de vue les descriptions Lagrangienne et Eulérienne du mouvement La première est plus adaptée à la mécanique du solide et la deuxième est
Description lagrangienne - Wikipédia
La variation de cette grandeur au cours du temps est alors décrite par une dérivée partielle parfois appelée dérivée eulérienne La représentation de Lagrange
Quelle est la différence entre la description lagrangienne et eulérienne
La description de Lagrange consiste à suivre une particule matérielle au cours de son mouvement à partir de sa position d'origine
[PDF] Chapitre III : Description du fluide en mouvement
En description lagrangienne le vecteur vitesse v d'un point M du fluide est le vecteur de la particule fluide qui l'entoure • En description eulérienne le
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diffusion pour ainsi arriver `a une description Eulerienne-Lagrangienne de la dynamique de Navier-Stokes 2 1´Equations d'Euler et variables de Clebsch
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2 2 2 Description eulérienne A la différence de la description lagrangienne où on identifie les particules la description eulérienne consiste à fixer un
Approche eulérienne et approche lagrangienne - Olivier GRANIER
Attention : Description lagrangienne (Lagrange 1736 – 1813) A un instant initial on découpe le fluide en particules de fluides élémentaires centrées sur
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Schéma de comparaison entre approche Lagrangienne et Eulérienne dans la mesure de la concentration d'un traceur non-conservative DC Dt = ?C ?t u??
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2 3 Liens entre les études lagrangiennes et euleriennes Une autre définition raisonnable de la différence entre phases solides et fluides consiste `a
Description Lagrangienne/Eulerienne - Forum FS Generation
La description eulérienne (plutôt utilisée pour des déformations infinies) c'est quand tu te places à un endroit fixe et que tu regarde le
Quelle est la différence fondamentale entre les approches lagrangienne et eulérienne ?
la description lagrangienne ; elle est souvent difficile à mettre en oeuvre en mécanique des fluides et est généralement réservée à l'étude des solides peu déformables ; la description eulérienne est souvent la description choisie en mécanique des fluides.Qu'est-ce que la dérivée particulaire ?
Dérivée particulaire
La représentation d'Euler définit à tout instant la valeur d'une grandeur (par exemple une composante de la vitesse) associée à un point fixe de l'écoulement. La variation de cette grandeur au cours du temps est alors décrite par une dérivée partielle parfois appelée dérivée eulérienne.- L'équation des lignes de courant est : vdx ? udy = 0, soit, en rempla?nt les composantes de vitesse par les dérivées de la fonction de courant : ? ?? ?xdx ? ?? ?ydy = ?d? = 0.
Spéciale PSI - Cours "Mécanique desuides"1
Cinématique des
uidesChapitre III : Description du
uide en mouvementContents
1Lemodèledu
uide continu 22Champ des vitesses dans un
uide 22.1Description de Lagrange................................................ 2
2.2Description d'Euler................................................... 3
2.3Compatibilité de deux descriptions.......................................... 3
2.4Représentation et visualisation des écoulements................................... 3
2.4.1Approche lagrangienne : trajectoire..................................... 3
2.4.2Approche eulérienne : lignes de courants................................... 3
2.4.3Approche expérimentale : ligne d'émission.................................. 4
2.4.4Visualisation des écoulements......................................... 4
2.5Cas particulier des écoulements stationnaires.................................... 4
2.6Exemple : mouvement d'un cylindre dans un'uide initialement au repos.................... 4
2.6.1Position du problème.............................................. 4
2.6.2Etude dans le référentielR
lié au cylindre................................. 42.6.3Etude dans le référentielRlié au'uide................................... 6
3Dérivée particulaire d'un champ 7
3.1Dé+nition........................................................ 7
3.2Expression en description eulérienne......................................... 8
3.3Application à l'accélération.............................................. 8
