Chapitre 2 : Cinématique des fluides
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Cinématique des fluides
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Cinématiques des fluides CHAPITRE 03
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La cinématique du liquide c'est l'étude du mouvement des liquides sans tenir compte des forces qui lui donnent naissance On considère donc seulement les
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31 mar 2021 · PDF On Mar 31 2021 Marzouk Lajili published Chapitre 4 : Cinématique des fluides Find read and cite all the research you need on
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La viscosité cinématique ? est définie comme étant le rapport entre la viscosité dynamique et la masse volumique (1 7) Dans le système SI l'unité de la
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Champ de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Cin´ematique des fluides
L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le Mans
f´evrier 2011 L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
Plan du cours - Cin´ematique des fluides
I. Champ de vitesse dans un fluide
1. Description lagrangienne et eul´erienne
2. Notion de trajectoire et de ligne de courant
3. D´eriv´ee particulaire
II. Equation locale de conservation de la masse
1. D´ebits massique et volumique, densit´e de courant
2. Bilans de masse : ´equation de conservation de la masse
III. Caract´erisation de divers ´ecoulements1. Ecoulement stationnaire
2. Ecoulement incompressible
3. Ecoulement irrotationnel
L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
Plan du cours - Cin´ematique des fluides
I. Champ de vitesse dans un fluide
1. Description lagrangienne et eul´erienne
2. Notion de trajectoire et de ligne de courant
3. D´eriv´ee particulaire
II. Equation locale de conservation de la masse
1. D´ebits massique et volumique, densit´e de courant
2. Bilans de masse : ´equation de conservation de la masse
III. Caract´erisation de divers ´ecoulements1. Ecoulement stationnaire
2. Ecoulement incompressible
3. Ecoulement irrotationnel
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Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eul´erienneDescription lagrangienne
On suit le cheminement d"une particule de fluide (comme on le faisait en m´ecanique du point en math sup)Exemple
On regarde une brindille emport´ee par le courant dans une rivi`ere L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eul´erienneDescription lagrangienne
On suit le cheminement d"une particule de fluide (comme on le faisait en m´ecanique du point en math sup)Exemple
On regarde une brindille emport´ee par le courant dans une rivi`ere L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
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Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eul´erienneDescription eul´erienne
Pour observer un ´ecoulement, on se place `a un endroit donn´e, et on observe l"eau s"´ecouler (en un point fixe!!)Exemple
On regarde dans une rivi`ere, derri`ere une pile de pont, les tourbillons qui se forment et se d´eforment L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eul´erienneDescription eul´erienne
Pour observer un ´ecoulement, on se place `a un endroit donn´e, et on observe l"eau s"´ecouler (en un point fixe!!)Exemple
On regarde dans une rivi`ere, derri`ere une pile de pont, les tourbillons qui se forment et se d´eforment L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
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Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eul´erienne Comparaison des approches lagrangienne et eul´erienneApproche lagrangienne
Approche habituelle en m´ecanique du point (math sup), doncPFD applicable `a une particule de fluide
Peu compatible avec les conditions aux limites (`a des endroits fix´es)Approche eul´erienne
Plus appropri´e `a la m´ecanique des fluides car il y a des conditions aux limites Il faut donc adapter la mise en ´equation (voir partie d´eriv´ee particulaire) L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eul´erienne Comparaison des approches lagrangienne et eul´erienneApproche lagrangienne
Approche habituelle en m´ecanique du point (math sup), doncPFD applicable `a une particule de fluide
Peu compatible avec les conditions aux limites (`a des endroits fix´es)Approche eul´erienne
Plus appropri´e `a la m´ecanique des fluides car il y a des conditions aux limites Il faut donc adapter la mise en ´equation (voir partie d´eriv´ee particulaire) L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
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Description lagrangienne et eul´erienne
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I. Champ de vitesse dans un fluide