4Densités de courant et débits 9
4.1Débit volumique.................................................... 9
4.2Débit massique..................................................... 9
4.3Sources et puits..................................................... 10
4.4Surface de contrôle et surface particulaire...................................... 10
4.4.1Bilan sur un système ouvert.......................................... 10
4.4.2Bilan sur un système fermé.......................................... 10
5Equation de conservation de la masse 10
5.1Bilan de masse sur un volume de contrôle - équation de continuité - approche eulérienne............ 10
5.2Bilan de masse sur un volume particulaire - équation de continuité - approche lagrangienne.......... 11
5.2.1Dérivée particulaire d'une grandeurG
(t)= V g(r,t)d\bextensive (HP)............... 115.2.2Bilan de masse en description lagrangienne................................. 12
6Ecoulements particuliers 12
6.1Evolution d'un volume élémentaire de'uide..................................... 12
6.2Rappels sur l'interprétation physique des opérateurs................................ 13
6.3Cas du régime stationnaire.............................................. 14
6.4Cas d'un'uide incompressible............................................. 14
6.5Cas d'un écoulement incompressible......................................... 15
6.6Ecoulements tourbillonnaires ou non tourbillonnaires................................ 15
6.6.1Dé+nitions................................................... 15
6.6.2Potentiel des vitesses.............................................. 15
6.6.3Exemple de la tornade............................................. 15
7Analogies avec l'électromagnétisme 18
2Mécanique desuides. Chapitre III : Description duuide en mouvement
Cinématique des
uidesChapitre III : Description du'uide en mouvement
Objectifs :
Description lagrangienne et eulérienne duuide; dérivée particulaire. Introduction des densités de courant, débits; équation de conservation de la masse.1Le modèle du
uide continuRappel:
Un'uide est un milieu matérielcontinu,déformable,quipeuts'écouler.Modèle du'uide continu :
- on n'étudie pas individuellement chaque particule.- Les grandeurs physiques dé+nies dans le'uide sont des moyennes sur des éléments de volumed\bmésoscopiques
(typiquement1µm), c'est à dire à la fois petit devant les dimensions macroscopiques et su=samment grand devant
les dimensions microscopiques pour contenir un grand nombre de molécules de'uide.2Champ des vitesses dans un
uide2.1Description de Lagrange
Pour décrire le'uide, on le découpe en éléments devolume mésoscopiques, physiquementfermés,
appelés particules'uides. On suit l'évolutionau cours du temps d'une de cesparticulesuides:M iLa description lagrangienne consiste donc à dé+nir lesgrandeurs physiquesen des pointsattachés à la matière: c'est la
description utilisée enmécanique du point.Cette description est bien adaptée pour l'écriture des dé+nitions et théorèmes de la mécanique.
SoitM i une particule'uide etv i son vecteur vitesse (v i est dé+ni, comme toutes les grandeurs physiques dans le'uide, envaleur moyenne sur l'élément de volume. Il se confond en fait avec la vitesse de son centre d'inertie). SoitOM
i le vecteur position de la particule'uide. On a alors : v i =dOM i dt=dx i dt i+dy i dt j+dz i dt k=v i (t)Cette vitesse ne dépend explicitement que du temps(les coordonnées d'espace sont des fonctions du temps). Plus précisé-
mentv i (t)dépend detet de la position à l'origine des temps de la particule'uide:v i (t)=V(r o ,t). Mécanique desuides. Chapitre III : Description duuide en mouvement32.2Description d'Euler
Pour décrire le'uide, on le découpe en éléments devolume mésoscopiques'xesdans le référentiel d'étude
donc physiquementouvertssi le'uide bouge.La description eulérienne consiste donc à dé+nir lesgrandeurs physiquesen despoints'xes du référentiel. La description
eulérienne est bien adaptée pour e?ectuer des analogies avec l'électromagnétisme (établissement d'équations locales).
Dans cette description lavitesseen un pointMdu'uide est unefonction de deux variables indépendantesMett:
v=v(r,t)2.3Compatibilité de deux descriptions
En description lagrangienne, le vecteur vitessevd'un pointMdu'uide est le vecteur de la particule'uide qui l'entoure.
En description eulérienne, le vecteur vitessevd'un pointMdu'uide à un instanttest le vecteur vitesse de la particule
'uide qui se trouve enMàcetinstantt.A chaque instant, les lignes de champ des vitesses dans les deux descriptions coïncident. Une même vitesse peut être
analysée de deux façons di?érentes.2.4Représentation et visualisation des écoulements
2.4.1Approche lagrangienne : trajectoire
Dans la description lagrangienne, on suit l'évolution d'une particule de'uide.Latrajectoired'une particule'uide est dé+nie comme le chemin suivi par cette particule au cours du temps, c'est-à-dire
l'ensemble des positions successives de cette particule au cours de son mouvement. On peut les visualiser expérimentalement
en photographiant en pose prolongée le déplacement d'un traceur émis pendant un temps très court en un point du'uide
(colorant, particules di?usant la lumière, bulles d'hydrogène, ... ). On les obtient mathématiquement par intégration
temporelle du champ de vitesse lagrangien V(r o ,t) r(t)=r o t t o V(r o ,t )dt trajectoire d'une particuleuide2.4.2Approche eulérienne : lignes de courants
Leslignes de courants sont les lignes du champ de vecteursv; elles sont dé+nies comme étant les tangentes en chaque point
au vecteur vitessev(x,y,z,t o )à un instant donnét o .Untube de courantest l'ensemble des lignes de courants s'appuyantsur un contour fermé. On peut visualiser expérimentalement les lignes de courants en faisant une photo en légère pose d'un
ensemble de particules: la direction des segments obtenus donne celle du vecteur vitesse ; leur longueur est proportionnelle
au module de la vitesse.Mathématiquement, ces lignes sont dé+nies par l'ensemble des pointsM(x,y,z)tels qu'un déplacement élémentairedM(dx,dy,dz)
le long de la ligne soit colinéaire au vecteur vitessev; ceci peut s'exprimer par : dMv=0soitdx v x =dy v y =dz v z lelongd'unelignedecourantsOn obtient l'équation des lignes de courants par intégration de ces deux équations di?érentielles.
4Mécanique desuides. Chapitre III : Description duuide en mouvement
2.4.3Approche expérimentale : ligne d'émission
Uneligne d'émissionreprésente l'ensemble des positions successives des particules'uides ayant coïncidé à un instant antérieur
avec un pointM o (x o ,y o ,z o). Elles sont obtenues expérimentalement par émission continue d'un traceur (colorant par exemple)
au pointM o , et photographie instantanée de l'ensemble des positions du traceur.2.4.4Visualisation des écoulements
Voir en annexe les techniques utilisées pour visualiser les écoulements.2.5Cas particulier des écoulements stationnaires
Un écoulement stationnaire est tel que tous les champs dé+nis dans le'uide sont indépendants du temps,
et en particulier le champ des vitesses.Dans une telle situation le champ des vitesses eulérien ne dépend pas explicitement du temps :v(r,t)=v(r)
Dans ce cas, les lignes de courants, les trajectoires et les lignes d'émission coïncident.En e?et, les di?érentes particules " marquées» émises d'un même point au cours du temps ont les mêmes trajectoires :
celles-ci représentent donc en même temps les lignes d'émission.Par ailleurs, le vecteur vitesse local (indépendant du temps) est tangent en chaque point aux trajectoires qui représentent
donc également les lignes de courants.Au contraire, dans le cas d'un écoulement non stationnaire (par exemple dans le cas d'un obstacle qui se déplace dans un
récipient où le'uide est au repos loin de l'obstacle), ces di?érentes lignes sont en général distinctes, et la correspondance
entre elles est di=cile à étudier. On s'intéresse alors en général aux lignes de courants à l'intérieur du'uide.