1. Description lagrangienne et eul´erienne
2. Notion de trajectoire et de ligne de courant
3. D´eriv´ee particulaire
II. Equation locale de conservation de la masse
1. D´ebits massique et volumique, densit´e de courant
2. Bilans de masse : ´equation de conservation de la masse
III. Caract´erisation de divers ´ecoulements1. Ecoulement stationnaire
2. Ecoulement incompressible
3. Ecoulement irrotationnel
L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
Notions de trajectoire et de ligne de courant
Approche lagrangienne : la trajectoire
On suit une brindille en tra¸cant son trajet
On photographie avec un temps de pause long le trajet des phares de voiture ->VoirApproche eul´erienne : la ligne de courant
On photographie instantan´ement l"´ecoulement `a t donn´e: la ligne de courant est tangente aux vecteurs vitesse ->Voir p5Exemple : carte des vents->Voir
En r´egime stationnaire, trajectoires et lignes de courantsont confondues L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
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Notion de trajectoire et de ligne de courant
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Notions de trajectoire et de ligne de courant
Approche lagrangienne : la trajectoire
On suit une brindille en tra¸cant son trajet
On photographie avec un temps de pause long le trajet des phares de voiture ->VoirApproche eul´erienne : la ligne de courant
On photographie instantan´ement l"´ecoulement `a t donn´e: la ligne de courant est tangente aux vecteurs vitesse ->Voir p5Exemple : carte des vents->Voir
En r´egime stationnaire, trajectoires et lignes de courantsont confondues L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
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Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
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I. Champ de vitesse dans un fluide
1. Description lagrangienne et eul´erienne
2. Notion de trajectoire et de ligne de courant
3. D´eriv´ee particulaire
II. Equation locale de conservation de la masse
1. D´ebits massique et volumique, densit´e de courant
2. Bilans de masse : ´equation de conservation de la masse
III. Caract´erisation de divers ´ecoulements1. Ecoulement stationnaire
2. Ecoulement incompressible
3. Ecoulement irrotationnel
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Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire : notations
Notations
Il faut bien distinguer :
D-→v
Dtutilis´ee en approche lagrangienne, en suivant la particule (dans le PFD en m´ecanique du point) ∂-→v ∂ten approche eul´erienne (on reste en un point fixe et on compare les vitesses des particules successives en ce point)D-→v
Dt?=∂-→v∂t
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Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire : notations
Notations
Il faut bien distinguer :
D-→v
Dtutilis´ee en approche lagrangienne, en suivant la particule (dans le PFD en m´ecanique du point) ∂-→v ∂ten approche eul´erienne (on reste en un point fixe et on compare les vitesses des particules successives en ce point)D-→v
Dt?=∂-→v∂t
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Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire : notations
Notations
Il faut bien distinguer :
D-→v
Dtutilis´ee en approche lagrangienne, en suivant la particule (dans le PFD en m´ecanique du point) ∂-→v ∂ten approche eul´erienne (on reste en un point fixe et on compare les vitesses des particules successives en ce point)D-→v
Dt?=∂-→v∂t
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Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire : notations
Exemple
Observation du trafic routier
Acc´el´eration d"un voiture que l"on suit
Diff´erence de vitesse entre deux voitures successives passant au mˆeme endroit Le probl`eme est le mˆeme pour la d´eriv´ee particulaire d"un champ de masse volumique :DμDt?=∂μ∂t
La partie suivante a donc pour but de relier
DμDtet∂μ∂t
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Caract´erisation de divers ´ecoulements
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D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire : notations
Exemple
Observation du trafic routier
Acc´el´eration d"un voiture que l"on suit
Diff´erence de vitesse entre deux voitures successives passant au mˆeme endroit Le probl`eme est le mˆeme pour la d´eriv´ee particulaire d"un champ de masse volumique :DμDt?=∂μ∂t
La partie suivante a donc pour but de relier
DμDtet∂μ∂t
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D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de masse volumiqueD´efinition : la masse volumique
La masse volumique d"une particule de taille m´esoscopiquedVest :μ=δm