Remarque
Selon le référentiel dans lequel on se place l'écoulement peut être statonnaire ou non stationnaire : cas du cylindre
en translation avec une vitesseV o constante dans le'uide initialement au repos :dans le référentiel lié au cylindre, le champ de vitesse ne dépend pas explicitement du temps : les lignes de
courants sont confondues avec les trajectoires;dans le référentiel lié au'uide initialement au repos, le champ de vitesse dépend explicitement du temps : les
lignes de courants ne sont plus confondues avec les trajectoires.2.6Exemple : mouvement d'un cylindre dans un
uide initialement au repos2.6.1Position du problème
Un cylindre de rayonase déplace à la vitesseV 0 constante, perpendiculaire à ses génératrices, dans un'uide initialement au repos.SoitRle référentiel lié au'uide initialement au repos, repéré par le système d'axe orthonormé,+xeR(O;e
x ,e y ,e z )avec V 0 =V 0 e x (V 0 >0)et(Oz)parallèle aux génératrices du cylindre. SoitR le référentiel lié au cylindre, repéré par le système de coordonnées polairesR (O ;e r ,e ,e z )ayant pour origine l'axe du cylindre passant par le pointO .At=0, on supposera queOetO sont confondus. On admet que le champ des vitesses dans le référentielR est donné par : v (r,,t)= V 0 (1a 2 /r 2 )cose r V 0 (1 +a 2 /r 2 )sine2.6.2Etude dans le référentielR
lié au cylindre2.6.2.1 Lignes de courants dans le référentielR
lié au cylindreLes lignes de courants à un instantt=t
0 sont les lignes de champ dev (r,,t 0 ). Leur équation di?érentielle est : dr v r (r,,t 0 )=rdv (r,,t 0 dr V 0 (1a 2 /r 2 )cos=rdV 0 (1 +a 2 /r 2 )sin (1 +a 2 /r 2 ra 2 /rdr=cossind ra 2 /r=A/sin L'allure des lignes de courants peut être obtenue par voie informatique : Mécanique desuides. Chapitre III : Description duuide en mouvement5 >wi th(pl ots): >s: =seq(i mpl i ci tpl ot ((r-1/r)*si n(t heta)=i /10, r=1. . 5, t heta=0. . 2*Pi , coords=pol ar, numpoi nts=1000, col or=COLOR(HUE, (i +20)/40)), i =-20. . 20): >cyl i ndre: =pl ot ([1, t heta, thet a=0. . 2*Pi ], coords=pol ar, scal i ng=CONSTRAINED, col or=bl ack, thi ckness=3): >di spl ay(s, cyl i ndre);2.6.2.2 Trajectoire dans le référentielR
lié au cylindreDans le référentielR
lié au cylindre la vitesse d'une particule'uide est v (r,,t)= V 0 (1a 2 /r 2 )cose r V 0 (1 +a 2 /r 2 )sine V 0 a 2 r 2 sin 2 cos 2 +V 0 \b e x 2V 0 a 2 r 2 sincos\b e y sin=y /retcos=x /ravecr 2 =x 2 +y 2 v (x ,y ,t)= V 0 a 2 x 2 +y 2 y 2 x 2 x 2 +y 2 +V 0 \b e x 2V 0 a 2 x 2 +y 2 x y x 2 +y 2 e yPour obtenir le système d'équations di?érentielles donnant la trajectoire il su=t d'écrire :
v (x ,y ,t)=dx dt e x +dy dt e y dx dt=V 0 a 2 x 2 +y 2 y 2 x 2 x 2 +y 2 +V 0 dy dt=2V 0 a 2 x 2 +y 2 x y x 2 +y 2 Une résolution numérique donne les tracés ci-dessous : >wi th(DEtool s): >eq1: =di f f (x(t), t )=1+(y(t )^2-x(t )^2)/(x(t )^2+y(t )^2)^2; >eq2: =di f f (y(t), t )=-2*(y(t)*x(t ))/(x(t )^2+y(t )^2)^2; >ci : =seq(seq([x(0)=j , y(0)=i /2+0. 1], i =0. . 10), j =-5. . -1): >g: =DEpl ot([eq1, eq2], [x(t), y(t)], t=0. . 5, [ci ], stepsi ze=. 1, l i necol or=t, method=rkf 45, vi ew=[-6. . 2, -1. . 6], arrows=NONE):>cyl i ndre: =pl ot([1, theta, theta=0. . 2*Pi ], coords=pol ar, scal i ng=CONSTRAINED, col or=bl ack, thi ckness=3):
>pl ots[di spl ay](g, cyl i ndre);6Mécanique desuides. Chapitre III : Description duuide en mouvement
2.6.2.3 Conclusion
Dans le référentielR
lié au cylindre, l'écoulement est stationnaire : nous constatons que les lignes de courants et les
trajectoires sont bien confondues.2.6.3Etude dans le référentielRlié au
uide2.6.3.1 Lignes de courants dans le référentielRlié au
uideLes lignes de courants à un instantt=t
0 sont les lignes de champ dev(r,,t 0 )=v (r,,t 0 )+Vquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21[PDF] description eulérienne
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