dV On dit qu"un fluide est incompressible siμ= constanteEn premi`ere approximation, c"est le cas pour :
les liquides (comme l"eau) les gaz pour des vitesses d"´ecoulementv?cson(comme l"air) L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
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Caract´erisation de divers ´ecoulements
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Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de masse volumiqueD´efinition : la masse volumique
La masse volumique d"une particule de taille m´esoscopiquedVest :μ=δm
dV On dit qu"un fluide est incompressible siμ= constanteEn premi`ere approximation, c"est le cas pour :
les liquides (comme l"eau) les gaz pour des vitesses d"´ecoulementv?cson(comme l"air) L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
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D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de masse volumiqueD´efinition : la masse volumique
La masse volumique d"une particule de taille m´esoscopiquedVest :μ=δm
dV On dit qu"un fluide est incompressible siμ= constanteEn premi`ere approximation, c"est le cas pour :
les liquides (comme l"eau) les gaz pour des vitesses d"´ecoulementv?cson(comme l"air) L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
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Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de masse volumiqueD´emonstration faite au tableau
Relation de d´erivation particulaire
DμDt=∂μ∂t+ (-→v.--→grad)μ
Interpr´etation
L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
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Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de masse volumiqueD´emonstration faite au tableau
Relation de d´erivation particulaire
DμDt=∂μ∂t+ (-→v.--→grad)μ
Interpr´etation
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Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de masse volumiqueD´emonstration faite au tableau
Relation de d´erivation particulaire
Dμ Dt= ∂t+(-→v.--→grad)μD´eriv´ee locale
Interpr´etation
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Caract´erisation de divers ´ecoulements
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D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de masse volumiqueD´emonstration faite au tableau
Relation de d´erivation particulaire
Dμ Dt= ∂t+(-→v.--→grad)μD´eriv´ee localeD´eriv´ee convective
Interpr´etation
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Caract´erisation de divers ´ecoulements
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D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de vitesse Mˆeme raisonnement `a appliquer sur-→vau lieu deμD´efinition de l"acc´el´eration
L"acc´el´eration d"une particule de fluide est par d´efinition : a(M,t) =D-→vDt(M,t)
D´eriv´ee particulaire du champ de vitesse
D-→v
Dt(M,t) =∂-→v∂t(M,t) + (-→v.--→grad)-→v L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de vitesse Mˆeme raisonnement `a appliquer sur-→vau lieu deμD´efinition de l"acc´el´eration
L"acc´el´eration d"une particule de fluide est par d´efinition : a(M,t) =D-→vDt(M,t)
D´eriv´ee particulaire du champ de vitesse
D-→v
Dt(M,t) =∂-→v∂t(M,t) + (-→v.--→grad)-→v L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
Equation locale de conservation de la masse
Caract´erisation de divers ´ecoulements
Description lagrangienne et eul´erienne
Notion de trajectoire et de ligne de courant
D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de vitesse Mˆeme raisonnement `a appliquer sur-→vau lieu deμD´efinition de l"acc´el´eration
L"acc´el´eration d"une particule de fluide est par d´efinition : a(M,t) =D-→vDt(M,t)
D´eriv´ee particulaire du champ de vitesse
D-→v
Dt(M,t) =
∂-→vAcc´el´eration locale
(caract`ere non permanent) L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
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D´eriv´ee particulaire d"un champ de vitesse Mˆeme raisonnement `a appliquer sur-→vau lieu deμD´efinition de l"acc´el´eration
L"acc´el´eration d"une particule de fluide est par d´efinition : a(M,t) =D-→vDt(M,t)
D´eriv´ee particulaire du champ de vitesse
D-→v
Dt(M,t) =
∂-→v Acc´el´eration localeAcc´el´eration convective (caract`ere non permanent)(caract`ere non uniforme) L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
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D´eriv´ee particulaire
D´eriv´ee particulaire d"un champ de vitesseAutre ´ecriture possible
D-→v
Dt(M,t) =∂-→v∂t(M,t) +--→grad?v22? +-→rot-→v?-→v L. Menguy, PSI*, Lyc´ee Montesquieu, Le MansCin´ematique des fluidesChamp de vitesse dans un fluide
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Description lagrangienne et eul´erienne
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